摆式悬吊调谐质量阻尼器基于慢变参数法的非线性优化研究

陈倩敏,谭 平*,向 越

(广州大学 a.土木工程学院; b.工程抗震减震与结构安全教育部重点实验室,广东 广州 510006)

外界激励作用下(风、地震等)会给结构带来过大的动力响应,甚至给结构带来不可逆转的损伤。目前,已有的消能减振方式,包括被动控制方式、主动控制方式、半主动控制方式及主、被动混合控制方式。调谐质量阻尼器(Tuned Mass Damper,TMD)是一种基于吸能减振机理在实际工程中应用较为广泛的减振系统。调谐质量阻尼器的形式多样,其中摆式悬吊调谐质量阻尼器(Pendulum Tuned Mass Damper,PTMD)是TMD的一种特殊形式,由质量体、摆绳及阻尼部件等组成,其作用机理是在外界激励作用下,惯性质量产生摆动,从而对主结构产生反方向的惯性作用,以此来减小主结构的动力响应。近些年,有许多学者对PTMD展开了研究。Sun等[1]提出了三维自适应摆式调谐质量阻尼器,及一种自适应实时调谐算法。吕江等[2]提出了一种新型摆式调谐质量阻尼器。Wang等[3]提出了摆锤式调谐质量阻尼器(Pendulum Pounding Tuned Mass Damper,PPTMD),并对参数进行了优化。Christie等[4]提出了一种可变共振磁流变液摆式调谐质量阻尼器,能利用可控差动变速器中的旋转磁流变阻尼器来增加摆锤的刚度。Qiu等[5]研究了轴向磁摆调谐质量阻尼器,提出了一种磁摆TMD动态参数的辨识方法。Xiang等[6]提出了一种自复位摆式调谐质量阻尼器。

PTMD存在明显的非线性特征,许多研究是基于小摆角的前提下将其等效线性化的。Gerges等[7]推导了无主结构阻尼的单自由度结构-PTMD体系的频响函数,以主结构的位移均方差为优化目标对PTMD进行参数优化。如果PTMD的振幅较小,可以将PTMD-结构体系看作是线性的,但当PTMD的摆角超过一定限值时,PTMD摆角非线性的影响则不可忽略,这种非线性会造成结构的失谐,甚至加大结构的动力响应。激励强度的增大也会增加PTMD-结构体系的非线性,等效线性化的模型高估了PTMD的减振性能。Roffel等[8]研究了多自由度结构与非线性摆式调谐质量阻尼器耦合的三维运动动力响应。Zhang[9]对非线性振动系统提出了一种参数为x的局部精确修正中点规则。Sharif-Bakhtiar等[10]和Brzeski等[11]采用谐波平衡法和Floquet理论分析了具有阻尼的离心摆式减振器在主系统和摆系统中的非线性动力响应,并对强非线性吸振器进行了数值优化。Xu等[12]和Viet等[13]研究了在谐波激励下PTMD非线性对单自由度系统减振控制的影响,并利用谐波平衡法对不同激励幅值下考虑PTMD摆角非线性与等效线性化系统得到的结果进行了对比分析。Colherinhas等[14]和García等[15]对摆式调谐质量阻尼器进行了优化设计研究。

进行PTMD设计时,考虑非线性因素带来的影响是十分必要的。在非线性模型中,由于非线性项的存在,频率响应函数很难得到解析表达式。孙毅等[16]和Li等[17]研究了TMD刚度高次非线性对TMD振动控制性能的影响,他们首先考虑非线性因素建立了单自由度结构-PTMD体系模型,同时采用Krylov-Bogoliubov慢变参数法,推导了谐波激励下平动单自由度结构-PTMD非线性系统的频响函数,并用数值法对频响函数进行验证,将其与等效线性模型在不同激励幅值下的频率响应进行对比;接着,分别基于H2、H∞准则对非线性模型下的PTMD进行参数优化设计,得到了不同激励幅值下的最优参数,并与等效线性模型下的优化参数进行对比;最后,分别采用3种最优参数对比分析了某超高结构在简谐激励下的时程响应。

1 单自由度结构-PTMD体系的运动方程

本文讨论的PTMD理论模型包括刚性摆杆、悬吊质量块和阻尼元件。为了便于分析,不设置线性弹簧,仅考虑结构自定心刚度,即悬吊质量块的重力提供恢复力,摆杆一端与主结构铰接,一端与摆球质量固接,仅考虑单自由度结构-PTMD在二维平面内运动。本文假定主结构为单自由度模型,理论模型如图1所示。

