数学习题教学不妨“借题发挥”

葛群兵

摘要：教材习题是数学知识和数学技能常用的传递载体，是学生学习活动的基本内容，是教师教学活动的重要依托，也是学生感悟方法和积累经验的重要途径，是蕴含着丰富而巨大价值的数学宝藏。数学习题教学，教师不妨“借题发挥”：借“开放性习题”，引导学生全方位思考；借“干扰性习题”，助力学生突破思维定式；借“矛盾性习题”，促进学生内化数学语言。

关键词：小学数学；习题教学；教材

教材习题是数学知识和数学技能常用的传递载体，是学生学习活动的基本内容，是教师教学活动的重要依托，也是学生感悟方法和积累经验的重要途径，是蕴含着丰富而巨大价值的数学宝藏。数学习题教学，教师不妨“借题发挥”，利用好“开放性习题”“干扰性习题”“矛盾性习题”等，引导学生全方位地思考数学问题，突破思维定式，内化数学语言。

一、借“开放性习题”，引导学生全方位思考

习题的开放性意味着情境可能是多元的，问题可能是开放的，形式可能是多变的。“开放性习题”一般不设置标准答案，而是鼓励学生尽可能发散思维，在开放的过程和结果分享中达到思维训练的目的。教学中，教师要指导学生多角度地观察、思考“开放性习题”，提出解决方案并作出合理的解释。习题答案不唯一，学生只要言之有理，都应得到肯定。这样能够给予学生充足的空间与信心，以尽情地发挥他们的才能。

例如，对于苏教版小学数学六年级下册第18页的第13题（见下页图1），课堂上解答第（1）小问时，大多数学生都采用了3.14×15×2×20+3.14×152这种解法，而有少部分学生列出的算式是3.14×15×2×20+3.14×152×2。为什么呢？教师组织学生展开讨论。原来，乍一看，本题的第（1）小问仅是在考查学生运用所学的圆柱表面积知识解决生活中的实际问题，但是如果仔细思考，就会发现这一小问是开放性的——生活中圆柱形蛋糕盒的哪几个面由硬纸板构成。

针对这一问题的讨论，学生的想法分成两类：一类是侧面+上底面（1个圆），另一类是侧面+上下两个底面（2个圆）。教师让学生课后查阅资料或去蛋糕店实地考察，找寻证据。经过调研，学生达成共识：在现实生活中，蛋糕盒的下底面有可能采用硬纸板，也有可能采用泡沫等其他材质。所以，两种解法都是正确的，均出于对现实生活的观察和思考。

再如，对于苏教版小学数学六年级下册第42页的思考题（见图2），学生的理解不同，因而呈现出的结果和形式也不尽相同。填写“m∶n=（）∶（）”时，有的学生根据比例的基本性质（两个外项的积等于两个内项的积）直接写出m∶n=25∶34；有的学生则认为m∶n=8∶15。填写“nm=（）”时，有的学生理解成求比值，得到158或1.875；也有的学生将这一空理解成继续填写简比15∶8或158。

尽管该题并不涉及多种可能的生活情境，但是在结果呈现时，应允许学生有“一千个哈姆莱特”。此时，教师减缓教学节奏，倾听学生的理解，引导他们阐述自己观察和思考的角度。当听到有学生选择根据题中nm的形式将答案写成158（既可以理解成比，也可以理解成比值）时，我们不禁为这样清晰的数学思维而拍案叫绝。

张文质先生指出：“教育是慢的艺术，需要细致、耐心。”借助“开放性习题”，教师以“领路人”的身份给予学生更多表达“蛋糕盒的下底面并非一定是硬纸板”“158既是比，也是比值”等的时间和空间，进而展现每个学生独特的数学观察与思考之美。

二、借“干扰性习题”，助力学生突破思维定式

对学生而言，熟悉的题干内容、相似的形式，常会令他们产生似曾相识之感。有时，这种“似曾相识”会帮助学生快速解题；有时，这种熟悉感可能导致学生程序化、僵硬化地解题，出现思维定式，导致解题出错。对此，教师可以有意识地反其道而行之，借助“干扰性习题”，助力学生突破思维定式，发展理性思维。

例如，根据题目提示，苏教版小学数学六年级下册第32页的第9题（见下页图3）可以用列举法解答。学生的练习反馈有这样几种情形：少数学生从假设投中1个2分球和8個3分球开始推算，多数学生从假设投中4个2分球和5个3分球开始推算。按照教材的建议从中位数开始列举时，若从4个2分球和5个3分球开始假设，推演出正确答案后会发现表格空余一行未填；若从5个2分球和4个3分球开始假设，需要的行数就更少了。不过，大多数学生都倾向于相信题目提供的行数是正好的，因而在解答此题时，常会受到“表格行数正好”的干扰，怀疑自己算错了、写漏了，从而画蛇添足。

