利用几何画板可视化工具突破“圆周角”教学难点

摘 要：几何画板是一款绘图和制作动画的辅助教学软件，根据教学需要教师可以编制出相关的图像和动画过程.几何画板尤其适合数学教学中平面几何与函数动态作图，除了作图功能还有计算、度量等工具，使教师们可以快速、准确度量图形的角度、长度、面积、坐标等，使用几何画板教学不仅可以突破教学难点，还可以让学生对所学的知识感兴趣，集中注意力，积极思考，主动去发现探索知识，从而提高课堂教学质量和效率，几何画板这一软件为我们提供了很好的探究实践平台.

关键词：几何画板；圆心角；圆周角

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2023）23-0027-03

收稿日期：2023-05-15

作者简介：刘菁华（1985.12-），女，福建省建瓯人，本科，中学一级教师，从事中学数学教学研究.

基金项目：本文系福建省教育科学“十四五”规划2021年度课题“初中数学运用知识可视化工具化教学促进学习效果的案例研究”（立项编号：FJJKZX21-480）

在初中数学几何课堂上遇到几何知识中的动点问题时，要求初中学生具有较高的空间想象能力和思维能力.传统的授课模式是由教师“手工”在黑板上画出静态的图形进行讲解，对于那些缺乏空间想象力的同学就容易产生畏难情绪进而失去学习兴趣.如果在几何课堂上运用几何画板进行教学，课堂情况就和传统课堂完全不一样了，它能够准确、动态地表现几何问题，让学生在直观演示中发现问题并探索几何的本质.

以“圆周角”为例，谈谈如何利用几何画板可视化教学突破“圆周角”教学难点^［1］.《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“圆周角”的课标要求：探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧） 所对的圆周角相等.了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于同弧所对圆心角的一半.本课时的教学难点如下：（1）发现同弧所对的圆心角与圆周角之间的数量关系；（2）同弧所对的圆心角只有一个，而所对的圆周角有无数多个，一条弧所对的无限多个圆周角应该按什么特征进行恰当的分类并进行圆周角定理的证明.

1 利用几何画板发现和验证同弧所对的圆心角与圆周角之间的数量关系

这节课先通过复习引入，让学生体会圆周角概念的生成过程，根据已有知识类比得到新知，同时通过呈现有关圆周角的正例和反例，让学生对于圆周角概念的本质属性和非本质属性进行比较，加深对于概念的理解.学生通过找圆周角与圆心角所对的弧，发现它们之间对的是同一条弧，引发学生思考同弧所对的圆周角与圆心角之间是否还存在其它关系，进一步引导学生小组合作，经历度量、观察、猜想、探索圆周角与圆心角之间的位置关系和数量关系.

学生通过用量角器分别测量学案中几组同弧所对的圆周角和圆心角的度数，发现并提出猜想：同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.

用几何画板绘制图形：画出⊙O中弧AB所对的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB，并标记要度量的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB以及它们的比值.

（1）固定弧AB的位置，拉动点C，使点C的位置发生变化，让学生观察图像动态的变化

学生发现当弧AB的位置不变时，即使点C的位置在变化，弧AB所对的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB的数值以及它们的比值始终没有变化.

（2）固定点B、C，拉动点A，使点A的位置发生变化，让学生们观察图像动态的变化

学生发现当固定点B、C，拉动点A时，弧AB发生了变化，弧AB所对的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB的数值明显发生了改变，但是它们的比值始终为0.5，并没有变化.

（3）固定点A、C，拉动点B，使点B的位置发生变化，让学生观察图像动态的变化.

学生发现当固定点A、C，拉动点B时，弧AB发生了变化，弧AB所对的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB的数值明显发生了改变，但是它们比值始终始终为0.5，并没有变化.

通过以上几何画板动画演示，让学生在动态变化过程中观察变化的是圆周角∠ACB和圆心角∠AOB的位置关系以及不变的是它们比值始终为0.5的数量关系，让学生通过观察进一步体会猜想的正确性^［2］.

2 利用几何画板进行演示，发现分类的依据以及验证分类的正确性

虽然几何画板已经验证过猜想的正确性，但是此时猜想还不能当作定理来使用，还需要利用所学知识进行严密的逻辑证明.弧AB所对的圆心角只有1个，弧AB所对的圆周角有无数个，因此证明圆周角定理时，不能逐一验证无数个圆周角，学生容易理解需要对圆周角进行分类，此时教学的难点为：弧AB所对的无限多个圆周角应该按什么特征进行恰当的分类呢？可以分成几类呢？为了突破这一难点，笔者先让学生分组探究合作，讨论出按某一特征进行恰当的分类，组长将讨论结果记录下来，派代表，分享小组的成果.然后笔者再采用几何画板进行几何动画演示，让学生在动态变化演示过程中得出分类的依据以及验证分类的正确性^［3］.

用几何画板绘制图形：画出⊙O中弧AB所对的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB，制作“动画点C”.当鼠标点击“动画点”时，点C的位置就在弦AB所对的优弧上运动，让学生观察图像动态的变化，找出分类的依据.

学生发现随着点C的变化，圆心O与圆周角∠AOB的位置发生了變化，又因为圆既是轴对称图形又是中心对称图形，所以圆心O与圆周角∠ACB的位置大体分为三类：

几何画板的动态演示，使学生更容易发现和理解弧AB所对的无限多个圆周角应该按以圆心O与圆周角∠ACB的位置特征进行分类，为后续的证明提供了正确的方向.

3 利用几何画板极大地吸引了学生上课的注意力，并激发了学生的学习兴趣

使用几何画板动画演示，改变了传统数学课堂枯燥乏味的教学氛围，解决了静态图片不连续、不直观的局限性，几何画板给学生带来了非常直观的效果和视觉的冲击，极大地吸引了学生上课的注意力并激发了学生的学习兴趣，以上两个环节通过使用几何画板，使学生的专注度特别高，而且都参与到课堂的各个环节，积极讨论探索新知，特别是能感到学生对后续的证明都跃跃欲试.分组讨论后，学生们发现了情况①比较特殊，于是先从情况1开始证明：

而情况②③，小组内进行分析探究后也发现了可以通过添加辅助线连CO并延长交⊙O于点D（作直径CD），构造类似模型，类比情况①的证明方法，实现了问题的转化.通过三种情况的证明，学生们终于验证了猜想的正确性，在⊙O中，始终有∠ACB=1/2∠AOB.（或∠AOB =2∠ACB）进而得到了圆周角定理：同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.在证明的过程中学生养成了独立思考、团结合作的习惯，体会了化归的数学思想，感受分类讨论的必要性，同时提高了学生的逻辑推理能力，体验了成功带来的喜悦.

参考文献：

［1］ 邵新虎.利用几何画板探究数学问题［M］.北京：北京师范大学出版社， 2016.

［2］ 包五玲.几何画板在初中数学教学中的应用［J］. 学周刊，2018（24）：158-159.

［3］ 江玉军.几何画板5.0从入门到精通［M］.中山：中山大学出版社，2011.

［责任编辑：李 璟］