整体建构，从表象到本质——兼评《乘法的初步认识》一课

文|刘 松（特级教师）

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称“新课标”）再次明确了数学的学科属性。数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象及其关系；基于抽象结构，通过对研究对象的符号运算、形式推理、模型构建等，形成数学的结论和方法，帮助人们认识、理解和表达现实世界的本质、关系和规律。如何让学生经历数学概念（比如：乘法）产生的全过程，让学生学会像学科专家一样思维，是数学教育永恒不变的追求。因为，只有经历了类似数学学科专家式的思维，学生的数学素养才能真正形成。

依据新课标，《乘法的初步认识》一课属于第一学段“数与运算”主题领域，该主题“内容要求”共6 条，与本课有关是最后两条：探索乘法的算理与算法，会简单的整数乘法；在解决生活情境问题的过程中，体会数和运算的意义，形成初步的符号意识、数感、运算能力和推理意识。相应的“学业要求”是：能描述乘法运算的含义，知道乘法是加法的简便运算。“教学提示”则为：在具体情境中，启发学生理解乘法是加法的简便运算。在教学活动中，始终关注学生运算能力和推理意识的形成与发展。

显然，新课标中已经非常明确地说明了《乘法的初步认识》一课所应落实的四个数学核心素养——符号意识、数感、运算能力和推理意识，以及应该采用的基本教学方式——在具体情境中，启发学生理解乘法是加法的简便运算。目标和方式已然明确，如何才能做得更好呢？

通过文献查阅会发现，《乘法的初步认识》一课，许多名师和专家都有过精彩的演绎，一线教师可以秉承拿来主义，学习模仿即可。但此课内容看似简单，其实不然！克莱因说过，“历史顺序通常是正确的顺序，数学家所经历的困难，正是我们的学生要经历的困难”。从加法到乘法，对教师来说只一步之遥，对学生来说却是一个质的飞跃。近期，工作室的张聪聪和徐浩两位年轻教师就此课做了部分探索和尝试，颇有些启发。

一、乘法初步——认知结构的重要枢纽

小学生的数学认知结构主要是加法结构和乘法结构，而乘法结构是在加法结构基础上产生的高层次的数学认知结构。学生加法结构的构建为后续数学学习提供了最基本的知识准备和心理发展准备。乘法结构是心理学家吉尔德·维格诺德提出的，乘法结构不是指单一的认识乘法，而是一个概念体系，基本概念是乘法与除法，与之相关的倍、最大公因数、最小公倍数、运算规律甚至面积、体积、表面积、速度等概念和定律。

“乘法的初步认识”是从特殊的加法角度学习的，还是“合并”与累加的过程，本质上仍是“加法结构”。毋庸置疑，乘法概念的建立，是整个乘法结构大厦建立的起点和基石。在整个小学阶段的数学认知结构中，“乘法的初步认识”处于承上启下的重要节点位置。正因如此，张聪聪老师的教学，定位从“数数”开始，感受运算的一致性，不可谓视野不大！很像北师大版教材的编排特点——数一数与乘法。对于时下热议的整体教学，江苏省现任小学数学教研员郭庆松老师有句精彩的解释：“格局足够大，就是整体教学。”笔者特别喜欢这句既通俗又深刻的阐释。年轻的张老师显然在努力为之，值得点赞！

但仅仅是从“数数”开始，远远不够，更重要的是，必须让学生明白乘法与加法的联系，经历并体验乘法如何从“特殊加法（加数相同）”中“生长”出来的全过程。所以，张老师教学的核心环节是展开“数数”，对比分析理解“几个几”（如下图）。这几乎是所有教师在教学时都必须浓墨重彩的关键步骤。如此，乘法的认识紧紧围绕相同加数加法展开，学生在看见乘法“生长”的同时，可以真切地感悟到乘法的本质。

二、结论优化——概念建构的重要支撑

对于乘法概念的建立，现行人教版教材编排与过去没有多大改变。例1 三幅“等组模型”的情境图，得出3＋3＋3＋3＋3＝15、6＋6＋6＋6＝24、2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＝14 三个加法算式后，教材直接给出一句话：这种加数相同的加法，还可以用乘法表示。如此编排，当然很好！苏教版、北师大版等教材也基本都是类似的表述。且一线教师们更是充满了智慧，很好地弥补了现行教材中限于篇幅所致的共性“不足”，巧妙地解答了来自学生的疑问：明明可以用加法运算解决问题，为什么还要学习乘法？而且也并没有体现出多么简便啊？