图1 单自由度结构-PTMD体系模型

以摆杆在简化单自由度主结构连接点初始位置为原点建立如图1所示的坐标系。图中,m1、k1、c1分别为主结构质量、刚度及阻尼系数,m2、k2、c2分别表示PTMD质量、附加刚度和阻尼系数,该模型中不考虑附加刚度,即k2=0,L表示PTMD的有效摆长,PTMD质量块摆动的角度(摆角)用θ表示。x1为主结构相对于地面沿水平向(x轴)的位移,x2为PTMD质量块相对于主结构的水平位移,z2为PTMD质量块在坐标系z轴上的坐标。

结合线性悬吊结构体系运动方程推导以及PTMD阻尼元件的力学模型,采用拉格朗日方程推导单自由度结构-PTMD体系运动方程。

(1)

T、V分别表示单自由度结构-PTMD体系的动能和势能,表示非保守力做的功,广义坐标qk分别为x1、θ。

(2)

(3)

L=T-V,

(4)

(5)

将式(2)～式(5)代入式(1),得到单自由度结构-PTMD体系的运动方程为

(6)

2 单自由度结构-PTMD体系考虑非线性项的频响函数

在单自由度结构-PTMD体系的非线性模型中,由于摆角的存在,无法通过运动方程直接得到频响函数的解析解。已有研究将摆角等效线性化对运动方程进行简化,推导出频响函数,高估了PTMD的振动控制性能。在大幅响应下,非线性对结构的影响不可忽略,因此,对摆角部分项进行泰勒展开,忽略高次谐波项,利用慢变参数法[18-19]求频响函数的近似解析解。

表1 单自由度结构-PTMD体系的参数定义

经变换,运动方程化为以下形式:

(7)

根据泰勒展开式,忽略高次谐波项:sinθ≈θ-θ3/6,cosθ≈1-θ2/2,设解为

(8)

其中,A(τ)、B(τ)、φ1(τ)和φ2(τ)均连续,分别代表主结构的位移稳态响应幅值、PTMD的摆角稳态响应幅值、主结构的稳态响应相位及PTMD的摆角稳态响应相位。基于慢变参数法进行求解时,假定A(τ)、B(τ)、φ1(τ)、φ2(τ)不是关于时间连续的,而是在一个振动周期内缓慢变化的,为近似一个周期内的积分均值。

定义φ1=στ-φ1,φ2=στ-φ2,将其代入计算简化,推得非线性悬吊结构调谐体系稳态响应的频响方程组为

(9)

其中,A、B、φ1、φ2均为一个振动周期内的积分均值。

由于非线性系统无法得到频响函数的解析解,结构位移频响函数H1(w)可由稳态时响应幅值X1与激励幅值g来确定[20]。

(10)

利用Matlab对不同激励频率下的频响方程组进行求解,主结构位移的稳态响应幅值为A,主结构位移的频响函数为

(11)

对式(6)作变换sinθ≈θ,cosθ≈1,忽略高次项2,推得等效线性模型的频响函数为

(12)

为了验证基于慢变参数法理论推导的频响方程组的正确性,在同样的初始条件下,将其所得到的频响函数与采用数值法所得到的频响函数进行对比,数值法利用Newmark-β法求解运动方程组,取主结构不再随时间变化的位移响应幅值与外激励幅值之比作为频响函数,假定结构自振周期T1为1s,主结构阻尼比ξ1=0.02,PTMD的质量比μ=0.01。简谐激励幅值P0=0.035 m/s2,PTMD的频率比与阻尼比采用Gerges等[7]基于H2准则推导的地震作用下PTMD最优频率比fopt和阻尼比ξopt,理论公式满足以下关系式:

(13)

对于线性结构,时间步长的选取对其频响函数没有影响,但非线性结构频响函数的结果与时间步长的选取有关,数值法求解频响函数时,时间步长分别取dt=0.02 s、0.01 s、0.005 s、0.002 s、0.001 s和0.000 5 s,对采用数值法得到的频响函数与利用慢变法推导得到的频响函数误差γ进行分析。

(14)

