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2023-08-30梁竹

中学教学参考·理科版 2023年4期
关键词:对数学科材料

梁竹

[摘 要]2023年度高考蓝皮书《中国高考报告(2023)》中提到,数学考试出题将要加入复杂的情境,重点强调数学思维方法的考查。面对蕴含复杂情境的数学题,学生需要具备较强的学科阅读能力。教师可以课本阅读材料为依托,以提升阅读能力和思维能力为目的,指导学生开展“六个一”数学阅读活动。通过数学阅读活动,可提升学生的数学学科核心素养,达到育人的目的。

[关键词]课本;阅读材料;对数

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058(2023)11-0013-04

“数学阅读材料”是人教版高中数学教科书的亮点之一,是与数学教学内容相关的数学史知识以及数学知识的延伸、拓展和应用,同时也是实施德育的重要资源。 如何有效利用课本阅读材料,培养学生的数学阅读能力?笔者认为,可以课本阅读材料为依托,指导学生进行多维度的数学学科阅读。

一、数学学科阅读模型

数学学科阅读不应局限于“阅读”,还应涉及“阅读欣赏”和“数学解题”。其中,“阅读欣赏”强调阅读水平与欣赏水平的提升,突出人文素养以及家国情怀的培养。“数学解题”强调数学思维能力的提升。这两者相互融合,构成了数学学科阅读。

如何构建数学学科阅读模型?我们可以按照“信息认知→重组联系→类推迁移”的逻辑思路去构建数学学科阅读模型(见图1)。

(一)信息认知(材料分析、转换概括)

当人们拿到一份数学材料时,为了获取意义,会对其中的字符(文字、符号与图形的总称)进行初步的感知、阅读和分析,具体包含分析信息类型,分析对象,分析结构、分析行为。数学材料包含的信息类型有学科特征信息、高频信息、有意义的信息、无意义的信息、关键信息、图表信息、细节信息、干扰信息、限定信息、隐含信息等。而在分析数学材料涉及的对象时,往往会关注关键词、关键句、关键概念、关键符号、图表关键数据等。数学材料的结构则可分为先后顺序、层次顺序、上下关联三种。至于分析行为,有些人会边阅读边标注、圈点、连线,有些人会进行句段分析、词语辨认、词语提取。

(二)重组联系(信息重组、联系联想、追溯原型)

对数学材料进行初步分析后,人们会对信息进行转译、重组,联系联想,甚至追溯原型。信息重组指的是通过分析、鉴别、浓缩、提炼、综合归纳,对相关信息进行重组,按照逻辑序列整合优化(信息集成、信息整合)。联系联想包含学科之间的联系、语义联想、词汇联想、原理联想、操作联想。追溯原型则指在學习过的知识中找到类似的原理、模型。

(三)类推迁移(类推猜测、关联迁移、内化生成)

对文字语言、符号语言和图形语言3种数学语言进行正确转译、重组联系后,人们接着对文本进行综合理解,并进行类推猜测、关联迁移,最终将外部信息转化为内部信息。

二、“六个一”数学阅读活动

教师应以数学学科阅读模型为指导,结合学生的认知特点,开展“六个一”数学阅读活动。“六个一”,即“读一读”“说一说”“画一画”“练一练”“编一编”“归一归”。

下面笔者以函数中的“对数的发明”这份数学材料为例,谈谈如何依托课本阅读材料,指导学生进行“六个一”数学阅读活动。

(一)读一读

教师先给学生介绍对数的研究背景:17世纪末,人类在天文学、航海和大地测量等方面都有了长足的进步。其中,对数是一个重要的研究方向,它与数学密切相关,包含许多复杂的运算,海量的数据对人类(特别是数学家)造成了很大的压力,所以提高数值运算速度的算法就成了人类研究的重点,而对数就是其中之一。然后教师提问:下面请同学们自行阅读材料《对数的发明(节选)》,看一看对数是如何产生的,它在数学的发展、人类社会的发展历史中起了什么作用。

对数的发明(节选)

