指向数学“再创造”的具身认知活动

滕玲 （江苏省连云港市猴嘴中心小学）

高阶思维是一种积极主动地分析、评价的思维活动。在小学数学学科教学中，培育学生的高阶思维，关键是要引导学生经历数学知识的“再创造”。学生的数学知识再创造，不仅依靠学生的脑，而且依靠学生的眼、手等感官活动。具身认知，是引导学生进行数学“再创造”的重要方式。基于具身认知的数学“再创造”，应当指向学生高阶思维的发展。具身认知，要求教师要充分发挥学生的多种感官功能，让学生的多种感官协同活动，从而促进学生数学学习力的发展、数学核心素养的生成。

一、具身认知视域下数学“再创造”的内涵

所谓“再创造”，就是将要学习的知识自己生产出来。“再创造”应当是学生数学学习的最为重要的方式。根据荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔的观点，“再创造”的过程就是让学生将学习对象数学化的过程，它分为“横向数学化”和“纵向数学化”。[1]所谓“横向数学化”，也就是从生活、现实、对象到数学的一种提炼、抽象和概括；所谓“纵向数学化”，就是在数学学科世界中对相关的数学知识进行再重塑。

（一）从形真到神真：引导学生经历“横向数学化”

“横向数学化”是一种从生活到数学的抽象。为此，教师要从学生的生活经验开始，引导学生进行思考、探究。要将学习对象进行抽象和提炼、抽象和概括。这个过程也就是形式化、公理化的过程。同时，教师还要引导学生善于应用数学学科知识进行解释、应用，将数学学科知识应用到生活实践中去。换言之，在引导学生“再创造”学习过程中，教师一方面要引导学生经历数学化过程；另一方面要催生学生进行生活化应用。如，教学“一一间隔”这一部分内容时，我借助于多媒体课件，呈现了学生生活中的诸种“一一间隔”排列现象，引导学生逐步地抽象、概括。一开始，学生仅仅关注了特征现象，如“某某物体比某某物体多一个”。随着观察、比较、操作等具身认知活动的深入，学生逐步抽象、概括出“两端物体相同，两端物体比中间物体多一个；两端物体不同，两种物体的个数相等”等。在此基础上行，通过追问、成组的圈画，能让学生深刻认识到“特征背后的数理”，即“两端物体相同，整组圈画最后一定剩下一个”“两端物体不同，可以进行整组圈画”。由此，学生会用自己的方式进行概括，如符号概括等。横向数学化能发展学生的抽象思维。

（二）从表层到本质：引导学生经历“纵向数学化”

“纵向数学化”是一种对数学知识的进一步提炼、抽象和概括。纵向数学化，能让学生的数学学习从表层走向深层、从现象走向本质。纵向数学化，要促进学生对相关学科知识的深度理解。如教学“解决问题的策略——转化”这一部分内容时，学生遇到了这样的问题：++……。有学生采用了“实算”的方法；有学生采用了“以小见大找规律”的策略等。但我认为，这两种方法都是一种“表层方法”，是一种通过观察得到的方法。如何引导学生的数学学习从表层走向本质？我在教学中引导学生画图，让学生边画边思、边思边画。通过学生具身认知，促进学生的认知进阶、思维进阶。学生用正方形来表示整数“1”，然后依次表示在解决问题的过程中，抓住“分数”“分数算式”等的特点，引导学生逐步纵向数学化，让学生建构“算式”的图式模型。学生借助于数学模型有效地解决了数学问题，同时对问题的数学本质也有了深刻的感悟。纵向数学化，促进了学生的数学认知推进。

（三）从低阶到高阶：引导学生经历“结构数学化”

结构数学化是一种基于学科系统的整体建构。它往往是在学生经历了“横向数学化”和“纵向数学化”的基础上展开的。结构化是将数学学科知识整合起来，成为一个系统性、结构性的整体。瑞士教育心理学皮亚杰曾经这样说，“全部的数学都可以按照结构的建构来考虑”，而这种建构始终是开放性、动态性、生成性的。皮亚杰认为，“数学就是用更强的结构来予以结构化”。[2]如在教学“角的度量”这一部分内容时，一方面，我依托学生的“认识厘米”的学习经验，引导学生进行知识建构；另一方面，通过这一部分内容的教学，引导学生树立一种“包含”的大观念，即“测量对象中包含多少个测量单位”。循着这一结构化教学思路，就可以引导学生通过具身认知活动来认识“角的度量单位”“建构量角尺的雏形”，并让学生把握作为测量角的大小的工具——“量角器”以及测量角的活动的本质。在此基础上，引导学生学习其他相关数学与知识如“长方形的面积”“长方体的体积”“时分秒”等时，学生就能积极地实现知识迁移、方法迁移等。结构数学化有助于学生对整个的数学学科系统进行整体性建构。

