加涅教学理论对中学数学教学的启示

2023-09-09余泉喻平

教育研究与评论（中学教育教学） 2023年8期

余泉喻平

摘要：加涅教学理论的主要思想是，用学习的结果对学习进行分类，用信息加工模式沟通学习与教学的关系，不同的学习结果对应不同的教学设计。加涅的教学设计原理对中学数学教学的重要启示有：陈述性知识的教学应多视角呈现内容、多形式训练思维、多元化表征知识，程序性知识的教学应注重规则的迁移、设计和推广。

关键词：中学数学；加涅教学理论；陈述性知识；程序性知识；信息加工

本文系贵州省教育科学规划课题“‘深度学习视域下初中生数学创新意识实践研究”（编号：2022B057）的阶段性研究成果，也系喻平教授团队的“数学学习心理学研究及其教学启示”（中学）系列文章之十七。

加涅的两本著作《学习的条件和教学论》和《教学设计原理》在教学论领域有着重要的影响。虽然这两本书的写作背景与当下的教育改革现状不完全相同，但是加涅的教学理论对当前新课程的实施仍然有指导意义。

一、加涅教学理论的基本观点

概括地说，加涅的教学理论主要表现在三个方面：用五类学习结果概括学习任务；用信息加工模式概括学习过程；教学设计的原理是，根据不同的学习结果类型创设不同的学习内部条件并相应安排学习的外部条件。

（一）用学习的结果对学习进行分类

与许多学习分类不同，加涅提出，按照学习结果进行学习分类。学习分类的主要含义是对所学到的东西的系统归类，即对作为各学习事件的结果被个体获得的各种能力的归类。［1］学习结果就是学习后习得的各种能力。他提出了五类学习结果，即五类习得能力，分别为智慧技能、言语信息、认知策略、动作技能、态度。［2］

智慧技能是指使符號运用得以达成的能力，它对应的是程序性知识，即知道如何做某事，其表征形式是“产生式”。智慧技能包括四个亚类：辨别、概念、规则、高级规则。［3］（1）辨别指将刺激物的一个特征和另一个特征或者一个符号与另一个符号区分开来的能力。（2）概念可分为两种形式：具体概念和定义概念。具体概念指通过例子来识别概念，确定一类事物的属性；定义概念指通过定义来认识概念。（3）规则指各种原理、法则、定理或定律，一般由几个概念组成，是智慧技能中最典型的形式。（4）高级规则指由较简单的规则组合起来的复杂规则，与问题解决密切相关，特别是解决一些复杂问题时会表现出高级规则的使用。显然，智慧技能的四个亚类在学习中也是一个进阶关系，学习过程遵循辨别、概念、规则、高级规则的顺序递进，前者是后者的先决条件，后者是前者的学习进阶。

言语信息是指表述习得的观念的能力，它对应陈述性知识，即知道是什么。言语信息依照复杂性高低具体分为三种形式：命名、用简单命题表述事实、知识群（各种命题和事实的聚合体）。言语信息借助命题的网络贮存在记忆中。适当的线索有助于言语信息的提取。

认知策略是指内部组织起来的，用来调控学习者的注意、学习、记忆和思维的能力。在学习过程中，认知策略起执行控制作用，本质是个体的元认知能力。智慧技能指向学习者的环境，使学习者能够处理外在的信息；认知策略则控制学习者应对环境的行为，处理的是内在的因素。

动作技能是指通过一系列有组织的动作执行活动来习得的才能。动作技能由一系列联系紧密的动作程序组成，它很少用言语影响或线索提示来掌握，只有靠活动本身的练习。

态度是指内在的、影响个人行为选择的心理状态。态度影响学习者对某类事物、事件或人物采取某种行为。这种内部状态的影响是内部结构的控制过程，但它并不决定行为，只是影响行为。这种影响有积极的，也有消极的。

信息加工心理学把知识分为陈述性知识和程序性知识两类，程序性知识包括策略性知识（对内调控）和操作性技能（对外办事）两类。将加涅的五种学习结果与信息加工心理学对知识的广义分类进行比较，可以看到两者之间的密切联系（可用图1表示）。加涅只对智慧技能做了亚类划分，且把智慧技能排到五种学习结果之首，可见他对智慧技能的重视程度，这也是他的理论的特别之处。但是，只对智慧技能做亚类划分也存在一些问题，因为言语信息的学习，即陈述性知识的学习也涉及辨别、概念、规则，这三个亚类不是智慧技能所特有的。而且，从学习过程来看，学习者一般是先学习陈述性知识，然后将陈述性知识转化为程序性知识，即言语信息在先，智慧技能在后。比如，规则学习首先是理解规则（言语信息），然后才是应用规则解决问题（智慧技能），两个阶段都与规则学习相关。

