基于学生素养发展的几何教学浅析

谢建金

【摘 要】  为了培养学生学习几何的兴趣，教师要应用好课本资源，通过由浅入深的逐层渗透来提升学生的学习信心和学习积极性.同时，在几何教学中应鼓励学生多观察、多实践，通过识图、作图提升抽象思维能力和建模能力.另外，要重视相关内容的引申和拓展，引导学生通过类比实现知识的巩固和内化，进而提升学生的解题能力和数学素养.

【关键词】  高中数学；抽象思维；解题能力

立体几何和解析几何是高中数学的重要组成部分，解决此类问题需要学生具备较强的抽象思维能力，而这方面能力往往是高中生较为薄弱的，因此，高中数学几何部分也就自然地成了教学的一个难点.在几何教学中，部分教师认为学生在面对几何图形时容易出现畏难情绪就是因为学生接触的图形不够多，不够复杂，因此，在教学中常利用一些复杂图来提升学生看图和识图能力，这样不重视由浅入深的引导往往容易打击学生学习的积极性，不利于学生发展.为此，教学中不能好高骛远，要切实从学生实际出发，重视基础知识的积累和建构，以此循序渐进地提升学生解决问题的能力 [1] .基于此，笔者提出了几点几何教学实施方案，供参考.

1 立足课本，夯实基础

在小学阶段就利用“拼一拼”“看一看”潜移默化地培养学生的空间思维能力，然而学生在面对几何问题还是会因空间思维能力不强而产生畏难情绪，为此，授课时教师不宜直接抛出几何问题，这样学生会因开头难而产生厌学情绪，不利于学生的长远发展 [2] .教学中教师可以引导学生回忆旧知或联想生活实际，即从学生最为熟悉的内容出发，消除学生的畏难情绪，让学生信心满满地进行新知的学习.

案例1   探究“直线与圆的位置关系”.

师   在初中的时候也学习过直线与圆的位置关系，回忆一下，两者的位置关系有哪幾种，分别是怎样判断的呢？

教师在新知引入时并未直接抛出课本问题让学生去探究，而是从学生熟悉的内容出发，通过旧知的过渡使新知具有熟悉感，更能调动学生探究的热情.根据课堂反馈，大多学生对之前所学的了如指掌，这也为新知的探究奠定了坚实的基础.

师   大家都说得非常好，根据d与r的大小关系可以判定二者的位置关系.

接下来教师又继续提问，让大家复习直线方程、圆的标准方程和一般方程，以及点到直线的距离公式，为学生从代数的思路去证明两者的关系做好充分的准备.

师   已知直线l：x+3y－6=0和圆C：x 2+y 2－2x－4=0，试判断直线l与圆C的位置关系.（教师 PPT 展示题目1）

问题给出后，大多数学生利用以前的经验，先将圆方程转化为标准方程，根据圆心到直线的距离判断两者的位置关系，也有些学生想借助图象来寻找问题的突破口，为了让学生可以从解析几何的思路进行求解，教师利用问题“引一引”，让学生自己发现另外一种解决方法，即“代数法”.

师   试想一下公共点的个数与一元二次方程的解是否有什么联系呢？

在问题的指引下，学生联想到利用比较Δ与0的大小关系来判断位置关系，这个思路打开后，学生很快找到了问题的求解方向.

生1   将直线l与圆C方程联立，由x+3y－6=0得x=6－3y，代入圆C方程并消元得y 2－3y+2=0，Δ=（－3）  2－4×1×2=1>0，方程有两个解，所以直线l与圆C有两个公共点，两者相交.

师   非常好，生1得出的结论与你们之前的结论是否一致呢？

生齐声答   一致.

师   大家看下这个问题应该如何解决.（教师 PPT 展示题目2）

若直线l：y=x+b与圆C：x 2+y 2=2恒有公共点，求b的取值范围.

生2   方程联立并消去y得，2x 2+2bx+b 2－2=0，Δ=（2b）  2－4×2（b 2－2）=16－4b 2≥0，所以当－2 ≤b≤2时，方程恒有公共点.

生3   由已知圆C的圆心的坐标为（0，0），半径为2，圆C到直线的距离d=  －1×0+1×0－b   1 2+1 2  =  b   2  .当d≤r时，  b   2  ≤ 2 ，即 b ≤2，所以当－2≤b≤2时，方程恒有公共点.

师  ：很好，能从不同的角度去分析，展示了两种解法不同的魅力.

学生探究的热情高涨，教师又给出了第3个题目：直线l：y=ax+b和圆C：x 2+y 2=c（c>0）恒有公共点，求c的取值范围.

思路1   代数法，学生利用课本讲解的代数法求解，将方程y=ax+b和x 2+y 2=c（c>0）联立，消元得出（a 2+1）x 2+2abx+（b 2－c）=0，根据Δ≥0 求出c的取值范围.

