梁板型声子晶体带隙特性及列车减振性能研究

闫庚旺，姚松，李盈利，周文希，姜旭东

(1. 中南大学 交通运输工程学院 轨道交通安全教育部重点实验室，湖南 长沙，410075；2. 轨道交通安全关键技术国际合作联合实验室，湖南 长沙，410075；3. 轨道交通列车安全保障技术国家地方联合工程研究中心，湖南 长沙，410075；4. 长春中车轨道客车股份有限公司，吉林 长春，130062)

振动与噪声品质常被用来衡量现代大型装备的发展水平，中低频振动和噪声会严重影响机械设备工作性能[1]；且对人类生活及工作环境造成重大影响。列车运行过程中的振动是轨道不平顺、隧道风载、设备自振等激励共同作用的结果，且与车辆结构及运行工况等有关[2]。

振动与噪声控制方法主要分为主动及被动减振降噪2种方式：1) 抑制激励源的振动/噪声强度、阻隔或吸收传递路径上的能量、改变受体对象的物理参数来降低振动的影响[3]；2) 引入外加动力源来抑制振动与噪声。由于被动控制可靠性高、成本低且易于实施，在实际工程中得到广泛应用。但现有的被动控制手段在其灵活性、减振频率范围等方面存在一定局限性，受限于隔振的质量-密度定律，车体的高频振动已被较好地控制，但中低频振动与噪声仍难以达到理想的衰减效果[4]。

声子晶体可通过人为设计的周期结构/材料产生带隙特性，在其频率范围内能够有效地抑制弹性波传播，对人工周期结构的几何/材料参数进行调节可实现对弹性波的灵活调控[5-7]。在带隙外，声子晶体呈现出负折射[8-9]、声聚焦[10]、负等效参数和定向传播[11-12]等性质。局域共振型声子晶体由于局域共振散射体的作用，可在小尺寸拓扑结构下获取极低频率的带隙，且对周期性要求不高[13]，尤其是兰姆波型声子晶体梁板结构更加适用于实际工程[14-16]。作为地铁车辆结构中基本构件的杆、梁、板等连续介质是产生及传递振动与噪声的主要载体，将其设计为具有带隙特性的人工周期结构，产生带隙特性来抑制弹性波的传播效应是实现车体中低频减振降噪的切实可行的方法[17-18]。

本文立足于解决列车运行过程中难以衰减的中低频振动问题，基于局域共振型声子晶体的物理特性，在车体现有夹层板结构的基础上设计出由基体板、橡胶和散射体组成的复合贴附型/填充型局域共振声子晶体；通过数值仿真方法探究带隙特性及其振动传递特性，并进一步对比研究结构/材料参数对带隙特性的影响；同时，利用实车关键部分运行振动频谱验证声子晶体构件的隔振性能，以期为地铁车辆低频减振优化设计提供可行的思路。

1 理论模型与计算方法

本文在广泛应用于车体的双层板的基础上提出贴附型/填充型声子晶体梁板结构，其可在确保部件结构强度的基础上突破空间几何尺寸的限制。在上下面板之间周期性地附加由软硬材料组成的共振体构建贴附型局域共振声子晶体结构，如图1(a)所示。图1(b)所示为声子晶体单胞，其中单胞晶格常数为a；铝合金上下面板的厚度均为h；共振圆柱体单元由上下层橡胶及中间铅层柱体组成，橡胶层的厚度为d2，铅块的厚度为d1，圆柱体的截面半径为rc。

图1 贴附型局域共振声子晶体及其计算模型Fig. 1 Attached local resonance phononic crystal and the computational model

图2(a)所示为上下面板周期性挖孔并填充其他材料形成的二维三组分局域共振填充型声子晶体结构，图2(b)所示为其所对应的声子晶体单胞，其基体材料为铝板，散射体选取铅层，两者之间圆环部分为硅橡胶。几何拓扑构型中，铅层半径为R1，橡胶圆环层外半径为R2。为方便计算，对填充型局域共振声子晶体的厚度方向进行简化，只研究其二维平面内振动特性。

图2 填充型局域共振声子晶体及其计算模型Fig. 2 Filled local resonance phononic crystal and the computational model

本文采用数值仿真商业软件COMSOL Multiphysics 5.6固体力学模块求解能带结构，并分析其带隙特性及弹性波传播情况，其核心是求解波动方程。图1(c)及图2(c)所示均为单胞结构的数值仿真模型。在忽略阻尼的影响下，弹性波在线弹性非均匀介质中的波动方程为[5]

