中学数学课堂教学中错误资源的应用策略

孟冰清 冯福存 陆万顺

［摘 要］数学课堂教学中出现错误在所难免，以资源的眼光看待错误，合理地利用错误可以推进课程进展，提高课堂教学效率。因此，探究如何利用错误资源显得尤为重要。文章以中学数学课堂教学为例，通过查阅文献并结合教学实践对学生产生错误的原因及如何利用错误资源进行探究，旨在加强中学数学教师对错误资源的重视，提高数学课堂教学效率。

［关键词］中学数学；错误资源；应用策略

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）11-0040-03

学习是一个动态的、发展的过程，学生在从“不会”到“会”的过程中难免会产生错误。错误资源是指学生在认知过程中发生偏差或失误，并通过互动，在集体“识错”“思错”和“纠错”过程中生成的课程资源。

传统的课堂教学中，教师视错误为教学的失败，因而在教学时极力加以防范，并给予各种错误消极的评价。在20世纪中后期，班杜拉认为产生错误会增加复发的可能性，提倡无错误学习，即完全消除或减少教育中的错误［1］。相比之下，更多的研究则表明，错误的学习，即产生错误并随后接收正确的答案反馈，比无错误的学习更能对正确的信息产生更好的记忆。

全国数学教师委员会表示，学生的错误可以促进关于数学话题的辩论，并可以成为学生理解数学概念的窗口。教师应充分利用学生的错误为学生制造学习机会，以促进学生开展富有成效的讨论。

著名学者邵华在文献［2］中指出，真正的课堂是一个“错误—探究—改善”的过程，教师应注重利用错误资源引导学生对知识进行深层次的认识。特级教师华应龙在文献［3］中指出，差错是一种被忽视又亟待开发的宝贵教学资源。

上述研究表明，学生的错误是重要的教学资源，教师利用好错误资源能够在一定程度上提高课堂教学效率。但很少有研究专注于探索中学数学课堂教学错误资源的应用策略。本文旨在探究如何应用学生课堂中的错误资源以提高中学数学课堂教学效率。

一、中学数学课堂错误资源的来源

数学学习是一个受各种因素影响的复杂过程，产生错误的原因也是多方面的。无论是何种原因产生的错误，对于教师来说都是珍贵的教学资源，对这些错误资源加以改进和完善，可以更好地辅助教学，培养学生的思维品质和学习习惯。

（一）认知能力不足导致的错误

研究表明，我国青少年的思维发展具有如下特点：中学生的形式逻辑思维在初中一年级开始占据优势，到高中二年级已经基本成熟［4］。中学生通過分析事物的本质特征和属性，掌握各种抽象概念。但是中学生掌握抽象概念的能力并非一蹴而就的，而是逐步发展的。中学生的思维由直观形象思维向抽象逻辑思维过渡，但还没有形成比较成熟的抽象逻辑思维，而且学生个体差异也比较大，有的学生抽象逻辑思维发展快一些，有的则慢一些，因此学生的认知能力存在差异性。教师在教学时要注意识别学生认知能力不足造成的问题。比如，有的学生在化简[x2+1x-1]时，直接写成：[x2-1x-1=（x+1）（x-1）（x-1）=x+1]。很多教师会认为是因为粗心造成的，但其实是因为学生对于代数式恒等变换的概念认知不足。学生没有意识到这里的变换不是充要变换，当舍去了一个限制条件（[x≠1]），就会出现增根。因此，在对所有的题目进行恒等变换时，首先要弄清在什么范围内恒等。如果转化为必要条件，例如上面的变化，那就要记得检验。

（二）知识负迁移导致的错误

在数学学习中，如果A和B两个问题相似，那么学生在学习过程中就容易把A的结论搬到B上，即使教师一再纠正，过一段时间后同样的问题仍然会发生。这种现象在教育心理学中称为负迁移。负迁移在数学学习中普遍存在。当学生遇到相似知识时，因分析理解能力有限，容易在新旧知识的运用上产生混淆，从而产生负迁移。比如，在求解不等式[x2>4]时，由于[x2=4]的结果为[x=±2]，所以学生凭直觉认为[x2>4]的解是[x>±2]，导致出现错误。这就是方程知识对不等式学习产生的干扰。