思路2   几何法，根据图形分析可知，直线l恒过定点（0，b），圆C的圆心为（0，0），半径为 c ，由已知两者恒有交点，所以d≤r，根据生3的解题方法求解.

教学中通过由浅入深，由旧知到新知，数形相结合的方式逐层渗透，不仅让学生熟练地掌握了课本内容，又与旧知进行了有效的串联，进而将新的解题方法和解题思路内化至原有的“直线与圆位置关系”的体系中，使认知更完善，视野更宽广.同时，通过对比可以发现，若用代数的思路求解，虽然思路简单，但是计算一般较为复杂，结合图形往往会达到简化计算过程的目的，潜移默化地渗透数形结合思想.

总之，在几何教学中不要急于求成，要发挥好新知承上启下的作用，通过旧知引入为新知的学习扫清障碍，培养学生学习信心；通过适当的由浅入深的拓展，激发学生探究的热情；通过不同方法的尝试，展现数学解题的魅力.

2 构建模型，逐层突破

立体几何问题一向是高中数学教学的难点，主要原因是学生的模型意识不强，没有形成空间意识，不能将空间问题更好地转化为平面几何问题，从而无法应用平面几何的知识进行求解，为此，在教学中可以应用多媒体、实体模型等，先进行几何建模，通过对模型的反复观察逐渐建立空间思维 [3] .

例如   线与面是立体几何的重要内容，为了培养学生的空间观念，教师用 PPT 展示图1，引导学生通过对线面的反复观察探索多重可能性，借助模型培养空间思维和建模意识，从而通过提高学生的空间思维能力培养学生解决几何问题的能力，帮助学生攻克立体几何这一难关.

案例2   如图2，已知ABCD是矩形，PA垂直于平面ABCD，M，N分别为AB，PC中点，∠PDA=45 ° ，求证MN⊥面PCD.

解析   根据已知取PD中点Q，连接AQ，由已知易得MN∥AQ，将问题转化为证明AQ与面PCD垂直，问题迎刃而解.

空间思维能力对高中几何学习尤为重要，因此，教师在讲解基础知识后要重视学生空间思维能力的培养，从简单题目、简单模型入手，逐渐培养学生的空间思维能力.在教学中可以让学生画一画，实现由点到面，再到立体，建立起几何空间，通过观察和探究指引学生将立体图形逐渐平面化，这样通过平面与立体的相互转化提升学生的解题能力和思维能力.

3 举一反三，精雕细琢

适当的巩固练习是数学教学的必经之路，虽然立足于课本，通过由浅入深，循序渐进的引导实现了减负增效、夯实基础的目的，然数学题目往往是复杂多变的，若没有适当习题的拓展和巩固，仅依赖于课本教学显然有些不够，因此，在教学中教师需要精挑细选一些练习题，让学生在解题中积累解题经验，学会举一反三.

案例3   已知直线l：y=2x－2，椭圆C： x 2 5 + y 2 4 =1，试确定椭圆C与直线l的位置关系.若有交点，求出交点坐标.

思路1   根据求圆与直线位置关系的经验，可以将直线l：y=2x－2和椭圆C： x 2 5 + y 2 4 =1联立，消去y，得出方程x（3x－10）=0，解得x分别等于0和 10 3 ，由此可知椭圆C与直线l相交，交点分别为（0，－2），  10 3 ， 14 3  .

思路2   由已知可得，点（0，－2）在椭圆C上，椭圆的中心为（0，0），根据已知绘制如图3所示的图形，从图形上不难看出直线l与椭圆C相交，其解题思路与案例1中问题3的解题思路相似，利用画图法进行分析.

案例3是案例1的一个拓展，由圆联想到椭圆，拓展后学生自然可以将已有经验迁移至解决双曲线和抛物线的问题上，这样通过类比不仅可以进一步深化知识的理解，而且便于知识体系的建构，使学生的学习更有层次性和系统性，进而实现学一个通一类的目的，有利于学生解题能力的提升.

4 结语

总之，任何能力的提升都需要经历由浅入深的过程，学生的抽象思维能力培养亦是如此，教学时切勿急于求成，应多关注于学习兴趣和学习习惯的培养，尤其在学习习惯培养中要引导学生关注细节，如解题步骤，必要定理说明等，这些细节往往直接关系到成败.同时，在数学教学中必须引导学生及时的总结和反思，将解题方法和解题经验内化至自己的认知体系中，从而构建完整的数学体系，促进解题能力的提升.

参考文献：

［1］ 杨博，邓鹏.高中学生几何推理能力层级结构模型[J].数学学习与研究，2011（15）：96+98.

［2］童建福.数学思想方法在解析几何教学中的应用[J].理科考试研究（高中版），2016，23（01）：8.

［3］劉丽静.论立体几何知识迁移能力培养[J].考试周刊.2015（77）：56+19.