式中：r为位置矢量，r=(x，y，z)；u(r)为位移矢量，u(r)=(ux，uy，uz)；t为时间；C(r)和ρ(r)分别为材料的弹性张量及密度张量。

由于声子晶体的周期性，仅需计算代表性单胞的振动特征即可获取频散关系。相邻重复单胞的交界面边界采取Bloch-Floquet 周期性边界条件[19-20]，此时单胞的离散形式的特征值方程及边界条件可表示为

式中：K为结构刚度矩阵；M为质量矩阵；U为单元节点位移矩阵；ω为特征频率。在代表性单胞中，ud为周期性边界目标面的位移矢量，us为周期性边界源面的位移向量，i 为虚数单位，k为波矢。

联立式(2)与(3)，使波矢k分别沿x和y方向扫描正方形晶格的不可约布里渊区边界，求解对应的特征值，即可得到贴附型/填充型局域共振声子晶体结构的能带结构。

2 计算结果与分析

本节基于数值仿真分析所得到的声子晶体构型的能带结构、模态振型、物理特性及有限阵列结构传输特性对带隙特性的影响，深入探究其形成机理；此外，探究结构参数对带隙特性的影响，从而根据目标减振频率及弹性波特性对带隙特性进行正向调控。

基于车体关键部件振动测试结果，确定车体侧壁板及司机室地板的目标低频减振频率范围及应用条件，监测车体振动水平，以期为噪声及振动控制提供重要参考，进而验证局域共振型声子晶体结构的减振特性。

2.1 能带结构及模态分析

数值仿真所用的结构参数及材料参数分别见表1 和表2。鉴于单胞的点群对称性，仅需在不可约布里渊区边界取波矢值即可表示整个周期系统的本征场。能带结构图是以波矢k(kx，ky)为横坐标，以本征值为纵坐标的曲线图，每组本征矢及所对应的本征值代表一种运动状态。图3所示为贴附型局域共振声子晶体的能带结构，且在图中标记不可约布里渊区、Γ、X以及M为所对应的高对称点。从图3 可发现在77～172 Hz 之间存在弯曲带隙，灰色阴影区域为带隙范围。图3中能带结构所对应的不同类型振动模态A1～A9如图4所示，箭头方向指示结构质点振动位移方向。

表1 声子晶体单胞各组分材料参数Table 1 Material parameters of each component of the phononic crystal unit cell

表2 声子晶体单胞几何参数Table 2 The geometric parameters of the phononic crystal unit cell

图3 贴附型局域共振声子晶体能带结构Fig. 3 Band structure of attached local resonance phononic crystal

图4 图3能带结构中所标记的模态振型Fig. 4 Mode shapes of corresponding points marked in the band structure in Fig. 3

模态A1对应于贴附型局域共振声子晶体能带结构中第1条色散曲线的振动形式，单胞的共振单元围绕xOy平面轴线呈旋转振动，同时上下面板保持相对静止状态。在第2、3 条色散曲线上的模态A2、A3中，单胞的振动模态表现为单胞整体在xOy平面内作刚性平移运动，并且中间铅层运动具有较大的位移幅值，不同之处在于两个模态的运动方向有所不同。同样地，模态A5、A6位移场为共振单元沿着xOy平面轴线的平移运动与上下面板的面内剪切运动耦合而成，而其上下面板的纵向振动相位相反。因此，该贴附型局域共振声子晶体能带结构中不存在纵向带隙，对纵向弹性波不存在衰减作用。

弯曲带隙上下边界模态位移场A4、A7和A8主要表现为内部共振单元沿z方向拉伸及收缩振动与上下面板的弯曲振动耦合作用。进一步而言，模态A4中的柱体与上下面板同相垂直运动，但是能量主要集中在上部面板，上面板位移远大于下面板位移；而模态A7和A8中的铅层相对静止，振动能量主要集中在两层橡胶中。此外，A7中的上下面板以相反相位使得结构达到动态平衡，模态A8中上下面板以相同相位达到振动动态平衡，因此模态A7及A8被区分为对称垂向振动模态及反对称垂向振动模态。贴附型局域共振声子晶体在上述模态的共同耦合作用下，在77～172 Hz频率范围之间仅发现面内平移振动和绕其中心的扭转运动，单胞的z方向弯曲振动未被激发，故而在此频率范围内产生弯曲带隙。对于高阶色散曲线模态A9而言，其振动形式是由共振单元沿yOz平面轴线进行旋转运动以及上下面板的面内剪切运动耦合而成的，存在高阶变形，因此，出现多条高阶色散曲线交叉的现象。