教育目标的本质就是学生要学习的结果，加涅提出五种学习结果事实上是确定了五种教学目标。因此，对学习结果的确定是课程设计的逻辑起点，而不仅仅是教学的问题。《普通高中课程方案（2017年版）》和《义务教育课程方案（2022年版）》相继出台后，学习结果的定位非常清晰，就是要发展学生的核心素养。核心素养包括正确价值观、必备品格和关键能力，也就是说，当下的课程目标对应的学习结果是培养学生的正确价值观、必备品格和关键能力。显然，正确价值观、必备品格是比较明确的概念，关键能力则显得比较笼统，需要作出更加细致的刻画，于是，各学科核心素养便应运而生。可以看到，新一轮课程改革的思路与加涅教学论的基本思想如出一辙。

（二）用信息加工模式沟通学习与教学的关系

信息加工模式把人脑设想为由各个不同的构造体构成，把学习过程比拟为信息流的加工过程。加涅用信息加工心理学理论构建了一个学习与记忆的模型（如图2所示）。［4］

其过程可描述为：（1）通过感受器接受刺激；（2）通过感觉登记器登记信息；（3）为在短时记忆中贮存信息进行选择性知觉；（4）为在短时记忆中保留信息进行复诵；（5）为进入长时记忆贮存实行语义编码；（6）从长时记忆提取至反应发生器（工作记忆）；（7）通向效应器的反应生成；（8）在学习环境中表现业绩；（9）通过执行策略监控整个加工过程。

加涅对信息加工模式的构建不完全在于解释学习，而主要在于说明教学，把学习与教学紧密联系起来。他认为，信息加工心理学理论提出的各个内部过程正是处理教学问题需要解释的几个过程，就是了解哪种外部事件能够影响正在进行的内部过程（学习过程）。他认为，组成教学的各种事件必须源于已知的学习过程，教学过程与学习过程应保持一致。表1是加涅概括的教学事件与学习过程的对应关系。［5］

加涅用信息加工心理学理论解释教与学的关系，其基本思想是以学定教。只有清楚了学生怎么学，才能研究教师怎么教。这是学习与教学关系的基本逻辑。长期以来，教师更多考虑如何教，即研究怎么做，而较少思考为什么要这样做。事实上，考虑到“为什么要这样做”的层面，就是考虑到了学生怎么学的问题，就会回到问题研究的起点。这个问题是值得教师思考的。例如，在新课程的实施中，不能把知识掌握作为目标的教学模式习惯性地用到核心素养培养的教学中，而要思考如何通过知识教学达到发展学生核心素养的目标，于是要回到素养是怎么生成的这个逻辑起点上来。因此，加涅以学定教的思想具有很强的现实指导意义。

（三）不同的学习结果对应不同的教学设计

加涅在提出学习结果的五种形式，并用信息加工心理学理论建立学与教的关系后，重点针对五种学习结果的教学设计开展研究。加涅的教学设计原理主要考虑两个问题：一是确定学习结果的类型；二是创设这种学习类型的内部与外部条件。

基于这种思想，加涅对五种学习结果分别做了细致分析，给出处方式的教学建议和策略。例如，对智慧技能，分辨别学习、概念学习、规则学习、问题解决（高级规则学习）四个方面进行论述。辨别学习的内部条件是学生具备辨别所需的回忆或重现不同反应连锁的能力，外部条件则是教师对学生的反应作出及时的反馈。概念学习的内部条件是学生已经习得辨别能力，外部条件则是教师给学生呈现概念的正例和反例，强化学生对概念的理解。

加涅的“不同的学习结果对应不同的教学设计”思想，对教学设计有重要的指导意义。但现实中的情况通常并非如此，而是推行某种教学模式或方法去应对所有知识的教学，似乎存在可以进行所有知识教学的万能模式，一种“追求教学科学化”的倾向十分盛行。按照加涅的教学设计观，我们应当追求科学的教学，即以科学的态度和方式看待和处理教学。科学教学观的理念是，着眼学生的素质发展。其教学过程应理解为：在顺应教学科学性的基础上，融教学模式与教学智慧于一体，根据教学的具体内容、具体情境，根据学生的实际认知水平、情感态度，采用适宜的教学指导思想进行教学设计。［6］