具身认知视域下的数学与再创造，是一种手脑协同活动的再创造。借助于横向数学化、纵向数学化和结构数学化，学生的思维能有效地爬坡。作为教师，要激发学生具身认知的兴趣，调动学生的具身认知积极性，让学生的具身认知唤醒、激发、生长学生的数学高阶思维。

二、具身认知视域下的数学“再创造”的策略

基于具身认知的视域，教师在教学中要引导学生进行积极的再创造。为此，教师要将教材中处于压缩形态的数学学科知识解压缩，通过学生的再创造活动，恢复其诞生时候的鲜活状态。[3]实践证明，只有让学生进行具身认知、充分地经历数学学科知识的再创造，才能助推学生的数学学习，才能让学生掌握数学学科知识的本质。

（一）先行组织，为学生数学“再创造”提供条件

学生的数学学习再创造，不同于人类探索知识时候的原始创造。在引导学生进行数学再创造的过程中，教师要创设平台、提供条件，对学生的再创造进行助推。同时，通过提供条件、搭建平台、给予支架，能提高学生数学再创造的效能。为此，教师要对相关的内容、素材、资源等进行发掘，要对相关的内容、资源、素材进行先行组织。通过先行组织，帮助学生搭建再创造的桥梁。如教学“梯形的面积”这一部分内容时，教师就可以应用“平行四边形的面积”“三角形的面积”等相关活动经验，搭建学生数学再创造的桥梁。如我在教学中首先引导学生复习“三角形的面积公式”“平行四边形的面积公式”，回归它们的推导过程，从而为学生创造梯形的面积公式奠定过程形态探究的基础。在此基础上，放手让学生展开自主性、自能性的思考、探究。学生就主动调动自我的经验进行积极的尝试，并进而搜索头脑中的相关的经验线索、知识脉络等。他们或画图推导，或操作推导。自行应用相关的方法如“倍拼法”“剪拼法”“分割法”等借助于具身认知活动，建构、创造出梯形的面积公式。如此，学生对新知旧知以及相关联的将来学习的未知就能形成一种有生命力的知识结构，进而形成有活力的认知结构。

（二）原型启发，对学生数学“再创造”形成启示

具身认知视野下的再创造，应当是一种启发、引导、点拨下的再创造。在学生的再创造过程中，教师不宜将数学再创造的方法直接告知、告诉，而应当借助于原型对学生进行启发，让学生获得启示，如知识原型、生活原型等。如，教学“画平行线”这一部分内容时，很多教师往往苦口婆心地讲解画平行线的要领。学生尽管“记住”了所谓的“两重合”等要点，但却很容易遗忘。究其根本，是因为学生对“画平行线”缺乏鲜活的操作表象。作为教师，不妨向学生展示推拉门、推拉窗户的操作过程，帮助学生在头脑中建立“生活原型”。然后，引导学生根据生活原型进行数学再创造：画平行线关键是什么？（让三角尺或者支持能平移）如何让三角尺或直尺平移？（建立轨道）如何建立轨道？（让三角尺或直尺与所平行的直线重合）。如此，学生就会借助于生活原型进行再创造，从而形成一种具身认知的样态。实践证明，生活原型能固化学生的数学认知，能推动学生的数学再创造。借助于生活原型等的经验性认知，学生会找到新知与原型的关联，找到问题解决的路径，进而能有效建构新知。通过原型启发，能有效发展学生的数学抽象、反思和创造能力。

（三）演绎修正，为学生数学“再创造”纠偏航向

学生的数学学习“再创造”，是一种积极的尝试、探索过程。在这个过程中，学生难免会发生错误。作为教师，可以通过逻辑演绎，对自我的数学猜想、类比等证实或证伪。演绎修正，就是要为学生的数学“再创造”纠偏航向。教学中，教师要引导学生将自我的直觉思维与演绎思维等结合起来，引导学生进行合理性、合情性的猜测，对猜想等进行验证、检验。如，在教学“3 的倍数的特征”时候，学生会自然地隐喻类比“2 的倍数的特征”“5 的倍数的特征”等相关内容，形成错误的猜想。面对学生的错误猜想，教师不必失措，而应当顺着学生的思路，引导学生通过具身性的验证实验活动对自我进行否定，从而纠正学生的错误猜想、激发学生新的猜想。借助于百数表的深度观察，借助于“计数器听音判定”等相关的游戏活动，学生能提出新的猜想，并积极主动验证自己的猜想。在此基础上，教师可以引导学生演绎证明，将一个数分成若干个9、99、999 等以及各个数位上数字的和。我们知道，若干个9、99、999 等一定是3 的倍数。因此，决定一个数是否3 的倍数关键是看这个数减去若干个9、99、999 等后余下的数，也就是各个数位上数字之和。在具身性的操作、演绎性的修正活动中，学生对数学学科知识的认知达到本质。

