局部α次积分C半群的谱映射定理

秦喜梅

（巢湖学院数学与大数据学院 安徽合肥 238024）

算子半群是泛函分析的一个重要分支，其主要研究方向包括半群的生成元、半群的生成和表示、半群的扰动、半群的谱理论、稳定性等，它在抽象分析、偏微分方程、动力系统及控制理论等领域都有着广泛地应用。其中，许跟起以控制论中一些镇定等问题为研究背景，讨论了Banach空间中线性系统可容许状态反馈控制涉及的半群扰动问题，并在Lp系统框架下，对可容许状态反馈算子不仅给出其定义，而且证明了可容许状态反馈算子的存在性[1]。根据C0半群等理论，张庆华和朱月萍研究了半空间上Navier−Stokes 方程的加权时空估计以及正则解的存在性[2]。原文志和寇玉芳讨论了冷贮备系统的算子性质，并证明了该系统算子是预解正算子，并根据C0半群理论得到系统动态解是存在唯一的[3]。何泽荣借助于强连续算子、压缩算子、耗散算子的Lumer−Phillips 定理和算子扰动等算子半群工具，确定了具有捕食相互作用的两种群模型正平衡态的存在性，并分别列出了其渐进稳定与不稳定条件[4]。李永祥和韦启林根据C0半群理论和不动点定理，详细证明了Banach 空间中时滞发展方程周期解的存在和唯一性，并利用此结论讨论了两个时滞偏微分方程解的存在性[5]。

在算子半群理论中，算子半群的谱是最基础、最重要且具有广泛应用的概念之一。在实际应用中，算子半群的谱不仅在研究算子半群的特性、结构、稳定性等方面都有着重要作用，而且可以用来分析线性和非线性动力系统的稳定性和渐近性质，解决偏微分方程以及处理优化问题等。其中郝智红和崔家瑞借助谱理论、投影算子和线性算子半群无穷小生产元得到线性中立型延时系统的输出反馈控制律，同时证明了反馈控制闭环系统的渐进稳定性[6]。袁邓彬和骆雯琦等根据预解方法和半群方法得到迁移算子的谱性质[7]。孙丽丽等利用C0半群在有限维子空间上展开的相关性质，证明了当生成元的谱界等于半群的增长界时，谱界上特征值的代数重数和几何重数相等[8]。基于马尔科夫过程的燃气电力可修系统的主算子问题，唐慧和杨翔宇利用预解正算子理论、共尾和C0半群理论证得系统主算子的谱算子等于系统主算子生成半群的谱增长界[9]。而为了更好地研究算子半群的特性，一个有效的工具就是用生成元的谱来刻画其算子的谱，从而得到相应的谱映射定理。Day借助于内插和外插定理研究了积分半群的谱映射定理[10]，杜省权和刘清荣通过引入C半群的预解集，对C半群的谱与其生成元谱之间的关系展开研究[11]，宋晓秋讨论了C半群的点谱、近似谱和剩余谱与其生成元的谱的包含关系[12]，赵华新给出了可微C0半群T(t)的生成元A的谱与AT(t)的谱之间的关系[13]，刘瑞和王小霞提出了谱集的一种构造方法，讨论了C半群的高阶微分算子的谱[14]。Boua等研究了可微C0半群T(t)的生成元A与可微C0半群T(t)的本质谱、Browder 谱和Kato 谱之间的关系，同时讨论了生成元A与T(t)的n阶导数T(t)(n)的谱映射定理[15]。

而作为积分半群和C半群的融合和延拓，α次积分C半群也被广泛地研究[16−22]，其中α是任意的非负实数。受上述研究工作的影响和启发，本文讨论了局部α次积分C半群的谱的特性，介绍了局部α次积分C半群的谱与其生成元的谱之间的关系。

一、基本概念和性质

二、谱映射定理

三、结语

本文主要介绍了局部α积分C半群与其生成元之间的点谱、连续谱和剩余谱之间的关系，这些结果不仅有助于进一步研究局部α积分C半群的特性：算子半群的相容性、凸性和压缩性、单参数或双参数局部α积分C半群等相关领域的扰动、逼近等,而且对于相关系统的稳定性和渐进性、齐次抽象柯西问题及非齐次抽象柯西问题都起着一定的积极作用。