在教学实践中，要辩证地看待加涅的教学设计思想。其一，加涅的教学设计思想是针对所有学科提出的，具有通用性，但具体到每一门学科，应当考虑各自学科的特殊性，对加涅的教学设计思想进行适当调整，特别是在考虑内部条件和外部条件时，更应如此。其二，加涅的教学设计思想主要是针对知识学习的，虽然也考虑到了态度，但与当前我国实施的新課程目标还是有一定差异的，即随着社会的发展，学习结果需要作出一些新的调整。

二、对中学数学教学的启示

不同的历史年代必然存在“断代现象”，教学目标会发生变迁，学习结果也会重新认识，但思想却会源远流长。如前所述，用加涅的教学设计思想指导当前的教学，不是将他提出的一招一式用于具体的课堂教学，而是从思想中得到启示。下面，重点谈谈“不同的学习结果对应不同的教学设计”思想对中学数学教学的启示。

基于信息加工心理学的广义知识分类和加涅的学习结果分类，结合数学知识的特征，我们对数学知识作了一种分类。数学知识包括陈述性知识、程序性知识。其中，程序性知识分为智慧技能和认知策略，智慧技能又分为简单操作性技能、复杂操作性技能；认知策略又分为策略性知识、反省认知。［7］这个数学知识的分类也就是知识学习的结果。下面，从知识分类入手，讨论如何通过知识教学实现对学生核心素养的培养。

（一）陈述性知识的教学策略

陈述性知识就是事实性知识，与加涅的言语信息对应。数学教材中的概念、定理、公式、法则等都是陈述性知识。

加涅指出，言语信息学习的内部条件，一是学习者具备一些以某种方式相互联系的知识。奥苏伯尔将这种贮存在头脑中的知识结构，称为认知结构。也就是说，言语信息学习的一个前提是学习者具备先前知识的认知结构。二是学习者对先前习得的知识有良好的表征。陈述性知识的表征是指在个体头脑中的贮存形式。如果表征恰当，在学习新知识时，就利于信息的提取。言语信息学习的外部条件，是教师为学生提供有意义的情境、突出新旧材料的区别、加强复习。显然，加涅关注的是知识学习效果的问题。

而我们更关注如何通过陈述性知识的学习发展学生的数学核心素养。与陈述性知识学习高度相关的数学核心素养有数学抽象（抽象能力）、逻辑推理（推理能力）、直观想象（几何直观、空间观念）。［8］因此，主要从三个方面思考教学策略：

1 多视角呈现内容

内容呈现方式多样化的目标是发展学生的数学抽象能力。陈述性知识的呈现方式较多，可以从知识生成的来源考虑：从现实生活中生成，从先前知识的发展逻辑中生成，在解决问题中生成；也可以从知识引入的形式考虑：从特殊到一般地引入，从一般到特殊地引入……无论采用什么方式呈现知识，都蕴含了数学抽象的因素，特别是从现实生活中生成、从特殊到一般地引入，与数学抽象关系更加密切。

例如，观察一组函数：f（x）＝x2，f（x）＝x4＋x2，f（x）＝x2＋1，f（x）＝1x6＋5……代入一对相反数进行计算，可以发现f（－1）＝f（1），f（－2）＝f（2），f（－3）＝f（3），f（－4）＝f（4）……于是通过数学抽象得到f（－x）＝f（x），x∈D，从而抽象出偶函数的概念。这是从特殊到一般的概念形成方式，直接指向学生数学抽象能力的培养。

之所以强调内容呈现方式多样化，是因为每种呈现方式都与数学抽象有一定的关系，而数学抽象的方式也不是单一的。例如，在事物的具体背景中，从数量或图形性质的角度抽象出一般的规律或结构；从一个概念或命题出发，采用减小内涵的方式得到概括程度更高的概念或命题；对一个概念或命题，采用增大内涵的方式得到一个新概念或命题；等等。因此，内容呈现方式多样化，才能全方位地培养学生的数学抽象能力。

2 多形式训练思维

思维训练方式多样化的目标是发展学生的逻辑推理能力。逻辑推理的形式有演绎推理和合情推理，教学中不可扬此抑彼。当前的数学教学过分偏重演绎推理而忽视合情推理，证实性思维占上风甚至完全消解证伪思想，让学生相信真理、无条件地接受真理，而产生这些真理所经历的无数证伪的思想被消解。这种局面不利于学生逻辑推理能力的全面发展。因此，数学教学应当将合情推理纳入其中，使演绎推理与合情推理有机融合，促进学生数学思维的全面发展。比如，这样的题：

