深耕生本课堂，厚植学生素养

唐婷婷

摘要：基于学生素养，本文以“等差数列第一节课”为例，通过“设疑激趣、主动探究、迁移内化、互动评说”的环节，对生本课堂的提质增效进行了尝试，以期为教育工作者提供借鉴与参考.

关键词：等差数列；生本课堂；学生素养

1教学背景

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》在课程教学实施中指出：“数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐步形成的.”生本课堂的本质特征是“知识为基、能力为重、素养为向”.下面笔者以人教A版《选择性必修第二册》第四章“数列”中“等差数列”第一课时的内容为例，阐释聚焦学生核心素养的生本课堂的教学.

知识层面上，学生已经学习了数列的概念，通过类比函数的表示方法，掌握了数列的表示方法：通项公式（递推公式）法、列表法、图象法.学生经历了归纳推理的过程，具备了归纳总结和类比迁移的能力.方法层面上，通过一系列情境化问题，让学生感受到数学来源于生活又应用于生活.在等差数列通项公式的推导中，渗透了归纳、迭代、累加等数学思想方法，为学生的后续学习助力.

2教学目标

（1） 通过情境化教学，学生能在具体的问题情境中找出等差关系，初步掌握等差数列的证明方法.

（2） 经历等差数列概念的揭示过程，探究等差数列通项公式的多种推导方式，学生通过观察、分析、探索、归纳和推理等数学思想方法，提升数学抽象和数学建模等核心素养.

（3） 学生通过小组合作，会利用等差数列的定义及通项公式解决相关问题，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯.

3教学重点、难点

教学重点：等差数列的概念和等差数列通项公式的推导.

教学难点：等差数列的“等差”特点及等差数列的证明.

4教学实录

4.1设疑激趣，强化概念

引入：上节课我们研究了数列的概念，知道数列是一种特殊的函数.我们在学习函数时先研究了函数的概念、性质，接着研究了一些基本初等函数，如幂函数、指数函数、对数函数等.那么，类比函数的研究方法，接下来应该研究基本初等数列了，那先研究哪一种基本初等数列呢？请同学们先看以下四个问题情境.

情境1：北京圜丘坛为古代祭天的场所，圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的9圈扇形石板从内到外各圈的石板数依次为9，18，27，36，45，54，63，72，81.

情境2：S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是38，40，42，44，46，48.

情境3：测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度，得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度（单位：℃）依次为25.0，24.4，23.8，23.2，22.6.

情境4：某人向银行贷款x万元，贷款时间为n年，如果个人贷款月利率为r，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b万元，其中b=x/12n，每月支付给银行的利息（单位：万元）依次为xr，xr-br，xr-2br，xr-3br，……

问题1：观察上述情境中的数列，你能用数学语言描述它们的共同特征吗？

问题2：在数学学习过程中，我们经常运用“特殊到一般”“已知推未知”的思想方法，如在指数函数的学习过程中，我们可以通过运算发现问题情境中数值的变化规律.类似地，你能通过运算发现以上问题情境中数列的取值规律吗？

问题3：公元前1650年左右的埃及数学著作《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）中就有等差数列的相关记载，楚国铜环权的重量也是按等差数列来划分的.在我们日常生活中，人们也常常用到等差数列，你能举出一些身边的例子吗？

设计意图：因为数列是特殊的函数，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义.教学时，教师可适当加入等差數列的数学史，激发学生的学习兴趣，进一步让学生体会到等差数列就在身边.

为了说明等差数列广泛存在于现实生活中，举了4个实际例子，其中前两个例子是关于建筑和服装设计的，说明人们在设计中会主动使用“相等间隔”的数，后两个例子则说明人们通过测量、计算等从自然界或经济生活中可能得到“间隔相等”的数.通过对具体的等差数列例子的归纳概括，我们获得等差数列的定义.等差数列的研究既起到了承上启下的作用，又为研究等比数列作出了示范.

教师：（由“差都相等”引出课题，交由学生讨论得出定义）我们来看这个定义，符号语言：an-an-1=d，n≥2（n∈N*），为什么是从第二项起？从第一项起行不行？

学生1：第一项不存在前一项，所以如果从第一项起那就没有办法作差了.

教师：如果从第三项起作差行不行？

学生2：如果从第三项起作差，那么第一个差就是a3-a2，所有差中就不包含a2-a1了，所以数列从第二项起是等差数列.

教师：看来，等差数列的定义中必须满足从第二项起，那为什么每一项与其前一项的差都等于同一个常数？能不能把“同”字去掉？

学生3：那就不一定是等差数列了，反例：0，2，6，8.