（三）学习态度和习惯不良导致的错误

中学生正处于青春期，性格尚未发育成熟，有强烈的好奇心、好表现，或多或少还有些不良的学习态度和习惯，如责任意识淡薄、注意力不集中、对学习不够重视等。有的学生做作业仅仅是为了完成任务，应付了事，甚至出现错误时会觉得只是“区区小事”。

比如，数列教学中有这样一道例题：数列[an]是各项均为负数的数列，其中[2an=3an+1]，[a2·a5=827]。请证明数列[an]为等比数列，并求出这一等比数列的通项公式。

有学生是这样解答的：（1）因为[2an=3an+1]，所以 [an+1an=23=常数]，所以根据等比数列的定义，数列[an]为公比是[23]的等比数列。（2）因为[a2·a5=827]，所以[a2·a2·233=827]，所以可以得出[a22=1]，那么 [a2=±1]，所以[an=a2·qn-2=±23n－2]。

通过观察不难发现，学生只关注到了[2an=3an+1]与[a2·a5=827]两个条件，而忽视了[an]各项均为负数的前提。这就是学生审题不清导致的。

二、教师面对错误资源的态度

虽说错误是不可避免的，但是许多教师在面对学生的错误时还是会感到不知所措，着急、慌乱、焦虑，这些都是教师容易产生的错误态度。在面对学生的错误时，宽容、理性才是教师应秉持的正确态度。

（一）宽容地接纳错误

宽容地接纳错误，是指教师允许学生在学习数学的过程中出错。教学实践表明，犯错可以加深学生对知识的理解，有利于学生全面发展。因此，教师不要过分恐惧学生的错误，而应该透过错误看到学生身上的优点，站在学生的角度，顺应学生的认知规律，正确地评价学生的错误。比如，有些学生虽然思考问题不全面，但能积极地与他人交流；有些学生虽然理解问题稍慢一些，但是认真专注。教师要学会从不同的角度来看待学生的优缺点，帮助学生扬长避短。

（二） 理性地认识错误

在传统的认知观里错误似乎就意味着失败，意味着一无所是，但其实错误有坏的一面，更有好的一面。教师在教学中正确利用错误，就可以把错误变成宝贵的教学资源。理性地认识错误要做到以下三点：第一，坚持错误与评估无关。将学生的错误视为教学资源，而不是负面指标。从这个意义上来说，学生出现错误不应受到惩罚，而是将错误转化为学生学习的机会。第二，支持学生自己纠正错误。学生回答问题或做题时出现错误，特别是一些典型错误，正好暴露了学生理解的误区或教师教学的盲区。如果教师能够抓住契机，顺藤摸瓜，就可以找到学生出错的根源，引导学生走出思维误区，同时调整改进自己的教学。第三，杜绝负面的反应。学生犯了错误，教师不应去批评或嘲笑。

三、中学数学课堂错误资源的应用策略

（一）作为学生讨论的引例

很多时候，一个错误能给一节课带来很好的讨论主题，学生通过讨论可以加深对知识的理解。因此，教师可以将学生犯错的案例拿到课堂上供学生探讨。学生在寻找错误、分析错因的过程中思考解决的办法，从而更加全面深刻地理解与掌握知识。

［教学案例1］

问题1：已知曲线[y=x3-x+2]，求曲线经过点（1，2）的切线方程。

错解：∵[y'=3x2-1]，∴曲线在点（1，2）的斜率为：[k=y（1）=2]，∴曲线过点（1，2）的切线方程为[y-2=2（x-1）]，整理得：[y=2x]。

师：你是否同意这种解法？

（部分学生表示同意）

问题2：已知曲线[y=x3-x+2]，求曲线在点（1，2）处的切线方程。

师：请同学们再来观察一下问题2，思考它与问题1的区别在哪里。思考过后，你是否还同意问题1的解法呢？

生1：问题1的解答有误。

师：为什么呢？

生2：求曲线在点（1，2）处的切线方程，说明点（1，2）为切点，而经过点（1，2）的切线方程，切线只是经过点（1，2），不代表（1，2）一定是切点，所以切线的斜率不一定等于[y（1）]。可见，问题1的解答适用于问题2，但对于问题1来说并不全面，是错误的。

