基于运算一致性 凸显乘法运算本质——《分数乘整数》素养进阶习题展评及教学建议

文|孙衣云

一、习题展评

●习题一

1.习题内容

涂一涂，填一填，算一算，说一说。

2.能力指向

考查学生多元表征分数乘整数的意义和算理并进行正确计算的能力。学生通过“涂一涂，填一填，算一算，说一说”，进一步体会到分数乘整数的计算模型——计数单位不变，计数单位个数相乘。通过面积模型图和线段图让学生多元表征分数乘整数的意义和算理，展示多种计算方法。从算式到图，再从图到算式，进一步巩固分数乘整数的算理。通过沟通对比，比较算法之间的相互关联，寻找共同点。

3.学情分析

对学生进行后测，大部分学生能在不同的模型图上表征分数乘整数的算理并正确计算，但基于计数单位说出算理还有一定困难。《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称“新课标”）颁布之前没有特别强调用计数单位为要素来表达算理，也没有沟通整数、小数和分数乘法运算本质的一致性，教学大多呈现出数与运算线性结构和知识之间割裂现象，从而使得学生前面知识学习和现行要求有脱节。

●习题二

1.习题内容

2.能力指向

考查学生分数乘法的综合应用意识，体会分数乘整数在生活中的意义，并解决相关问题。通过进一步解决生活中的数学问题，巩固分数乘整数的意义和算理，体会分数在生活中的应用，学生通过辨析比较分数乘法的不同表征，充分理解分数乘法在不同情境中的意义和内涵。选项“D”为分数除法的学习做了铺垫。

3.学情分析

选项“D”对学生充分辨析分数乘法和分数除法的意义起到了很好的干扰项作用，部分学生对分数乘法的意义理解不是很扎实，在具体情境中的意义表达不够清楚。学生画图并计算分数乘整数的正确率比较高，但表达算理需进一步加强。

●习题三

1.习题内容

杯中原来盛有1400 毫升水，倒完水后情况如下图。从杯中倒出多少毫升水？还剩多少毫升水？

2.能力指向

考查学生综合解决数学问题的能力，再次巩固分数乘整数的运算方法。鼓励学生在生活情境中，综合自己对于题意、运算及算法的理解，灵活解决问题。此题是开放题，可以用多种方法来解决。

3.学情分析

二、教学建议

1.重视教学内容整体性，进行结构化学习

落实对运算一致性的理解，对于现行用旧教材的学生有一定困难。要突破此问题，核心是凸显知识之间的内在联系，体现结构化。因此，在目前新课标、旧教材的背景之下，需重视教学内容的整体性，用结构化理念组织教学内容应该是我们的首选。为了唤醒学生的类比经验，把零散的乘法内容构建成一个整体，从整数乘法教学开始，教师就要帮助学生理解计数单位累加的过程。如两位数乘一位数，可以运用计数单位累加帮助学生理解算理：18×4=10×4+8×4=（1×4）×（10×1）+（8×4）×（1×1）=72。学生理解乘法运算是计数单位累加的过程，通过点子图等数形结合的方法来理解算理。弄懂弄通整数乘法算理算法，就可以迁移到小数乘法和分数乘法，感悟运算的一致性。这样，整个小学阶段的乘法运算就一脉相承，具有整体性和结构性了。乘法运算算理都可以概括为：其一是寻找新的计数单位，其二是统计有多少个这样的单位。

2.重视沟通与关联，把握运算一致性

在习题练习中，发现学生对乘法运算本质的一致性还是比较陌生的。教学分数乘整数时，让学生经历多元表征表达算理、沟通对比理解算理、抽象提炼归纳算法。分数乘整数教学要体现“重视沟通、整体联系”，要用计数单位累加来表达与转化计算过程，发现运算的内在关联。使学生初步领悟整数、小数、分数乘法都是基于计数单位和计数单位相乘，得到新的计数单位，计数单位个数和计数单位个数相乘，得到新的计数单位个数，其运算本质是一致的。如图进行以下的沟通与对比，发现乘法运算本质的一致性，都是基于计数单位累加的过程。

3.重视运算交流与表达，加强算理理解

新课标实施以来，乘法运算主要以计数单位为基本要素的累加的过程。教师要重视学生对这样数的运算意义的交流与表达。在新理念现行教材下，学生知识的形成主要是借助对意义的理解和直观情境，但数运算本质的一致性理解需要一定的形式化表达与转化，这方面是小学生的弱项，所以需要提高学生在这方面的数学能力，在形式化的层面上基于“计数单位”的累加来推导分数乘法的运算过程。