教师都是怎么做的呢？大部分教师会运用夸张的手法，把相同加数连加的加法算式写得很长，让学生真真切切地感觉到这样写的确很麻烦，进而认为还是乘法算式简洁。如此经典的手法，笔者30 年前初见时，曾佩服不已。但用新课标的要求审视，是否还存有改进空间呢？再冷静地想一想，如此教学，是否依然浮在表面，不够深入呢？从落实核心素养的角度，上述符号意识、数感、运算能力和推理意识这四个核心素养都落实到位了吗？我们是否还丢失了更为重要的核心素养？

乘法产生的真实过程，究竟如何？笔者比较赞同徐浩老师在课前思考中的观点，应该是人们在发现了相同加数连加这一类加法算式的特点，得到“计算的结果只与加数本身和加数的个数有关”这一重要结论（规律）之后，继而想到优化此类加法算式的算法，从而得到新的运算方法——乘法。学生应该经历：探究发现规律，探讨得到结论，再想到“创造新的运算”来解决问题的逻辑过程。经历这样的探究过程虽然困难，但是非常必要，这才是学科专家式的思维。今人无法回到当初，但我们完全可以引导学生经历前人曾经的思维历程。

加法不是数学运算的全部，四则运算也不是数学运算的全部，当现实需求与数学自身发展遇到需要新的运算方式时，我们需要引导学生意识到，如果现有的运算方式相对麻烦，可以想一想能不能找到某种规律（特征或结论），然后创造一种全新的运算或方式来解决问题。如果教给学生加法，是为了让学生能够想到用抽象的数学符号来刻画现实世界，那么教给学生乘法，就应该是为了让学生能够想到用新的数学符号与形式来优化对数学世界的刻画。教学到这一层次，学生才有可能真正理解为什么许多相同加数连加的加法算式改写成新的运算“乘法”时，只需要两个数（被乘数和乘数）即可，这才是更为深刻的理解。同时也更能体会到新的符号“×”产生的价值和意义。在此过程中，还培养了学生的创新意识。谈到创新意识，不仅仅是新课标强调的核心素养的主要表现之一，其实，这是数学教育的终极目的所在。

三、矩阵表征——知识融通的重要手段

前文中写到被乘数和乘数，可能有教师会提出疑问，现行教材中不是早已不再区分了吗？是的！上文的表达，除了对应相同加数加法的和只与“加数本身”及“加数的个数”两个因素有关外，还想表达的是，现在不区分了，不代表数学事实不存在。过去教材中强调被乘数和乘数的区别，的确给学生的学习带来很大困扰，许多学生学了很久后，依然分不清楚，等到好不容易分清楚了，乘法交换律又出现了，教师和学生会顿时感到，兜兜转转，费了很大的努力，又回到了原点，似乎前面的功夫都白费了。所以，现行教材不再强调被乘数和乘数的区别，笔者双手赞成！但是，不区分，学生的学习负担减轻了，是否又带来了新的学习负担？

从张聪聪老师的学情分析中可以看出，下述“错误”，如果没有图示，单看加法算式和乘法算式，其实是完全正确的。再进一步，即便有图示，学生若反驳，他就是“两两一组（8 条腿）”看的，教师又该如何解释才能让学生心悦诚服？

问题出在哪？其实教师们都明白！当被乘数和乘数不再区分后，有两个现实问题摆在学生面前，就是要理解并清晰分辨一幅图（如下图）。

可以列出两道乘法算式8×4和4×8。反之，一道乘法算式背后对应着两幅图。比如8×4，对应的等组模型可以是每组8 个，有同样的4 组；也可以是每组4 个，有同样的8 组。（如下图）

这对部分数理智能较好的学生而言，理解起来没有问题。但对全体学生而言，掌握起来会有一定的困难。

如何降低学生的学习困难？比较有效的方法之一，就是把上述两幅图整合为一幅图，通过“横着看”“竖着看”的引导，让学生尽快感悟并理解“矩阵模型”。显然，两位年轻教师都意识到了这一点，在课的最后板块，都巧妙地呈现出来。

张老师的做法是，通过两幅图对比，而后过渡到矩阵图（如下图）。

徐老师则直接出示两幅矩阵式鸭子图，分别横着看和竖着看，学生可以直观地发现，一幅图可以对应两道乘法算式。

然后徐老师追问：可否把6＋6＋6＋6＝24 与4＋4＋4＋4＋4＋4＝24 也用一幅图来表征，学生即刻得出下图。

殊途同归，百虑一致！两位年轻教师的教学，虽然具体路径不同，但最终都走到了一起。

对《乘法的初步认识》一课的研究，远不止这些。以上仅是自己粗浅的一些想法。两位年轻教师的教学中，也同样存在一些瑕疵和不足，恳请各位方家批评指正！