师：问题1应该怎么解答呢？

生3：设经过点（1，2）的直线与曲线[y=x3-x+2]相切于[（m，m3-m+2）]，则在点[（m，m3-m+2）]处切线的斜率为[k=3m2-1]，所以切线的方程为：[y-（m3-m+2）=（3m2-1）（x-m）]，整理得[y=3m2x-x-2m3+2]。因为切线过点（1，2）， 代入整理得[2m3-3m2+1=0]，解得[m=1或m=-12]，所以切线有两条：当[m=1]时，[y=2x]；当[m=-12]时，[y=-14x+49]。

在上述教学案例中，教师并没有直接提供正确答案，而是呈现学生的错误答案，运用对比的形式让学生自己发现问题。学生初次观察可能意识不到问题所在，但是在观察完问题2后，则会意识到问题1的解答方法应该用来解答问题2，于是回过头来重新审视问题1。通过这种方式，鼓励学生更完整地进行推理，避免某些潜在的错误发生。将学生最初出现的不正确答案直接呈现在课堂上让学生思考，引导学生探究出错的原因，反思自身可能出现的错误思维和推理，促进学生对正确答案的深入理解。

（二）作为启发学生自我反思的工具

建构主义认为，学生的错误作为一种已经建立的认知，是内置于学生现有认知结构中的。因此，教师不能简单地依靠示范和反复的练习来简单地“抹去”。教师应通过适当的提问和评价，引发学生内在的观念冲突和自我否定（即自我反思），有效地帮助学生纠正错误。针对学生的错误，教师还应结合错误的特点，巧妙地设置思辨情境，让学生自己分析错误，反思错因，从而增加数学知识的深度，提高学生的反思能力。

［教学案例2］

问题：设集合[A=-1，1]，集合[B=xax=1，a∈R]，则使得[B?A]的[a]的所有取值是？

生1：∵[B?A]，∴[B=1]或[B=-1]。当[B=1]时，[a=1]；当[B=-1]时，[a=-1]。

师：请想一想集合B只能为[1或-1]吗？

生2：集合B还能为[?]，当[B=?]時，[a=0]。

师：空集是任何集合的子集，答题时容易被忽略，如何避免这个问题呢？

生3：在求子集时先考虑[?]。

师：除了求子集，还有别的问题需要考虑空集吗？

生4：当题目中出现[B?A]，[B?A=B]，[A?B=A]时，也要考虑[B=?]的情况。

在上述教学案例中，教师发现学生遗漏了空集，但没有急于指出，而是先肯定学生找到的子集，建立学生的学习自信心，引导学生自己发现错误，一步步地帮助学生总结避免错误的方法。

（三）作为改进教学的法宝

学生出现错误，有时不仅是学生自己的问题，也有一部分是教师的原因。尤其是学生出现共性错误时，教师要及时地反思自己的教学问题，思考是不是讲课时没有讲明白、讲透彻，导致学生出现错误。

［教学案例3］

问题：求[cos225°]的函数值。

生：[cos225°=cos（π+45°）=22]。

不少学生初学三角函数时，对于诱导公式的符号容易弄错。这是因为学生对数形结合思想掌握得不到位，不会运用数形结合思想来理解三角函数、进行三角函数的变换。这个时候教师可以借助圆讲解角度[π2]、[π] 等的三角函数值发生的变化。同时，教师还要加强学生对其他诱导公式的学习，如[sin（π+α）=-sinα]等，让学生通过这些公式的对比与变换，熟练掌握相关知识。

本文围绕如何应用中学数学课堂教学中的错误资源进行探讨，为中学数学教师合理地应用错误资源提供参考。研究结果可归结为以下两点：一是产生错误的原因是多样的；二是有效应用错误资源不仅可以提升学生的数学核心素养，还可以进一步提升教师的教学能力及专业素养，提高数学课堂教学效率。这就要求教师在教学中以正确的态度对待错误资源，增强捕捉错误资源的灵敏度，有效地利用错误资源。

［   参   考   文   献   ］

［1］  班杜拉.思想和行动的社会基础：社会认知论［M］.上海：华东师范大学出版社，2018.

［2］  邵华.捕捉生成中的美丽：浅谈课堂生成性资源开发［J］.全球教育展望，2008（3）：94-96.

［3］  华应龙.课堂因差错而精彩：数学课堂“差错资源化”的思考与实践［J］.江苏教育研究，2008（20）：4-7.

［4］  任志刚.初中生数学元认知能力培养研究［D］.呼和浩特：内蒙古师范大学，2010.

［5］  唐聪英.让学生学会反思［J］.小学教学参考，2009（9）：85.

（责任编辑 罗 艳）