教师：很好！“同一个”具有任意性，所有的差都得相等，所以才叫公差.如此看来，这个定义真是反映了这类数列的特征了.

问题4：一个等差数列最少需要几项？

学生4：至少三项（引出等差中项的概念）.

4.2主动探究，应用概念

4.3迁移内化，变通概念

例1（1） 已知数列{a_n}的通项公式为a_n=9-2_n，求{a_n}的公差和首项.

（2） 求等差数列18，15，12，……的第30项.

（3） -401是不是等差数列-5，-9，-13，……的项？如果是，是第几项？

设计意图：通过对等差数列的通项公式的简单应用，帮助学生理解公式所涉及的几个基本量a₁，d，n，a_n之间的关系.使学生逐步形成利用等差数列的“基本量”建立代数关系式（方程、方程组）以解决问题的思想方法.

例2狮子座流星雨在每年的11月14日至21日左右出现.一般来说，流星的数目大约为每小时10颗至15颗，但平均每33年狮子座流星雨会出现一次高峰期，流星数目可超过每小时数千颗.这个现象与坦普尔·塔特尔彗星的周期有关.由于狮子座流星雨的辐射点位于狮子座，因而得名.据气象台检测，2013年11月17日曾出现一次狮子座流星雨高峰期.请你预测2124年是否会出现狮子座流星雨高峰期？

设计意图：例2旨在对现实情境进行数学抽象，鼓励学生不畏困难，在错综复杂的现实背景中抽象出最为本质和核心的数量关系，建立等差数列的模型，并运用数学语言进行表达.通过解决数学问题，进而解决实际问题，让学生感受数学来源于生活，同时又服务于生活，不断提高其数学建模和数学抽象的能力，积累活动经验，形成素养.

4.4互動评说，深化概念问题10：本节课你学到了哪些？

学生8：类比函数的研究过程，通过学习等差数列，可以总结出对一个数学对象的一般的研究路径.

函数的事实→函数的概念→函数的表示→函数的性质→基本初等函数→函数的应用.

数列的事实→数列的概念→数列的表示→数列的性质→特殊规律数列→数列的应用.

设计意图：通过本节课的学习，引导学生总结出对一个数学对象的一般研究路径，将之前学习的零散的、片段的、割裂的知识，生成相互关联的、成系统的、综合性强的知识体系，使学生不仅对本节课知识，更是对一类研究对象的研究路径有完整清晰的认识，从而通过生本课堂提升学生数学素养.

5聚焦学生素养的生本课堂教学启示

5.1知识为基，导航生本课堂

“养其根侍其实，加其膏希其光”“以学定教”是生本课堂的重要特征.本节课依托等差数列概念的形成和通项公式的推导，把握数学知识的本质，设计并实施合理的教学活动，把教学目标渗透到问题串中，符合学生的最近发展区，让学生在质疑问难和讨论交流中提高学习兴趣，获取知识，从理解知识到迁移知识，最后到创新知识，不断感受成功的愉悦，提升能力.

5.2能力为重，践行生本课堂

新课程强调在教与学的过程中不仅要关注学生的学习结果，更要重视学生的学习过程，注重课堂观察，以学生的有效参与为前提，积极倡导自主学习、合作学习、探究性学习等学习方式.在本课堂学习中，学生是主体，教师通过多种方法设计探究渠道，引导学生思考、归纳、探究等差数列的相关内容，理解知识本质，进而培养学生数学抽象、数学建模等核心素养.

5.3素养为向，优化生本课堂

卢梭曾说：“问题不在于告诉他一个真理，而在于教他怎么发现真理.”通过上节课的学习，学生发现数列是特殊的函数.本节课通过让学生回顾函数的研究过程，梳理出等差数列的研究内容、路径和方法.学生在明确“要学什么”“怎么学”的基础上，一步步展开探究.教师在教给学生等差数列知识的同时，还教会学生研究一个新的数学问题的路径，要求学生应用迁移学习的方法认识问题，应用抽象事物的思维分析问题，应用宏观体系的角度解决问题，为后续学习等比数列积累数学活动经验.参考文献：

［1］ 温建亿.基于数学核心素养培养学生提出问题能力的意义分策略［J］.数学教育学报，2023，32（3）：1317.

［2］ 余明芳，王锐敏.数学精神素养涵育：教学的进路与方略［J］.中国教育学刊，2023（6）：7479.

［3］ 张兵源.数学运算素养培养的联系与思考［J］.数学通报，2023，62（2）：913.