图5所示为填充型局域共振声子晶体能带结构及其特殊点相对应的模态振型。模态A1的位移场表现为共振单元绕圆心的旋转运动，铝合金基体充当静止层，硅橡胶圆环产生相对较大的位移。模态A2、A3所在的2 条色散曲线有所重叠，其模态振型为单胞整体面内振动，铅块及铝合金基体产生较大的位移，但A2和A3以不同的相位达到动态平衡。A4和A5模态振型中，铝合金基体相对静止，铅层以不同相位进行面内运动。因此，在A2～A5模态耦合作用下，117.7～172.3 Hz 的面内中低频带隙被打开。高阶色散曲线上的模态A6表现为橡胶层圆环的旋转及面内移动，位于569.3～580.1 Hz的狭窄带隙也在多模态耦合作用下出现。

图5 填充型局域共振声子晶体能带结构及其模态振型Fig. 5 Band structure and corresponding mode shapes of filled local resonance phononic crystal

2.2 传输特性分析

建立如图6所示的有限阵列结构，其由8×8个贴附型/填充型局域共振声子晶体单胞在2 个方向周期性排列而成，通过分析弹性波在该系统中的传播情况来分析带隙对于弹性波的衰减作用。在有限阵列声子晶体结构的输入端施加多种类型弹性波，并在输出端获取平均位移响应，通过式(4)来计算透射谱[3,15]。

图6 有限阵列结构的数值仿真模型(8×8)及其测点位置Fig. 6 Numerical simulation model and measurement points of the finite array structure(8×8)

其中，dout、din分别为有限阵列结构输入端和响应端的平均位移。

当在贴附型局域共振声子晶体有限阵列下面板激励点处施加垂向弯曲弹性波激励及纵向平面弹性波激励时，上下面板响应点的振动响应情况见图7。图8 所示为填充型局域共振声子晶体有限阵列结构的振动响应情况，在该结构底部施加平面弹性纵波激励，在对称轴上均匀选取4个测点并分析其振动响应情况。

图7 贴附型局域共振声子晶体有限阵列系统(8×8)透射谱(阴影部分为弯曲带隙)Fig. 7 Transmission spectrum of the finite array structure(8×8) composed of attached local resonance phononic crystal(the flexural band gap is marked with gray shadow)

图8 填充型局域共振声子晶体有限阵列结构(8×8)透射谱(阴影部分为弯曲带隙)Fig. 8 Transmission spectrum of the finite array structure(8×8) composed of filled local resonance phononic crystal(the flexural band gap is marked with gray shadow)

图7(a)～(b)中，下面板外部激励为垂向弯曲简谐波，其运动方向与面板相垂直，从图7中可以看出上、下面板响应点的透射率均在带隙范围出现明显衰减(STR＜-20 dB)，从而较好地验证了图3 所示贴附型局域共振声子晶体弯曲带隙特性。图7(c)～(d)中，其入射波为运动方向与面板平行的纵波简谐弹性波，上面板的振动响应透射谱中同样存在与垂直弯曲带隙位置基本一致的衰减区域，但是其衰减程度有所降低。这是由于振动模态A5、A6叠加导致纵向平面波在传播过程中上层板振动强度被减弱，同时下层板的振动有所增强，因此，在该频率内的纵向平面弹性波可在同侧面板内进行有效传播，却不能通过共振单元传播至异侧面板，因此，在下板透射谱中，在带隙频率范围内的纵向平面波的传播未被明显衰减。

由图8可见：在平面简谐弹性波激励下，各测点透射谱均在117～172 Hz 及569～580 Hz 出现不同程度衰减，与图5所示带隙特性相吻合。通过对比曲线衰减程度可知，越远离输入端其衰减效果越明显，但是当单胞数增加到一定数量之后，再增加单胞数量对衰减效果的提升并不显著，6个单胞构成的有限阵列结构即可对中低频平面弹性纵波产生理想衰减效果。

图9 和图10 所示分别为弹性波作用下贴附型/填充型局域共振声子晶体有限阵列结构的位移场，进一步验证了弹性波在带隙范围及通带范围内的传播特性。图9(a)～(b)中，施加的激励均为垂向弯曲弹性简谐波，其频率分别对应带隙内及通带内频率，发现在弯曲带隙范围内的弹性波无法通过结构传递至另一侧。同样地，对比分析纵向平面弹性波在该结构中的传递情况。由图9(c)和(d)可知：当带隙范围内的纵向平面波施加于下面板时，纵向振动无法通过该结构传递至上面板，但可在下面板中进行传递。因此，当振源与响应端位于异侧时，垂向弯曲带隙范围内的纵向及垂向弹性波在贴附型局域共振声子晶体有限阵列中的传播均能得到有效衰减。

