一道联考题的命题背景及拓展

王丽 朱亚旸 王小国

一、考题再现

题目 （2022年T8联考第8题）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），直线l过坐标原点并交椭圆于P，Q两点（P在第一象限），点A是x轴正半轴上一点，其横坐标是点P横坐标的2倍，直线QA交椭圆于点B，若直线BP恰好是以PQ为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（  ）.

A.12  B.22  C.33  D.63

二、背景分析

本题的背景在人教A版教材有四处，分別如下：

背景1 （选择性必修二第88页综合运用）已知圆的一条直径的端点分别是A（x1，y1），B（x2，y2），求证此圆的方程为（x－x1）（x－x2）+（y－y1）（y－y2）=0.

证明：对于圆上任意点P（x，y）（不与A，B重合），只须PA·PB=0，或kPA·kPB=－1.

背景2 （选择性必修二第108页例3）如图1，设A，B两点的坐标分别为（－5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－49，求点M的轨迹方程.

背景3 （选择性必修二第121页探究）如图2，点A，B的坐标分别为（－5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且他们的斜率之积是49，试求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状，与3.2例3比较，你有什么发现？

背景4 （选择性必修二第146页第11题）已知ΔABC的两个顶点A，B的坐标分别是（－5，0），（5，0），且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0），求顶点C的轨迹.

以上四道教材习题都有共同的特征，存在关于轨迹的对称中心对称的两点A，B，对轨迹上任意点P，都有直线PA，PB的斜率之积为一个定值，其一般情形可以归结为：

定理1 平面内与两个定点A（－a，0），B（a，0）的斜率乘积等于常数e2－1的点的轨迹叫椭圆或双曲线（不含两个顶点），其中两个定点分别为椭圆或双曲线的顶点，当常数大于－1小于0时为椭圆，此时e2－1=－b2a2，当常数大于0时为双曲线，此时e2－1=b2a2.

推论1 平面内与两个关于原点对称的点A（m，n），B（－m，－n）的斜率乘积等于常数e2－1的点的轨迹叫椭圆或双曲线，当常数大于－1小于0时为椭圆，此时e2－1=－b2a2，当常数大于0时为双曲线，此时e2－1=b2a2.

定理2 若AB为“有心圆锥曲线”的直径，点M为曲线上异于A，B的任一点，则kAM·kBM=e2－1.（圆可视为离心率为0）如图3.

下面以椭圆x2a2+y2b2=1为例证明.（圆、双曲线读者自证）

证明：设Ax1，y1，B－x1，－y1，Mx，y，则y2=b2·1－x2a2，y12=b2·1-x12a2，∴kAM·kBM=y-y1x-x1·y+y1x+x1=y2-y12x2-x12

=b2·1-x2a2-b2·1-x12a2x2-x12=-b2a2=e2-1.

推论2 若点M是“有心圆锥曲线”的弦AB的中点，其中AB不平行于对称轴且不过曲线中心O，则kAM·kBM=e2－1.如图4.

我们现在用点差法对椭圆进行证明，双曲线、圆可类似证明.

如上图，设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，直线l与椭圆C的两个交点分别为Ax1，y1，Bx2，y2，线段AB的中点M，则

x12a2+y12b2=1，

x22a2+y22b2=1，两式相减得x1－x2x1+x2a2+y1－y2y1+y2b2=0，y1－y2·2yMx1－x2·2xM=－b2a2，即有kAB·kOM=－b2a2=e2－1.

其本质与定理2是一致的，即kOM·kPB=kPA·kPB=e2－1.

利用上述结论，我们可容易给出考题的答案.

图5

考题解析：如图5，不妨设P（m，n），则A（2m，0），设直线PQ的斜率为k，依题有kAQ=n3m=k3，kBP=－1k，P，Q关于原点对称，由定理2可知kAQkBP=－13=e2－1e=63.

三、试题链接

题1 （2014年浙江省五校高三第二次联考理科第9题）已知椭圆C：x22+y2=1，点M1，M2，…，M5为其长图6轴AB的六等分点，分别过这五点作斜率为kk≠0的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10（如图6），则直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为（ ）.

A.－116 B.－132  C.164  D.－11024

解析：此题中点A，B为椭圆的左右顶点，不妨将这10个点与点B连结，由对称性，知kAP10=kBP5，kAP9=kBP4，kAP8=kBP3，kAP7=kBP2，kAP6=kBP1，由定理2可知kAP1·kAP2·kAP3·kAP4·kAP5·kAP6·kAP7·kAP8·kAP9·kAP10=（kAP1·kBP1卷）·（kAP2·kBP2）·（kAP3·kBP3）·（kAP4·kBP4）·kAP5·kBP5=－125=－132，故选B.

图7

题2 （2010年高考山东卷理科第21（2）题）如图7，已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为42+1，一条等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A，B和C，D.（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2=1.

解析：（1）由题意知ca=22，

2a+2c=42+1，解得a=22，c=2，故b2=a2－c2=4，椭圆的标准方程为x28+y24=1.故椭圆的焦点坐标为（±2，0），因双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，故该双曲线的标准方程为x24－y24=1.

（2）由定理1知k1k2=e2－1=b2a2=44=1.（过程略）

四、结语

中学数学教材中的习题凝聚了几代数学教育家的智慧，具有典型性、示范性、迁移性等特点.其背后隐藏着深远的数学背景，是高考数学试题命题的附着点与根源，具有深刻的研究价值.纵观近十年的高考数学题，大量命题都与教材关联密切.因而，作为教师在指导学生高三数学复习时要适时回归教材，通过对教材中有价值的材料以及拓展资源，链接历年高考试题，培养学生能系统地对教材进行深入思考，深度挖掘，延申拓展的意识，深度整合并展示其共性规律，帮助学生完善知识网络，促进深度学习.也让教材成为提升学生思维能力的一种工具，基于此，在数学问题求解中，便能借助模型、规律的敏感性，既使得问题化繁为简，事半功倍！也能火眼金睛，看清问题之本质.