回归课本“建构学材”，规律问题重视推理*——以七年级“规律问题”专题复习课为例

李庾南 刘东升

在初中各学期的期末复习阶段，各校数学备课组都会有计划地进行两轮复习，其中第一轮复习更加侧重对前期所学知识块或单元的回顾梳理，并兼顾教材上的典型例题和练习题。在第二轮的专题复习课中，一些学校备课组习惯选编一些各地试卷中的热点考题，带领学生进行复习备考训练，或者围绕某种解题思想方法进行专题复习，此阶段的复习常常是“离开教材搞专题复习”。可见，专题复习课怎样回归教材开展“学材再建构”仍是一个值得深入研究的课题。

在李庾南实验学校第七届优秀课评比活动中，主办方选取了人教版数学七年级上的“规律问题”作为比赛课题，参赛教师的“同课异构”引发了我们对七年级规律问题教学的深入思考。现以人教版教材七年级规律问题专题复习课的教学设计为例，说明如何回归课本，重构学材，开展初中数学专题复习课，提高学生的代数推理能力。

一、“规律问题”专题复习课教学设计

1.活动1：从“直线交点个数”的规律出发

师：同学们，今天我们一起来复习七年级上册教材中的“规律问题”。同学们刚刚学过第四章“几何图形初步”，现在老师挑选这一章中的一道规律习题，检查同学们的学习情况。

问题1（教材习题）：两条直线相交，有一个交点，三条直线相交，最多有多少个交点？四条直线呢？你能发现什么规律吗？（见图1）

（图1）

生：图中图形的交点个数依次为0，1，3，6，…，第n个图形的交点个数是。

师：相邻两数相加，依次可得1，4，9，…，这个数列也是有规律的。同学们能在网格纸中用小正方形的个数来表达这组数的规律吗？（教师组织学生利用网格纸画图，并投影展示图2）

（图2）

师：请同学们看看图2，思考这两个问题。（1）第④个图形比第③个图形多______个小正方形；（2）第n个图形比第（n-1）图形多______个小正方形（用含n的式子表示）。

【设计意图】“活动1”中的图1、图2 分别选自七上教材第4 章“几何图形初步”、第2 章“整式的加减”，体现了基于课本的“学材再建构”。此外，从图1到图2中的数列规律也有一定的联系，并且展现了数形对应的本质，有助于发展学生的几何直观素养。

2.活动2：日历中的规律问题

师：在图2 中有很多“小正方形”，现在我们用田字格方框框住日历中的4 个日期，再来看看“问题2”。

问题2：图3 是2022 年12 月的日历，观察田字格方框中的4 个数，你能得出什么结论？你能证明这个结论吗？

（图3）

生：方框中处于“对角线”上的两数之和相等。设方框左上角的数为x，另外三个数分别为x+1，x+7，x+8，可以算出处于“对角线”上的数之和都为2x+8。

师：将田字格方框适当移动，框出的4 个数之和能否等于56？

生：可以列一元一次方程2（2x+8）=56，解得x=10。

师：现在我们把结果还原到图片中验证，我们发现“10”在日历表的最右边的一列，故框出的4个数之和不能等于56。所以这时只靠列方程得出的答案是不符合实际的。

【设计意图】“活动2”的学材改编自课本第3 章“一元一次方程”，主要训练学生构建一元一次方程模型解决实际问题的能力。学生想要解决这个生活问题，需要经历从实际问题（抽象）→数学问题（一元一次方程）→解决数学问题（解方程）→回到实际问题的背景进行检验取舍→得到实际问题的解（解决实际问题）。

3.活动3：“三行数”的规律问题

师：我们通过问题2 研究了小正方形个数的问题，现在我们将平面图形转化为立体图形，请同学们观察图4中的正方体个数，思考第n组正方体的个数。

（图4）

生：第n组正方体的个数是3n。

师：非常好，现在请同学们看一看问题3。

问题3：观察下面三组数：（1）-3，9，-27，81，-243，…；（2）0，12，-24，84，-240，…；（3）-1，3，-9，27，-81，…。

师：第（1）组数按什么规律排列？第（2）（3）组数与第（1）组数分别有什么关系？取每行第n个数，计算这三个数的和（用含n的式子表示）。

【设计意图】第（1）（2）问仍然是发现规律，第（3）问在前两问基础上，三个数的和为（-3）n+［（-3）n+3］+（-3）n÷3。“活动3”改编自课本第1章“有理数”的一道例题，限于七年级上学期学生的运算水平，学生还不具有计算同底数幂的复杂运算能力。在教学时，教师可根据学生学情进行调整，暂不要求他们进一步化简这三个数的和。