图9 贴附型局域共振声子晶体有限阵列板结构(8×8)位移场Fig. 9 Displacement fields of the finite array structure(8×8)composed of attached local resonance phononic crystal

图10 填充型局域共振声子晶体有限阵列板结构(8×8)位移场Fig. 10 Displacement fields of the finite array structure(8×8)composed of filled local resonance phononic crystal

图10(a)中，平面弹性波激励频率(f=125 Hz)处于带隙内，而图10(b)中激励频率(f=200 Hz)则处于通带内。带隙范围内的平面纵波通过该结构时，有效激发共振单元的共振使得铝合金基体保持相对静止，并将能量大部分局限于铅层中，达到衰减平面弹性纵波的效果。当以通带频率入射的平面弹性纵波通过该结构时，并未激发由橡胶包裹的铅层共振单元的局域共振，因此，该弹性纵波在铝合金基体中传播时未发生衰减。上述现象验证了填充型局域共振声子晶体的带隙特性可用于中低频弹性纵波的有效衰减。结合贴附型局域共振声子晶体特性，本文提出可有效衰减面内及面外中低频弹性波的声子晶体复合梁板结构。

2.3 带隙影响因素研究

局域共振型声子晶体由基体、包覆层及散射体3个部分组成，因此，有必要探究各部分结构参数对带隙的调控规律，进而灵活调控结构参数，合理有效地调节贴附型/填充型局域共振声子晶体的减振特性。

贴附型局域共振声子晶体的结构参数对带隙特性的影响见图11。由图11(a)可见：带隙上下边界频率随橡胶层厚度d1增加而降低，但上下边界频率降低程度不一致，导致带隙总宽度会随着橡胶层厚度增加而减少。这是由于增加橡胶层厚度会导致其等效刚度降低，进而出现带隙上下边界频率降低的现象。但是铅层质量大于上下铝合金面板质量，因此，带隙上下边界频率降低程度不一致。从图11(b)可看出，在带隙上边界模态振型中铅块基本静止，因此，随着共振单元铅层厚度d2增加，带隙上边界频率基本不变，铅层参数对于带隙上边界频率的影响相对较低；然而铅层质量增加会导致带隙频率降低的同时拓宽带隙总宽度。

图11 贴附型局域共振声子晶体结构参数对带隙特性的影响Fig. 11 Effect of structural parameters of the attached local resonance phononic crystal on band gap characteristics

基于模态分析可知，共振单元对于打开带隙起到关键作用。图11(c)所示为带隙特性随共振单元半径的变化情况。随着半径r的增加，带隙上下边界频率均有所增加，而且带隙总宽度增加，这是因为随着半径的增加，橡胶层的等效刚度以及铅层的等效质量均会增大，上下边界频率降低程度不一致。上下面板厚度h对带隙特性的影响见图11(d)，可见随着面板厚度的增加，带隙上边界频率明显降低，带隙下边界频率会略微增加，带隙总宽度会随着上下面板厚度的增加而降低。此外，上下面板也会与共振单元发生耦合振动，上下面板的厚度增加会导致总体等效质量及弯曲刚度增加，从而导致带隙上边界频率的降低以及带隙下边界频率的增加。综上所述，将较薄的橡胶层及较厚的铅层组合成较大半径的共振单元贴附在薄面板上，可获得中低频宽带垂向弯曲带隙。

为更好地理解结构参数对填充型局域共振声子晶体能带结构的影响，以中低频带隙为研究对象，分别探究晶格常数a、铅层半径R1、橡胶包裹圆环层外半径R2对带隙上下边界及其宽度的影响规律，见图12。除变量参数之外的其他结构参数均与2.1节中的模型相同。

图12 填充型局域共振声子晶体结构参数对带隙特性的影响Fig. 12 Effect of structural parameters of the filled local resonance phononic crystal on band gap characteristics

共振单元中铅层半径R1对带隙位置及其宽度的影响如图12(a)所示，可见带隙上下边界频率随着R1增加而增加，且带隙上边界频率增加的速度要远大于带隙下边界频率增加的速度，带隙宽度也随之增加。铅层半径增加导致弹性橡胶圆环层的等效刚度增加，而等效刚度对共振频率的影响程度远大于铅层总质量(m=ρπR12h)对共振频率的影响程度，因此，带隙上下边界频率会随着铅层半径的增加而增加。此外，模态A2～A5中主要以铅层不同相位的面内运动来实现对平面弹性纵波的衰减，因此，增加铅层半径有利于加强对平面弹性纵波的衰减作用，进而易于获得更宽频率范围内的带隙。