其中,H1N(σ)、H1T(σ)分别表示由数值法和理论得到的频响函数。

以慢变参数法推导的理论频响函数为标准,对数值法采用不同时间步长所得到的频响函数进行误差分析,见图2。

图2 数值法与理论推导的频响函数对比

由图2显示,时间步长越小,数值法求解的结果越精确,理论法与数值法求解结果的误差越小。当时间步长dt=0.000 5 s,两种方法得到的频响函数最大误差为0.76%,可见两种方法解得的频响函数拟合度很高,验证了采用K-B慢变参数法推导非线性模型频响函数的可行性。

3 PTMD非线性影响规律

为分析在简谐激励下,PTMD摆角非线性的影响规律,对3种工况下PTMD非线性模型与线性模型在相同激励幅值下的结构进行响应分析,工况如表2所示。简谐激励幅值P0分别取0.01 m/s2、0.03 m/s2、0.08 m/s2和0.13 m/s2。

表2 不同工况下单自由度结构-PTMD体系的参数

在不同激励幅值下,工况1、2、3分别采用等效线性模型和非线性模型进行频域对比分析,结构频响函数响应如图3所示。

图3 3种工况在不同激励幅值下的响应对比

由图3可知,在激励幅值P0≤0.03时,两种模型下的频率响应误差较小,此时可以忽略非线性的影响。随着激励幅值P0的增大,PTMD的摆角响应峰值增大,非线性效应增大,等效线性模型与非线性模型之间的误差随之增大。工况1随着激励幅值的增大,非线性模型的主结构位移频响函数的第二个峰值大于第一个峰值。大幅值激励下,非线性模型的响应远大于线性模型,线性模型高估了PTMD的减振性能。当激励幅值P0=0.13 m/s2时,等效线性模型与非线性模型频响函数之间的最大误差达到了58.72%,远远超过了所能接受的误差范围,认为误差在5%以内可以不考虑非线性带来的影响[12]。

随着质量比的增大,主结构的位移峰值减小,峰值对应的频率比左移,PTMD摆角响应峰值减小,两种模型的频响函数误差大幅降低,质量比μ=0.1,在激励幅值P0=0.13 m/s2下,两种模型频响函数的最大误差为0.5%,表明增大质量比可以有效提高PTMD的振动控制性能,同时PTMD非线性也会减弱。工况2与工况3在两种模型下频响函数的最大误差分别为3.04%、0.5%,此时可以不考虑非线性带来的影响。因此,对于小质量比的PTMD-结构体系研究PTMD摆角非线性效应的影响十分必要。

4 PTMD参数H2优化

随着激励幅值的增大,PTMD摆角非线性增强,在进行PTMD设计时需要考虑摆角非线性,以此对工况1进行参数优化设计,采用数值搜索法对PTMD非线性模型基于H2准则对PTMD的设计参数进行优化。不同激励幅值下PTMD的最优参数如表3所示。

表3 工况1不同激励幅值下的优化参数

表3中,Gerges优化采用PTMD等效线性模型,不考虑主结构阻尼,基于H2准则对PTMD进行优化设计,推得最优参数理论公式(13)。该优化方法与本文的H2优化的目标函数一致。

H2优化具体流程如图4所示。

图4 H2优化流程方法图

工况1分别采用H2优化参数与Gerges优化参数在不同激励幅值下的频率响应对比,如图5所示。

图5 工况1在不同激励幅值下两种优化方法的频响函数对比

从频响对比图5中可以看出,随着外激励幅值的增大,两种优化方法下的结构位移响应的差别越来越大。在主结构位移频响图中,P0=0.13 m/s2时,H2优化的位移峰值比Gerges优化减小了41.14%。值得注意的是,在小激励幅值下,两种优化方法的位移频响函数差别也较大。原因是 Gerges优化假设主结构阻尼为0,没有考虑结构本身的抗震性能,得到的PTMD的最优参数偏高,而H2优化考虑了结构自身的阻尼,在小激励幅值下,非线性的影响很小,因此,得到的最优参数比Gerges最优参数小。为了验证这一点,在小激励幅值作用下,将μ=0.02,ξ1=0采用H2优化方法对PTMD参数进行优化,并与Gerges优化进行对比。图6表明,在小激励幅值下,均不考虑主结构阻尼时,非线性的影响很小,H2优化与Gerges优化的频响函数误差小于5%。

