这两道题很难吗

雷添淇

2023年中小学数学创新应用科普活动将于9月初接受注册申请，全国科普日期间正式启动，12月初进行创新探索体验挑战环节，2024年5月科技周期间进行能力拓展竞技展示环节.

本期两道试题来源于2021年中小学数学创新应用科普活动，由全国青少年数学创新系列活动组织委员会提供.

真题呈现

试题1 如图1，已知[2∠1+∠2=113°]，[∠1+2∠6=145°]，[2∠2+∠3=111°]，[2∠3+∠4=153°]，[2∠4+∠5=107°]，[2∠5+∠6=109°]，则[α+β+γ+η=]_____________．

试题2 请你任意想出一个四位数（4个数字不可以全都相同），进行如下操作：将四位数的4个数字重新组合成可能的最大数和最小数，再将最大数与最小数作差，得到一个新四位数（若不足四位时，则首位用0补齐）；再对新的四位数重复上述同样操作……周而复始，则经过2021次操作后，得到的数字是_____________．

精讲精析

试题1 观察发现每个方程都是以两个角为变量，角标号小的前面的系数为2，角标号大的前面的系数为1（可以想象成[∠7] = [∠1]）.

[2∠1+∠2=113°]①；[∠1+2∠6=145°]②，

[2∠2+∠3=111°]③，[2∠3+∠4=153°]④，

[2∠4+∠5=107°]⑤，[2∠5+∠6=109°]⑥，

由① + ② + ③ + ④ + ⑤ + ⑥，

得3（[∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6]） [=738°]，

记[i=16∠i=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6]，其中[∑]是西格玛求和符号，

进而[i=16∠i=] 246°.

连接AC，CE，FH，HJ，

由三角形的内角和为180°，考虑△ABC、△CDE、△FGH、△HIJ，

则有[i=714∠i+α+β+γ+η=720°]⑦，

连接CH，根据四边形内角和为360°，考虑四边形ACHJ和四边形CEFH有[i=114∠i=360°×2=720°]⑧，

由⑦和⑧可得[i=714∠i+α+β+γ+η=i=114∠i]，则[α+β+γ+η=i=16∠i=246°].

故应填246°.

试题2 此题设计背景为“数字黑洞”. 题目中说任意一个四位数（4个数字不可以全相同），这样的四位数有很多个（990个，想想为什么，如何计算），然后还要2021次操作！对1个四位数操作两千多次就已经很麻烦了（猜想有限的几次操作后应该会有规律呈现出来），难道我们需要将这990个数都一遍一遍地操作下来吗？ 当然不需要！这里可以运用特殊与一般的数学思想，随便举一两个满足条件的四位数试试看.

现以1234为例，进行题目中的操作，步骤如下：

1234对应4321和1234，则4321 - 1234 = 3087；

3087对应8730和0378，则8730 - 378 = 8352；

8352对应8532和2358，则8532 - 2358 = 6174；

6174对应7641和1467，则7641 - 1467 = 6174.

再往后一直是6174，就如同一個“黑洞”，一旦陷入便无法脱身.

若你不敢确定答案，就再随便找个满足条件的四位数，如2323，操作步骤如下：

2323对应3322和2233，则3322 - 2233 = 1089；

1089对应9810和0189，则9810 - 0189 = 9621；

9621对应9621和1269，则9621 - 1269 = 8352；

8352对应8532和2358，则8532 - 2358 = 6174. 仍然掉进6174这个“数字黑洞”.

因此猜想：对任意满足条件的四位数，经过有限次（远少于2021）操作都会掉进6174这个“数字黑洞”. 故应填6174.

感兴趣的同学可以尝试证明上面的猜测，或查阅了解更多有关“数字黑洞”的内容.数学中还有更多有趣好玩的奥妙等待同学们去了解、去探索、去发现……

〔作者单位：世界创新（辽宁）教育科技中心〕