（1）用计算器计算，得到算式的结果：34×34＝，334×334＝，3334×3334＝。

（2）从上面的算式和结果中，你得到了什么规律？

（3）利用上面得到的规律，不用计算器计算，直接写出算式的结果：33334×33334＝，333334×333334＝。

这组题要求学生用计算器计算得到算式的结果，并利用得到的规律直接写出算式的结果，所以不是考查学生的数学运算能力。第（1）问到第（2）问考查学生的归纳推理能力，第（2）问到第（3）问考查学生的演绎推理能力。因此，这道题很好地融合了合情推理与演绎推理，体现了多形式训练思维的功能。

3 多元化表征知识

知识表征方式多样化的目标是培养学生的直观想象能力。陈述性知识学习的基本目的是理解知识，理解的前提是表征。命题表征和表象表征是陈述性知识的基本表征方式。命题表征指由某些关系将基本命题联系起来，在头脑中形成网络；表象表征指借助于对事物的知觉表象来记忆陈述性知识。表象指人在知觉事物时，一般会在头脑中形成该事物的形象，而在回忆事物时，会以形象的方式呈现出来。显然，表象表征与学习者的直观想象直接相关。直观想象指借助图形感知对象的形态，由此理解问题和解决问题。许多数学问题需要借助图形来描述，往往通过建立形与数的联系去理解，通过构建直观模型去探索解决的思路。毫无疑问，理解几何概念、命题时，表象表征是主要形式。

理解知识，应当适当采用多元表征的方式，这样才能达到深度理解。例如，偶函数概念的定义是：如果对于任意的x∈D（D为定义域），都有f（－x）＝f（x）成立，那么称函数f（x）是偶函数。当学习者以这个定义方式来记忆时，就是命题表征。但是，要对偶函数概念有更深入的理解，就还应知道“偶函数y＝f（x）的图像关于y轴对称”。这个命题就说明了偶函数的图像特征，而将直观的图像贮存于头脑中，就是表象表征。比如，这样的题：

图3是两个函数的图像。请你根据这两个图像，解決两个问题：

（1）分别写出两个函数的解析式；

（2）就给定图像想象出一个现实问题。

函数的表达方式有解析式、图像、表格等，学生能在多种表达方式之间进行转化就体现了多元表征。第（1）问可以用分段函数解析式进行表达。第（2）问的设计思路是，给出一个数学问题，要求学生想象相应的现实情境。它可以培养学生的逆向思维和发散思维能力。一个合适的现实情境是：小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原来的速度返回，如图（a）所示；父亲在报亭看报10分钟，然后用15分钟返回，如图（b）所示。

（二）程序性知识的教学策略

程序性知识是关于人们怎么做事的知识，即做一件事情的程序的知识。程序性知识是动态的形式，陈述性知识是静态的形式，这是两者的区别。从两类知识的表征来看，其实没有严格的分界。如果把一个概念或规则作为一种静态的知识看待，它就是陈述性知识；如果把这个概念或规则用于解决问题，它就成为一种程序性知识。换句话说，程序性知识是由陈述性知识转化而来的。

程序性知识的表征方式是产生式。产生式是一条有逻辑关系的因果链，表现为“如果……那么……”的指令。例如，三角形的三个内角之和等于180°。这条定理由条件和结论组成，是一条典型的产生式。而把第一条产生式中的“那么”作为第二条产生式的“如果”，则形成一条“重叠产生式”；一系列“重叠产生式”就组成一个所谓的产生式系统。

我们认为，概念、规则的学习在理解阶段可视为陈述性知识，在应用（解决问题）阶段可视为程序性知识，包括智慧技能和认知策略。这样的认识，既符合知识分类，又体现数学学习的特殊性。而与程序性知识学习高度相关的数学核心素养有逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析。［9］基于此，提出程序性教学的三种策略：

1 注重规则的迁移

规则迁移有两种情形。一是一个规则在数学学科内不同知识结构中的应用，即一个结构中的规则用于解决另一个结构中的问题，这是学科内部的知识迁移；二是数学学科中的规则用于解决其他领域的问题，这是跨学科的知识迁移。显然，规则的迁移运用与数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模等多种数学核心素养都密切关联。

学习了一个规则之后，一般是先在一个相对狭窄的领域应用。随着学习内容的增加，不同知识体系的问题相继出现。一般来说，新的问题需要用新的规则来解决；但从思想方法的层面看，由前后知识引出的问题又可能是一脉相承的，在这种情形下，原来的规则就可能用于解决新知识结构中的问题，产生知识在学科内部迁移的情形。事实上，这也就是数学课程标准中强调的“通性通法”。

