塔形网格上的混合有理插值

赵前进,许雨静

(安徽理工大学数学与大数据学院,安徽 淮南 232001)

有理插值在实际生活中有着广泛的应用,重心有理插值可以应用于Volterra积分方程[1-2]、微分方程[3]以及天文中的星状域等,Hermite插值也是有理插值中的研究热门之一[4-5]。

连分式插值作为有理插值的一个重要分支,多年来,被国内外学者做了大量的研究。

一方面,对于连分式理论的研究已经取得显著进展,文献[6]发表了关于连分式的理论及其应用的主要成果,文献[7-8]对插值函数的收敛性及其性质作了深入的研究。另一方面,关于Thiele型连分式插值的研究成果,也成为有理插值中的一个重大进步。一元连分式插值的研究相对成熟后,学者们将目光从一元的有理插值,推广到二元和三元的有理插值层面。带有两个变量的分叉连分式插值问题最早是由文献[9]提出的,文献[10]也作了该方面的研究工作。文献[11]发表了Newton-Thiele 型有理混合插值。文献[12-13]利用分块的思想,将每个区间进行分块,得到Thiele-like、Newton-like型块状有理混合插值函数。而后又涌现出大量的基于矩形网格、三角网格上的二元混合有理插值函数的算法。

在三维层面,关于矩形网格上的有理插值文献比较丰富,而对于金字塔格式插值的研究却甚少。金字塔格式在社会生活中有着广泛的用途,比如经济、计算机应用、生物医学等方面。文献[14]首次对塔形网格上的连分式插值进行了研究,本文将针对该文献在计算方面产生困难的问题,将插值格式进行改变;同时,将插值函数由原来的连分式插值替换成Newton多项式插值与Thiele 型分叉连分式相结合的混合有理插值,以便能得到新的塔型混合有理插值算法。

无限分叉型连分式[9]如下

(1)

对于式(1)所给出的无限分叉连分式,其有限分叉连分式的形式如下:

(2)

(3)

其中,[(n-1)/2]为不超过n/2的正整数。

1 混合有理插值

在这一节中,将Newton多项式和Thiele型分叉连分式以有限分叉连分式的形式结合,在塔形网格上得到一种混合有理插值函数,并且通过递推算法,证明其有效性。

(4)

(5)

当j,k=0,1,…,2(n-i)时,bi,j(z),ci,k(y)分别为:

(6)

(7)

以上式(4)～(7)为所构造的函数,给出该函数上的定义后,再证明算法的有效性。

φ[xi,yj,zk]=f(xi,yj,zk)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

定理1对于i=0,1,…,n;j,k=0,1,…,2(n-i);令:

(16)

(17)

若定义1中的所有偏差商和混合偏逆差商均存在,则式(4)～(7)中给出的混合有理插值将满足

Rn(xi,yj,zk)=f(xi,yj,zk)

证明容易看出bi,j(z),ci,k(y)分别为关于z,y的Thiele型连分式,因此,不难证明bi,j(zk)=φb[x0,…,xi;y0,…,yj;zk],ci,k(yj)=φc[x0,…,xi;z0,…,zk;yj]。

当i=0,1,…,n时,有

φb[x0,…,xi;yj;zk]+φc[x0,…,xi;zk;yj]=

φ[x0,…,xi;yj;zk]

Rn(xi,yj,zk)=φ[x0;yj;zk]+(xi-x0)φ[x0,x1;yj;zk]+…+(xi-x0)…(xi-xi-2)(xi-xi-1)φ[x0,…,xi;yj;zk]=…=φ[x0;yj;zk]+(xi-x0)φ[x0,xi;yj;zk]=φ[xi;yj;zk]

定理1得证。

以上给出了混合有理插值函数,并且证明了其可行性后,下面来看它的特征性定理。

2 特征定理

为了得出该混合有理插值函数的特征定理,先给出以下引理。

引理1若i=0,1,…,n;j,k=0,1,…,2(n-i),则由式(6)～(7)中所定义的bi,j(z)和ci,k(y),则有:

degzbi,j(z)=(n-i)/(n-i)

(18)

degyci,k(y)=(n-i)/(n-i)

(19)

其中,degzbi,j(z),degyci,k(y)分别表示bi,j(z),ci,k(y)关于z,y的次数。

证明令n=2(n-i),则容易得到bi,j(z)的次数为[(2(n-i)+1)/2]/[2(n-i)/2],既是(n-i)/(n-i),同样可证ci,k(y)的次数。

2(n-i)(n-i+1)

(20)

2(n-i)(n-i+1)

(21)

证明证明方法同文献[14]的引理4.5,令n=n-1。

degxPn(x,y,z)=n,degxQn(x,y,z)=0

(22)

degyPn(x,y,z)=degyQn(x,y,z)=2n(n+1)(n+2)/3

(23)

degzPn(x,y,z)=degzQn(x,y,z)=2n(n+1)(n+2)/3

(24)