“再创造”的方式方法很多。作为教师，要引导学生充分经历数学化的过程。要创设条件、打造平台、提供帮助，助推学生的数学再创造活动。通过数学“再创造”，提升学生的数学学习力，让学生学会思考、学会建构、学会创造。实践证明，“再创造”是学生数学学习的有效方式，能发展学生数学“核心素养”。

三、具身认知视域下的数学“再创造”的价值

学生的数学学习“再创造”对于学生的数学学习而言具有重要的意义和价值。在小学数学学科教学中，教师要引导学生观察、比较、猜想、验证、推理、尝试等“身心一体”的活动。具身认知与学生的数学学习有着天然的关联。作为教师，要通过学生的数学化活动，通过学生的具身认知活动，激发学生的学习兴趣、深化学生的体验、让学生建立广泛的认知联结。

（一）“再创造”学习能激发学生“高兴趣”

相比较于说教性的数学学习，“再创造学习”一种更高兴趣的学习。再创造，让学生真正成为数学学习的主体、主人。在数学“再创造”活动中，学生会积极主动地猜想、探究，将学习内容作为研究对象。如此，数学学习内容在学生的眼里、心中就会变得有趣起来。对于学生来说，他们学习的动力不应当仅仅来自外部的压力，更应当来自自身的一种内在需要、兴趣、欲望。“再创造”学习，就是给学生提供了更多的动脑、动手等的手脑协同认知的机会，点燃了学生的内在学习兴趣、积极性、探索欲望等。如教学“长方体和正方体的认识”这一部分内容，如果教师仅仅让学生观察、归纳特征，整个学习就会显得索然无味。如果教师引导学生具身认知，让学生动手做一个“长方体模型”，才会激发学生学习兴趣。学生就会积极主动地寻找、探寻结构性的小棒，进而会将这些小棒搭建成长方体。在这个过程中，学生自然会认识长方体的特征。这种对长方体特征的掌握，是学生的一种感受性、体验性的认知，是深刻的、持久的。

（二）“再创造”学习能引发学生“深体验”

“再创造”活动是一种手脑一体化的活动。既然是“手脑协同”“手脑一体”化的活动，就一定能深化学生的“学习体验”。[4]在数学“再创造”活动中，教师将学生的外在压力转化为自身的内在需要，将单一的纸笔演算转变为具身活动，就能让学生获得深度体验。作为教师，要给予学生更多的动脑思考、动手实践机会。如，教学“可能性”这一部分内容，如果仅仅指向结果，很多学生都会凭借自身的经验、直觉直接得出相关的“结论”。而如果教师引导学生开展 “摸球”的具身认知实验活动，就会深化学生的认知体验，让学生生发出诸多的感悟。如有的学生认为，每一次摸球，袋子中的每一个球被摸到的可能性是相等的；有的学生认为，为了让每一个球被摸到的机会均等，每一次摸球时应当摇一摇袋子；有的学生认为，每一次摸球之后应当将被摸到的球放置到袋子中，等等。正是通过摸球的具身实践，才能让学生不仅对摸球的结果有了认知，而且对摸球的过程也产生了科学性的见解、主张。具身认知活动，让学生对学习表现出强烈的探究兴趣、探究愿望。

（三）“再创造”学习能促进学生“广联结”

具身认知视野下的数学“再创造”活动，能引导学生对之进行深度加工、多变处理、灵活应用。作为教师，要采用不同的方式进行联结，将学生头脑中相关数学学科知识串接成线、连线成面、勾面成体。要通过具身认知活动，引导学生对数学知识形成过程产生针对性、多层面的认知。要通过经验丰富、扩展、深化，对学生进行经验的改造、重组。如，教学“异分母分数加减法”这一部分内容时，我就有意识地唤醒、激活学生的“整数加减法”“小数加减法”等相关活动经验，引导学生再创造“异分母加减法的法则”。在观察、比较、演算、验算的过程中，学生能积极主动地将“整数加减法”“小数加减法”“异分母分数加减法”等相关内容关联起来，从而引导学生建构一种整体性、上位性的认知，即“只有计数单位相同才能直接相加减”。这样的一种上位认知，就是学生的高观点、大观念，对于学生后续学习相关加减法知识具有重要的启发、迁移作用。

具身认知视域下的“再创造”活动，能有效发展学生的高阶思维。作为教师，要努力创设条件、打造平台，让学生成为数学学科知识的建构者、创造者，成为数学定理、法则的发现者、探索者。基于具身认知视域下的“再创造”活动，旨在通过学习方式、学习理念等的转变，来培育学生的数学素养，从而改变传统数学教学“说教化”“纸笔化”现状，从而更好地彰显数学学科的育人功能，体现数学学科教育的时代性。