如果学情较好、教学时间允许，教师可利用PPT继续出示拓展问题（如图5）：

（图5）

学生发现这些四位数中4 个数字之和都是3 的倍数之后，可进一步提出以下猜想：设一个四位数abcd，若a+b+c+d可以被3 整除，则这个数可以被3整除。

针对本拓展教学，教师可安排学生独立证明“猜想”，并在教室巡视，发现有学生证明成功后，邀请学生上台讲解证明思路。

4.活动4：课堂小结

小结问题1：本课中哪道规律问题给你留下了较深的印象？举例说说。

小结问题2：你在解决规律问题时，有哪些解题经验或出错经历？可结合具体的习题交流。

小结问题3：请同学们课后认真研究课本，对课本中出现过的规律问题归类整理。

【设计意图】在课堂的最后环节，教师引入三个“小结问题”，引导学生开展专题复习课的解后回顾。前两个小结问题主要针对本课复习内容展开，“小结问题3”则启发学生学会复习、归类，这也是促进学生围绕某个专题深度思考的学法指导。

二、教学立意的进一步阐释

1.专题复习要回归课本开展“学材再建构”

专题复习课是期末复习阶段的一种常见课型，一般由教师选定某个专题或主题之后选编出一些例题和练习题，再将其分成几个题组进行训练。在专题复习课教学时，教师应先将目光投向教材，围绕主题针对复习范围内教材各章节内容进行全面检索，对符合主题要求的习题或素材进行“学材再建构”。以上文“规律问题”复习课为例，我们先对人教版七年级上册数学教材的各章内容进行了全面检索，找出大量有关“规律”的习题或素材后，再筛选出各章典型的规律问题，根据问题的难易程度、前后关联度分组并“排序”。基于“预设”要大于“生成”的考虑，选题、改编或拓展的教学内容应尽量丰富一些，但是有些变式或拓展问题在具体教学时应根据学情“相机”取舍。

需要指出的是，围绕教材内容进行的习题改编或拓展还要重视“内容效度”。比如在一次函数的单元复习时，教师以一次函数y=x+1 的图象（直线y=x+1）为背景，设计出诸如“求该直线与坐标轴围成三角形的重心的坐标”“原点O到直线y=x+1 的距离”“设点P在直线y=x+1 上，A(2，0)，当△POA的面积为5 时，求点P的坐标”等问题，从这类变式问题的解题步骤来看，很多关键步骤与一次函数的图象和性质关联甚微，作为一次函数单元复习的选题与变式。上述“变式”从命题或测量学视角来看，“内容效度”不高。

2.规律问题的教学要重视代数推理的训练

规律问题作为一类高频问题是贯穿于小学、中学不同阶段的，而且有些规律问题的情境或背景在不同学段都会出现，教学要求也体现出明显的学段特征。具体到初中阶段，当学生具备了解释或证明的数学认知能力时，便可安排其进行推理证明。当然，考虑到上文课例中主要关注七年级上学期的规律问题复习，把握好规律问题证明教学的“度”非常关键。在初中，证明应该作为学生数学经验的基本组成部分，这些经验可能对学生理解证明起到进一步深化和拓展的作用。上文课例“活动3”中，我们改编了七年教材第1 章“有理数”的一道例题，并提出“拓展问题”——“四位数能被3 整除吗”。这道代数推理题的原型出自《义务教育数学课程标准（2022 年版）》中的“案例66”，学生在小学阶段已接触过该题型，所以初中阶段可以论证结论的正确性，让学生在逻辑论证的过程中形成推理能力、培养科学精神。

3.精心预设过渡语追求“平滑转场”效果

专题复习课离不开题组练习，不同题组的训练功能并不相同。为了做好不同题组之间的过渡或衔接，在不同题组出示之前应预设简要的过渡语，以达到不同教学环节之间的“平滑转场”。上文复习课例中，我们在3 个“活动”前都预设了不同的“过渡语”，让即将研究的规律问题的出示不要过于突然，尽可能让学生感到规律问题是自然而然地产生的。与通过精心预设的“过渡语”可以达到“平滑转场”的效果相比，各个教学活动之间的前后呼应更应值得教师在课前预设时“苦心经营”。比如，不少教师在组织八年级“变量与函数”（第1 课）教学时，开课阶段都会选用“某城市一日温度变化图”“汽车匀速行驶”“一根长为2cm 的铁丝围成长方形”等生活现实来引出“变量”“常量”，进一步分析、抽象、概括出函数的概念。但是在后续例题讲评、习题训练的环节，又出现很多不同的生活现实背景，让学生巩固训练所学概念。笔者认为，在巩固训练阶段，教师可以引导学生“回看”开课阶段的几种生活现实背景，安排学生从函数的角度进行分析研究，或者围绕开课阶段的几类生活现实进行变式设问、拓展提问。这样的教学让同类的问题背景或生活现实相关联，串联不同教学环节，再辅以简要的“过渡语”（如“同学们，让我们再回看开课时的匀速行驶问题”），可以带领学生更快理解题意，让学生思维聚焦在开课阶段就熟悉的问题背景，避免出现“一题接一题”“每题背景都不一样”的“刷题式”教学现象。