纳皮尔在研究运动学的过程中,从几何的角度说明了对数的应用。

如图2所示,假设[P]、[Q]两点以相同的初速度运动,点 [Q]沿着直线[CD]做匀速运动,则[CQ=x];点[P]沿线段[AB](长度为[107]单位)运动,它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离([PB=y]),令[P]与[Q]同时分别从[A]、[C]出发那么定义[x]是[y]的对数。

在纳皮尔的对数中, [x]和 [y]的对应关系是

[y=1071ex107]

其中,e为自然对数的底。利用对数,纳皮尔制作了0°~90°每隔1′的八位三角函数表,但是这种方法不够方便和简捷。

纳皮尔的一位朋友布里格斯(H.Briggs)在纳皮尔的专著《奇妙的对数定律说明书》中发现了一些不太容易使用的对数,于是他和纳皮尔商量,决定把1的对数变成0,10的对数变成1,这就是我们今天使用的基本对数。因为我们的数字系统采用十进制,所以这种对数更适合于计算。布里格斯于1624年出版了《对数算术》,公布了以10为底包含1~2 0000和9 0000~10 0000的14位常用对数表。他还提出了一种新的对数计算的概念,这种概念被称为“对数算术”。根据对数运算原理,人们还发明了对数计算尺。在过去的三百年里,对数计算已经成为一种基本的计算方式,而对数的计算方式和表达方式,则被一些“隐身”的物质所掩盖,很难被发现。但是,对数的思想方法,即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法,在今天仍然具有生命力。(改编自2019年人教A版普通高中数学教科书必修第一册第12—129页)

这份阅读材料不仅有文字语言,还有一些数学符号、式子、图像等,其中可运用的信息呈现出不同的形式,所以必须对其进行“输入”和“处理”,才能将其转换成数学数据,才能更好地理解每一种数据的数学含义。

比如,材料中给出了[y]和[x]的关系,其满足[y=1071ex107],这是“显性”信息,而由其衍生出来的[lny=ln107-x107]则属于“隐性”信息。再比如,材料中出现“布里格斯在《对数算术》中公布了以10为底的14位常用对数表”“根据对数运算原理,人们发明了对数计算尺”等信息,这些告诉我们,关于对数,最开始并不是作为指数函数的反函数来研究的,而是经历了对数表、对数尺等的发展历程。

(二)说一说

学习任务1:阅读上述材料后,假如你的同学对对数的产生以及它的发展过程还不清楚,请你给你的同学说一说对数产生的原因以及对数的发展过程。

这一环节的教育价值在于让学生能够用数学的方式去表述,并将自己大脑中经过有条不紊的、仔細的思考后得出的看法“外显”。

(三)画一画

学习任务2:请你梳理对数的相关知识,画一个对数的思维导图。

思维导图的绘制需要学生找准关键主题,厘清知识的主干和分支, 并用图形清晰而系统地展示出来,因此能促使学生深入思考。有些学生对对数的加减法运算法则搞不清楚,通过思维导图(见图3),两者之间的相同点、不同点就能一目了然。

这个环节的育人价值在于让学生学会思维建构,对相关信息进行重组,按照逻辑序列整合优化(信息集成、信息整合)。

(四)练一练

学习任务3:通过阅读《对数的发明(节选)》,我们了解到对数的历史,请你完成以下与对数有关的习题。

(1)纳皮尔于1614年提出了对数,以使其运算更简单;笛卡儿于1637年首次应用了指数的计算;欧拉于1707年发现了指数和对数之间的互逆关系。若[ex=2.5],[lg2=0.3010],[lge=0.4343],根据指数与对数的关系,估计[x]的值约为(       )。

A. 0.5961 B. 0.9164 C. 0.6941 D. 1.469

(2)纳皮尔是苏格兰数学家,其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则(1614)和纳皮尔算筹(1617),其最大的贡献是对数的发明,著有《奇妙的对数定律说明书》,并且发明了对数尺,可以利用对数尺查询出任意一对数值。现将物体放在空气中冷却,如果物体原来的温度是[T1(℃)],空气的温度是[T0(℃)],经过[t]分钟后物体的温度[T(℃)]可由公式[t=4log3T1-T0T-T0]得出。如温度为90 ℃的物体,放在空气中冷却2.5236分钟后,物体的温度是50 ℃,若根据对数尺可以查询出[log32=0.6309],则空气温度是()。