例如，在初中一元二次方程的代数结构中，使用韦达定理可以解决许多问题，如：（1）不解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，求两根x1、x2与系数a、b、c相联系的代数表达式；（2）不解一元二次方程，求以两根的代数式为根的另一个一元二次方程；（3）已知一元二次方程的一根，不解方程，求另一根；（4）已知一元二次方程的两根，求此方程；（5）利用方程两根之间的关系，求一元二次方程系数之间的关系……到高中阶段，学生学习了解析几何之后，韦达定理还可以用于解决相关知识结构中的一些问题，如：（1）求解二次曲线的中点弦；（2）求解二次曲线一组平行弦的中点轨迹；（3）求二次曲线的弦长……这就是学科内部不同知识结构之间的规则迁移。

2 注重规则的设计

使用规则是指根据已有的公式、法则进行运算，根据已有的定理进行推理。而设计规则有两层含义：一是在多种规则中选择恰当的规则进行运算和推理，也可能是运算和推理涉及多个规则，需要对这些规则的使用进行排序、组合，从而设计運算与推理程序；二是面对一个问题，没有现成的规则可以使用，需要设计新的算法或找到中间的过渡命题，达到解决问题的目的。比如，这样的题：

有一块长4米、宽3米的园地。现要在园地上开辟一个花园，使花园的面积是原来园地面积的一半，应该如何设计？尽可能对你设计的图案，通过有关计算说明面积的关系。

对此，可以给出一些设计方案（如图4所示），然后计算分出的面积，看其是否为原来长方形面积的一半。这里，每个图形面积的算法都没有给出，需要解题者自己设计。这就是规则的设计。

其实，数学建模就是典型的规则设计问题。数学建模过程主要包括：在实际情境中，从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。在分析问题、建立模型、确定参数的阶段，解题者需要选择恰当的数学工具，比较各种算法的优劣，确定最优算法。这就是规则设计的过程。

3 注重规则的推广

规则推广是指将已有规则推广到一个更大的范围内去使用。例如，勾股定理是余弦定理的特例，由勾股定理发展到余弦定理就是规则的推广。简单地说，数学命题的一般化过程就是规则的推广过程。规则推广是数学研究常用的思维方式，推广的过程是数学抽象的过程，是归纳推理或类比推理的过程，与数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养直接相关。因此，数学教学应当把规则的推广纳入其中。

例如，将一个分数的分子和分母乘以同一个不为零的数时，分数的值不会改变，那么，将一个分数的分子和分母加上同一个数时，会产生什么情况呢？此时，分数的值发生了变化，所得到的分数与原来的分数不再相等。进一步思考：这种不等关系是否存在一定的规律？

考察分数32，将分子和分母同时加1，得到3＋12＋1＝43＜32。进一步举例，将这个分数的分子和分母上同时加上2、3……得到3＋22＋2＝54＜32、3＋32＋3＝65＜32……于是得出猜想1：a、b、m是正整数，则a＋mb＋m＜ab。

再举反例驳斥这个猜想：对于分数12来说，1＋22＋2＝34＞12。分析不能成立的原因，发现必须对分子和分母加以限制，于是得到猜想2：a、b、m是正整数，且a＞b，则a＋mb＋m＜ab。

容易证明这个猜想是成立的。在证明过程中发现，“a、b、m是正整数”这个条件太强，可以弱化，得到猜想3：a、b、m是正实数，且a＞b，则a＋mb＋m＜ab。

上述猜想得到证明后，便成为一个定理。对这个定理进行推广，可以得到一系列结论：（1）已知a、b是正实数，x1、x2是非负实数，且a＞b，x2＞x1，则a＋x2b＋x2＜a＋x1b＋x1；

（2）已知a1、a2、b1、b2是正实数，且a1b1＜a2b2，则a1b1＜a1＋a2b1＋b2＜a2b2；

（3）已知ai、bi是正实数（i＝1，2，…，n），且a1b1＜a2b2＜…＜anbn，

则a1b1＜∑ni=1ai∑ni=1bi＜anbn。

参考文献：

［1］李乐天.加涅的教学模式研究［J］.华东师范大学学报（教育科学版），1985（4）：1125.

［2］［3］［4］ R.M.加涅.学习的条件和教学论［M］.皮连生，等译.上海：华东师范大学出版社，1999：5556，5963，80.

［5］盛群力.“为学习设计教学”——加涅教学设计观述评［J］.外国教育资料，1993（1）：1524.