极值点偏移问题的破解策略

■江苏省阜宁县实验高级中学 周 敏

极值点偏移问题是近几年高考数学中比较经常出现的一类热点问题之一,也是考生比较难处理的一类常见问题。结合极值点偏移问题的三个常见破解策略,通过实例加以剖析,归纳总结破解的基本技巧与方法,引领并指导同学们进行复习备考。

若单峰函数f(x)的极值点为m,且函数f(x)满足定义域内x=m左侧的任意自变量x都有f(x)>f(2m-x)或f(x)

一、对称变换

例1已知函数f(x)=xe-x。

(1)求函数f(x)的单调区间和极值;

(2)若x1≠x2,且f(x1)=f(x2),求证:x1+x2>2。

解析:(1)求导可得f′(x)=e-x(1-x)。令f′(x)>0,得x<1;令f′(x)<0,得x>1。所以函数f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减。所以f(x)有极大值f(1)=f(x)无极小值。

(2) 构造辅助函数F(x)=f(x)-f(2-x),x>1,求导得F′(x)=f′(x)+f′(2-x)=e-x(1-x)+ex-2(x-1)=(x-1)·(ex-2-e-x)。

因为当x>1 时,x-1>0,ex-2-e-x>0,所以F′(x)>0,所以F(x)在(1,+∞)上为增函数,所以F(x)>F(1)=0,故当x>1时,f(x)>f(2-x)。 (*)

由f(x1)=f(x2),x1≠x2,可设x1<1f(2-x2)。

又因为f(x1)=f(x2),所以f(x1)>f(2-x2),又x1<1,2-x2<1,而f(x)在(-∞,1)上单调递增,所以x1>2-x2,所以x1+x2>2。

点评:对称变换策略主要是解决极值点偏移问题中与两个极值点之和(或积)相关的不等式的证明问题。对称变换策略的解题要点为:(1)定函数(极值点为x0);(2)构造函数,即根据极值点构造对称函数F(x)=f(x)-f(2x0-x),若证x1x2>,则令F(x)=;(3)判断单调性;(4)比较大小;(5)转化。

二、消参减元

例2已知函数f(x)=x2+2x-2lnx,若方程f(x)=x2+2m有两个不等实数根x1,x2,求实数m的取值范围,并证明:x1x2<1。

解析:方程f(x)=x2+2m,即x-lnx-m=0,令函数h(x)=x-lnx-m(x>0),求导得h′(x)=

当x∈(0,1)时,h′(x)<0,故h(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,故h(x)单调递增。

所以h(x)min=h(1)=1-m。

若方程f(x)=x2+2m有两个不等实根,则有h(x)min<0,即m>1。当m>1时,00,h(em)=em-2m,令函数p(x)=ex-2x(x>1),求导得p′(x)=ex-2>0,即p(x)在(1,+∞)上是增函数,所以p(x)>p(1)=e-2>0,所以h(em)>0,所以原方程有两个不等实根,所以实数m的取值范围为(1,+∞)。

点评:消参减元策略解决极值点偏移问题,结合所要证明的多变元(一般两个及以上)关系式加以恒等变形,建立与所求解问题相关的函数,结合消参并减元,合理构建关系式,通过研究函数的单调性、极值与最值等相关问题来恒等变换,进而得以解决对应的极值点偏移问题。

三、比(差)值换元

例3已知函数f(x)=ax2-ex(a∈R)在(0,+∞)上有两个零点x1,x2(x1

(1)求实数a的取值范围;

(2)求证:x1+x2>4。

当x∈(0,2)时,h′(x)<0,所以h(x)在(0,2)上单调递减;当x∈(2,+∞)时,h′(x)>0,所以h(x)在(2,+∞)上单调递增。

点评:比(差)值换元策略解决极值点偏移问题,比(差)值换元的目的也是消参、减元,就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系,然后利用两个极值点之比(差)作为变量,从而实现消参、减元的目的。设法用比值或差值(一般用t表示)表示两个极值点,继而将所求解问题转化为关于t的函数问题。

熟练理解并把握极值点偏移问题的基本破解策略,着重抓住对称变换、消参减元、比(差)值换元策略解决问题的实质,关键是以不同的策略巧妙通过消参或消元等方式,合理构建函数,利用导数的运算与应用,以及函数的单调性、极值与最值等来综合应用,合理化归与转化,借助数形结合思想,巧妙应用,合理破解。