证明由(4)式易得式(22),由于

将引理2中式(20)的次数代入Rn(x,y,z),各项次数累次相加,得到

同理计算degzPn(x,y,z)=degzQn(x,y,z)=

2n(n+1)(n+2)/3。

3 误差估计

为了得到有理插值函数的误差估计,将给出以下定义以及一些引理。

定义2对于i=0,1,…,n,令

(25)

其中,当j=0,1,…,2(n-i),有

(26)

定义3对于i=0,1,…,n,令

(27)

其中,当j=0,1,…,2(n-i),可得

(28)

(29)

(30)

其中,

φb[x0,…,xi;y0,…,yj;z0,…,z2(n-i),z]=

φc[x0,…,xi;z0,…,zk;y0,…,yj,y]=

则i=0,1,…,n时,有:

(31)

(32)

(33)

(34)

证明证明过程同定理1的证明过程类似。

f(x,y,z)-Rn(x,y,z)=

(35)

式中,ηi是包含x0,…,xi区间I[x0,…,xi]的最小数;ξi,τi为包含y0,…,y2(n-i)区间I[y0,…,y2(n-i)]的最小数;z0,…,z2(n-i)是包含z0,…,z2(n-i)区间I[z0,…,z2(n-i)]的最小数。

其中,i=0,1,…,n;j,k=0,1,…,2(n-i),则有

(36)

证明对于∀z∈{z0,z1,…,z2(n-i)}

利用Newton展开式对f(x,y,z)展开

由此

f(x,y,z)-Rn(x,y,z)=

(a)n=1 (b)n=2

定理得证。

4 数值举例

当i=0时,初始值f(xi,yj,zk)如表1所示;

表1 初始表

对于j,k=0,1,2,由式(6)和式(7)可得:

b1,0(z)+c1,0(y)

由定义1及式(4)～(7)式计算可得到各项系数,表2为保留小数点后4位的插值系数,表3为保留小数点后5位的插值系数。

表2 c0,j(y),b0,j(z)系数表

表3 c0,j(y),b0,j(z)系数表

不妨令f1,4(x,y,z)、f1,5(x,y,z)分别为表1保留4位小数和5位小数的被插值函数,例如f1,4(x0,y1,z1)=0.6667,f1,5(x0,y1,z1)=0.66667。令R1,4(x,y,z),R1,5(x,y,z)分别为保留4位小数与5位小数的混合有理插值函数。而r1,4(x,y,z),r1,5(x,y,z)为混合有理插值与被插值点的绝对误差,分别保留4位、5位小数。即

r1,4(x,y,z)=|R1,4(x,y,z)-f(x,y,z)|;

r1,5(x,y,z)=|R1,5(x,y,z)-f(x,y,z)|.

从表4可以看出,当系数保留小数点后4位时,其精确度能达到小数点后两位。当系数保留小数点后5位时,精确度能达到小数点的后3位。保留小数点的位数越多,其精确度也越高。

表4 例5.1误差表

表5 f(x,y,z)初始表

表6 c0,j(y),b0,j(z)系数表

当i=0时,初始值如表5所示;

不妨设r(x,y,z)为R1(x,y,z)与被插值函数f(x,y,z)的绝对误差,即r(x,y,z)=|R1(x,y,z)-f(x,y,z)|。

对于表7,在区间G=[0,1]×[0,1]×[0,1]上任意取20组随机数据(xi,yj,zk)∈G,由此得到了r(xi,yj,zk)=|R1(xi,yj,zk)-f(xi,yj,zk)|,可以看出,在插值点个数为10、保留小数在万分位的情况下,其能达到较小的绝对误差。

表7 误差值

固定x的取值,分别取xi=0.02,0.04,0.06,0.08时,在区间[0.2,0.7]×[0.2,0.7]上,yj,zk以0.01的等步长取值,计算得到r(xi,yj,zk);于是做出关于(yj,zk,r(xi,yj,zk))的三维图(见图2),可以清楚地看到,将x固定、取以上数时,插值函数R(x,y,z)与被插值函数f(x,y,z)=(x2+y2+z2)e-(x+y+z)的误差均0.1以下,精确度较好。

(a)x=0.02 (b)x=0.04

5 结语

本文对已有塔型有理插值文献的插值格式进行改进,提出了一种基于新型塔形网格上的混合有理插值算法。混合有理插值新算法的提出为塔型网格上的插值提供了新的路径,从实验结果可以看出,插值效果较好;且与之前的文献相比,无需在定义中定义初始点的值,在计算方面得到了优化。然而,由于插值格式的不同,无法进行实验比较。在计算过程中可能会出现极点的情况,导致算法的不可用性,因此,后期可针对能否处理极点和不可达点出现的情况作进一步研究。