此时，教师要引导学生相信自己理性推断的结果，不受题目无关信息的干扰。此外，教师还需要指导学生感受数的意义，避免拿到此题就埋头从1个2分球和8个3分球开始推算。

再如，苏教版小学数学六年级下册第59页的第3题（见图4）的第（2）问需要学生利用图像估计时间和路程的对应数值。尽管答案允许一定程度的误差，但由于要估计的两个数值都不在图像显示的横纵轴已知坐标的交叉点上，学生很容易受纵坐标都是偶数的干扰，得出“20分钟大约行6千米”“行10千米大约要用40分钟”。

对此，教师应循序渐进，让学生在操作交流中体会正比例图像的应用价值，引导学生不过度关注题目中的无关信息，而理解题目的本质——路程和时间成正比例关系，对应比值恒定。此外，在学生给出他们估计的答案后，教师还应引导学生根据正比例关系进行计算验证，养成良好的解题习惯，突破解题的惯性和思维定式。

不难发现，学生在解答“干扰性习题”时，由于思维定式的存在以及实际经验的不足，容易受到干扰。因此，教师需要“对症下药”，培养学生把握题目本质和灵活解答题目的能力，以减少僵化的答题模式，发展理性思维，树立学习数学的自信心。

三、借“矛盾性习题”，促进学生内化数学语言

数学就其本质而言，是逻辑思想的诗篇。在义务教育阶段，一方面，我们需要培养学生感悟和欣赏数学语言的抽象、简洁与优美的能力，初步学会运用数学的语言表达现实世界；另一方面，又不得不考虑此时的学生有别于成年人，是以独特的视角和方式观察世间万物的。因此，教师要善于鉴别和利用习题的矛盾性，即那些蕴含与现实生活的冲突，或者因数学语言抽象晦涩，与学生语言发展水平、认知理解能力不符的矛盾。继而，通过以更加明确和恰当的数学语言转述，使其更加适应学生的学习，变为有效的教学素材，更好地为教学服务。教师借助“矛盾性习题”，培养学生通过自己的语言表达数学问题的能力，促使学生将数学的语言内化于心。

（一）借助具体数据与生活实际矛盾的习题

例如，教学苏教版小学数学六年级下册第69页的第7题（见下页图5）时，教师引导学生在完成此题时翻看语文和数学课本的封底，学生发出一片惊呼。学生惊呼的原因有二：一是与平时动则标价几十元甚至上百元的其他书籍相比，教材的单价明显偏低，分别是7.82元和7.59元；二是单价中还有2分和9分。日常生活中，分币已经逐渐退出流通市场，学生对于“分”的概念比较模糊、陌生。

为了更好地利用这种习题与生活实际的矛盾性，教师一方面向学生科普人民币“分”在现实生活中出现的可能性，复习“分”与其他货币单位的关系，用数学的语言表述乘法在购物情境中的应用；另一方面，向学生说明语文和数学等课本都是国家免费提供的，大家应该从小努力学习，长大回报祖国。

（二）借助问题表述与学生理解矛盾的习题

考虑到学生的数学语言发展水平和认知理解能力仍未完善，习题的指向和表达应该更加贴合学生的认知基础和生活经验，寻求和利用好学生的“最近发展区”。过于抽象的术语化提问，容易与小学生的理解能力形成矛盾，继而影响学习效果，难以达成教学目标。

例如，解答苏教版小学数学六年级下册第70页的第13题（见图6）时，学生首先列举得出1、2、3、5组成的两位数共有12个：12、13、15、21、23、25、31、32、35、51、52、53。再加上1、2、3、5四个数，这些数中有因數2的有4个（2、12、32、52），所以2、12、32和52这四个数有公因数2。

然而，在小学阶段，一般只要求学生理解并掌握求解两个数的公因数，本题中的表述容易造成学生的理解困难，与课程要求和学生个体的认知能力相矛盾。因此，面对此类“矛盾性习题”，教师需要结合学生的学习特点和认知规律，以简练的语言和简单的方法进行引导。具体而言，问题可以简化表述为：“在1、2、3、5和由它们组成的两位数中，哪些数有因数2？哪些数有因数3？哪些数有因数5？”“哪两个数有公因数2？哪两个数有公因数3？哪两个数有公因数5？”“哪些数有因数2？哪两个数有公因数3？”简化后的问题表述比原来的表述更具针对性，学生更容易理解，解答时也更得心应手。同时，学生还可以通过比对各种表述，体会数学语言抽象与凝练的特点，锻炼自己运用数学语言表达问题的能力。