抓住图形本质，深度理解概念——一道练习题引起的思考

□何优优 曹 炯 金 勤

“平行四边形和梯形”单元是人教版教材四年级上册的教学内容。这个单元涉及的几何概念比较多，教材中都是以一段文字叙述加红字强调的方式告诉学生各种概念的。其中，理解高的概念并画出图形中的高，是本单元学习的重难点。从教材编排来看，它是在学习了点到直线的距离之后引入高这个概念的。虽然教材在认识平行四边形时对平行四边形的高有明确的定义，但在认识梯形时却没有明确梯形的高（只在学习梯形各部分名称的图示中出现了高）。

基于上述背景，笔者设计了一道有关梯形的高的练习题，主要考查学生对梯形各部分名称的认识和对梯形中高的理解。题目中的四个选项分别是这个梯形的上底、下底、高和中位线。

下图中，梯形的高是（ ）厘米。

A.4 B.3 C.2 D.6

教材中，“平行四边形和梯形”单元的教学以画垂线为开端，然后引导学生认识点到直线的距离，逐步过渡到认识并能画出平行四边形的高，再迁移到梯形（等腰梯形、直角梯形）中。笔者设计练习题时，把常见的直角梯形（上底、下底在上下）横放（上底、下底在左右），并添加上底、下底和中位线三个干扰项。通过这样的变式设计，考查学生找高时认知结构是否完整；在梯形的高没有明确定义的情况下，能否从平行四边形的高迁移到梯形的高。

一、发现难点，突破难点

在前期的抽样测试中，该题的正确率约为47%，很多学生无法正确找到高。针对这道练习题对部分学生进行访谈，发现学生出错的原因主要有以下两方面。

（一）思维定式干扰正确认知

基于对常见梯形（上底、下底在上下）的认识，学生习惯性地认为梯形的高是“竖的”。针对这道练习题，当看到图中有直角符号和虚线（学生平时学习时，教师会强调画高时要先画虚线，再标注直角符号），很多学生便觉得它的高不是3厘米就是4厘米。

（二）数学本质缺乏深刻解读

多样化的梯形表征会妨碍学生的判断。由于教材中没有明确给出梯形高的定义，所以学生对高的理解仅仅停留在对图形的感知上。练习题中的这个梯形比较特殊，摆放方式比较少见，导致学生没有想到平行线之间的距离才是梯形的高。这从另一个侧面反映出，很多学生并不是从数学本质思考问题的，而是凭对图形的感知作出判断。

二、丰富材料，理解概念

数学知识并不是孤立存在的，图形的高其实就是基于学生已有认知的“点到直线的垂直距离”发展而来的。

（一）由单一到多重，逐步丰富学习材料

教师应丰富学习材料，加强概念变式的教学。在教学中，教师要改变梯形的位置和方向，让学生经历“受到干扰—产生错误—引发思考—调整错误—正确认知”的过程，帮助学生改变高是“竖的”的思维定式，认识到高还可以是“横的”，甚至是“斜的”，从而理解梯形高的本质。

（二）从概念到运用，理解概念本质特点

建立对高的概念的深度理解，首先要让学生理解三角形的一个顶点到对边的垂直距离叫作三角形的高，并将高的本质归结为点到直线的垂直距离。接着让学生抓住这个本质特点，辨析平行四边形和梯形的高，理解高的概念，认识高的本质。最后借助高的本质，引导学生学会判断哪些是真正的高，并会画各种图形（三角形、平行四边形、梯形）的高。

三、抓住本质，搭建桥梁

（一）提供任务，鼓励学生大胆创新

好的任务可以牵一发而动全身，为学生提供思考空间，调动学生学习的积极性。因此在理解图形的高时，教师要让学生从整个知识体系建立对高的全面认识。

教师可以设置“画一画三角形内不同形状的高”“画一画不同梯形的高”的任务，让学生运用高的本质，创造性地画出不一样的高，完善对高的认知。在探究过程中，通过改变图形的位置和方向，学生体会到高可能是“竖的”，也可能是“横的”，甚至是“斜的”，从而由浅显认识过渡到深刻思考。通过设置这样的任务，教师将学生内化的思维变得直观化，从而加深了学生对高的理解。

（二）提供问题，全面激活学生认知

教学中，教师可以将学生的错误、失误等作为学习资源，推进其深度学习。针对笔者设计的练习题，教师借助学生的错误引发学生的深度思考，在比较、辨析、修正中不断完善学生对高的认知。这样的问题，能让学生感受到思考的完整性以及理解的全面性。

综上所述，笔者借助一道有关梯形的高的练习题，让学生根据梯形位置的变化，厘清高的本质。在相似概念的对比教学中，学生丰富和完善了对高的认识，积累了数学基本活动经验，形成了系统化的知识结构。