图12(b)所示为铅层半径保持不变的前提下，橡胶层外半径R2变化对带隙特性的影响，可见带隙上下边界频率均随着橡胶层厚度的增加而降低，但上边界频率降低的速度要略大于下边界频率降低的速度，带隙的总宽度随之减少。橡胶层厚度增加会导致共振单元的等效刚度降低，其共振频率会因此而降低。除此之外，铝合金基体质量也会随着橡胶层厚度的增大而降低，因此，在带隙上下边界频率均降低的基础上导致带隙总宽度减小。

晶格常数对带隙下边界频率未产生影响，但是随着晶格常数的增加，带隙上边界频率会逐步降低，从而带隙总宽度会相应减少，如图12(c)所示。由模态分析可知，共振单元对于带隙特性起着重要的衰减作用，晶格常数的增加意味着铝合金基体质量会相应地增加，因此，改变晶格常数只会影响带隙上边界频率，增加晶格常数会导致带隙宽度减少。

2.4 梁板型声子晶体减振效果研究

地铁车辆在运行过程中，车体结构会因轮轨随机不平顺、设备振动激励等发生振动[1-2]。选取多工况下城市轨道交通实测振动数据作为振动激励源频谱，验证声子晶体结构的减振效果。图13所示为客室侧壁板及司机室地板的振动加速度级(LVAL)，其定义见式(5)，单位为dB。由图13可知，车辆匀速运行时的司机室地板及客室侧壁板的平均振动加速度级(0～1 000 Hz)要比其他工况下的高20 dB以上；而且客室侧壁板的整体振动响应也高于司机室地板的振动响应。此外，各工况下司机室地板及侧壁板的振动响应峰值频率会有所不同，客室侧壁板振动响应能量大多集中在中低频(100～200 Hz)，然而由于司机室地板刚度相对较大，其振动响应峰值主要出现在中高频(490～700 Hz)。

图13 多种工况下车体主要部位振动响应频域曲线Fig. 13 Vibration response of main parts of vehicle body under various working conditions

其中，ae为测点加速度有效值，m/s2；a0为基准加速度，a0=10-6m/s2。

基于上述实车关键部位试验振动频谱，研究局域共振型声子晶体有限阵列结构对车体振动的衰减作用。在有限阵列结构两侧施加固定约束模拟实际结构的约束条件，提取图13 所示匀速运行工况下车体侧壁板0～300 Hz 振动响应频谱数据作为激励输入，输入形式为弯曲波及平面纵波，并对比在响应端的振动响应特性，如图14(a)和(c)所示。图14(b)和(d)所示分别为贴附型/填充型局域共振声子晶体有限阵列所对应的输入端及输出端的振动加速度级，车体侧壁板中低频振动激励通过有限阵列结构后，在所对应的带隙范围内(77～172 Hz，117～172 Hz)均出现明显衰减，振动响应相较于振动输入降低20 dB以上，由此验证了声子晶体在车体关键部件减振优化设计中的可行性及关键作用。

图14 基于实车侧壁板振动频谱的传输特性Fig. 14 Transmission characteristics based on the vibration spectrum of subway passenger compartment side wall

3 结论

1) 本文提出的贴附型局域共振声子晶体可打开中低频弯曲带隙(77～172 Hz)，带隙上下边界振动模态呈现为上下面板与共振单元的耦合共振，在该频率内的纵向平面弹性波可在同侧面板内进行有效传播，但却不能通过共振单元传播至异侧面板。将较薄的橡胶层及较厚的铅层组合成较大半径的共振单元贴附在薄面板上可获得中低频宽带垂向弯曲带隙。

2) 为有效衰减同侧平面纵波传播，分析了二维填充型声子晶体梁板结构的中低频平面纵波调控特性。共振单元以不同相位实现面内振动的动态平衡，进而获取中低频面内带隙(117～172 Hz)。此外，组成共振单元的铅柱及橡胶层的结构参数变化会极大地影响中低频带隙特性，而晶格常数只会对带隙上边界频率产生影响。

3) 基于实车关键部位试验振动频谱的传输特性分析，验证了贴附型/填充型局域共振型声子晶体有限阵列结构对其具备较为理想的衰减作用，因此，通过有效组合贴附型及填充型声子晶体梁板结构可调控实际工程难以衰减的中低频弯曲波及平面纵波。