图6 小激励幅值下Gerges优化与H2优化主结构频响函数对比

5 数值算例

为验证非线性模型下PTMD优化设计参数的有效性,以某超高层结构作为工程算例,进行时程仿真分析,结构总高度为394.8 m,考虑结构第一阶振型用于PTMD参数优化及减振效果分析。结构第一阶模态质量为198 176.3 t,第一阶自振周期为5.66 s,结构阻尼比为1.5%,受到结构空间限制,PTMD的质量比为2%。结构所在地区抗震设防烈度为8(0.2 g)度。本文在简谐激励作用下,基于H2与H∞准则对该超高层结构考虑非线性因素时结构体系中的PTMD进行了参数优化,将优化结果与Gerges优化分别在简谐激励与El Centro经典地震记录下进行时程响应对比分析。

5.1 简谐激励下的时程响应分析

选正弦激励作为输入激励,激励幅值P0=0.2 m/s2,两种优化方法的最优参数如表4。

在应用Matlab进行数值仿真时,选用实际结构考虑非线性因素的单自由度结构-PTMD体系运动方程式(6),PTMD参数分别选用H2优化与Gerges优化得到的最优参数,对结构体系进行时程响应计算时采用Newmark-β法。从时程响应图7中发现,Gerges优化的主结构位移峰值、主结构加速度峰值分别比无控结构减小了26.76%和30.23%。H2优化的主结构位移峰值、主结构加速度峰值分别比无控结构减小了61.61%及60.71%。与Gerges优化相比,考虑非线性H2优化的主结构位移峰值、主结构加速度峰值分别减小了47.59%和43.69%,PTMD摆角峰值减小了23.4%。考虑非线性的H2优化比Gerges优化有更好的振动控制性能,并且能在更小的摆角范围内提供更好的位移控制效果。表明在大幅响应下考虑非线性因素对PTMD进行参数优化设计能有效降低结构位移响应,从而提高PTMD的振动控制性能。

图7 简谐激励下结构-PTMD时程响应

5.2 实际地震激励下的时程响应分析

为了验证非线性模型下优化方法在实际地震作用下对提高PTMD振动控制性能的有效性,将El Centro (EW,1940)经典地震记录作为地震输入,El Centro (EW,1940)经典地震记录持续时间53 s,地震记录幅值为1.1 m/s2和3 m/s2,分别表示多遇地震与设防地震。选用实际结构考虑非线性因素的单自由度结构-PTMD体系的运动方程式(1),PTMD参数分别选用H2优化得到的最优参数与Gerges优化得到的最优参数,对结构体系进行时程响应对比分析。

(15)

从时程响应图8及图9中可以看出,3种优化参数的PTMD在多遇地震、设防地震下均有较好的减震性能。多遇地震下,Gerges优化的减震率为63.19%,而H2优化的减震率为68.76%,H2优化的摆角峰值比Gerges优化的减小了11.13%。设防地震下,Gerges优化的减震率为59.14%,H2优化的减震率为67.07%,H2优化的摆角峰值比Gerges优化的减小了10.10%。H2优化在地震激励下表现出比Gerges优化更好的减震效果,地震激励幅值越大,这种优势表现得更加明显。从滞回曲线中可以看出,H2优化参数下的PTMD以更小的水平位移提供更大的阻尼力。H2优化下主结构阻尼耗能更小,为结构提供了更高的安全冗余度。

图9 设防地震下PTMD-结构体系时程响应

6 结 论

(1)在大幅响应下,PTMD表现出非线性,因此,考虑非线性因素建立单自由度结构-PTMD体系理论模型,采用慢变参数法推导了考虑摆角高次非线性的频响函数,用数值法对其进行验证,结果表明,两种方法计算得出的频响函数的误差范围小于0.76%。

(2)对比PTMD非线性模型与等效线性模型在不同激励幅值下的结构响应,发现激励幅值越大,PTMD摆角非线性效应越强,两种模型频率响应差别越大。工况1在激励幅值为0.13时,误差高达58%。因此,在大幅响应下,PTMD摆角非线性对PTMD振动控制性能的影响不可忽略。增大质量比,可以减小非线性效应。

(3)H2优化下PTMD振动控制性能高于Gerges优化,激励幅值越大,优势越明显。质量比μ=0.01,P0=0.13 m/s2时,H2优化的位移峰值比Gerges优化的减小了41.14%。在大幅值响应下,考虑PTMD摆角非线性对PTMD进行参数优化能有效减小主结构位移峰值,并提高PTMD的减震性能。对在不同优化参数下的某超高层办公楼进行了数值模拟,结果表明,简谐激励下,H2优化下主结构位移峰值比Gerges优化的减小了47.59%,两条地震波下 H2优化的减震率比Gerges优化的高出5%～8%,位移能够更快地减小并稳定下来。