A. 5 ℃   B. 10 ℃   C. 15 ℃D. 20 ℃

(3)如图4所示,假定[P]、[Q]两点以相同的初速度运动。点[Q]沿直线[CD]做匀速运动,[CQ=x];点[P]沿线段[AB](长度为107单位)运动,它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离([PB=y])。令点[P]与点[Q]同时分别从[A]、[C]出发,定义[x]为[y]的纳皮尔对数,用现代数学符号表示[x]与[y]的对应关系就是[y=1071ex107(e=2.71828…)],当点[P]从线段[AB]的三等分点(靠近[A])移动到中点时,经过的时间为()。

A. [ln2]B. [ln3]C. [ln32]D. [ln43]

这三道题均是与纳皮尔有关的应用题,题材范围很广,背景也表现出多样化的特征。通常情况下,与纳皮尔有关的应用题的文字叙述长,数据多且不规则,文字、符号以及相关的数学关系式都是相互交织在一起的。所以,要耐心、细致地审题,去粗取精,抓住问题的主干,挖掘隐含条件。

第一题解答过程如下:

由指数、对数互化公式得[x=ln2.5=lg2.5lge=1-2lg2lge≈0.9164] 。故选B。

第二题解答过程如下:

由题意可知[2.5236=4log390-T050-T0],整理得[log390-T050-T0=0.6309],[∵log32=0.6309],∴[log390-T050-T0=log32],[∴][90-T050-T0=2],解得[T0=10]。故选B。

第三题解答过程如下:

由题意可知,点[P]的初始速度[107]即为点[Q]的速度。当点[P]在靠近点[A]的三等分点时,有[23×107=1071ex107],解得[x=107ln32];当点[P]在中点时,有[12×107=1071ex107],解得[x=107ln2],所以经过的时间为[107ln2-ln32÷107=ln43]。故选D。

这一环节的育人价值在于提高学生的数学学习能力,激发学生的数学学习兴趣,让学生在做题中阅读数学史,体会数学知识所蕴含的人文韵味,这比过去的死记硬背更有意义。

(五)编一编

提问:同学们是否可以从命题背景的角度分析高考题或教材上的练习题? 如果是选择题、填空题,能否抓住题干,挖掘里面的隐含条件,列出相应的关系式? 如果是解答题,能否写出分析思路及规范的答题步骤?

皮亚杰指出,只有儿童自己发现的东西,才能积极被同化。在教学中,让学生自编题目,一方面有利于学生创新能力的发展。在自编题目的过程中,学生需要对相关信息进行重新组织和整理,并按照自己的方法来对知识进行内化和理解,从而使创造力得到最大限度的提高。尽管学生自编的题目可能不是那么完美,甚至有可能出错,但是在编题的过程中,每一位学生都经历了一次创新,这是让学生解答一些标准题目所无法做到的。另一方面有利于增强学生的自信心。学生自己提出问题,在不同程度上感受到成功的喜悦,并建立起自信。学生通过自己的思考、想象而创造出来的题目得到老师和同学的认同,他们就体验到了成功的快乐。

这一环节的育人价值在于把学习的主动权交给学生,真正做到以学生为主体,同时,学生对阅读材料进行了二次开发,实现了学以致用。

(六)归一归

提问:通过本节课的学习,你有哪些收获?

设置这样的问题,让学生“归一归”,有助于学生养成整理知识的习惯,使学生能够及时把知识系统化、条理化,同时加深学生对数学阅读材料的理解,完善学生的知识体系。

这一环节的育人价值在于培养学生的归纳概括能力,使学生对知识有一个系统的认识,并学会阅读方法和技巧。

综上,数学阅读材料涉及的范围很广,而且具有很强的科学性、教育性和趣味性,是一种很好的教学资源,教师可以合理利用、二次开发数学阅读材料,给予学生多维立体的数学教育,提升学生的数学学科核心素养。

[   参   考   文   献   ]

[1]  杨红萍.数学阅读:认知与教学[M].北京:高等教育出版社,2016.

[2]  常利平.在数学学习要重视阅读教材[J].教育教学论坛,2010(35):78-79.

[3]  姚平.数学教学中应加强对数学教材的阅读[J].数学通报,2005(2):30-32.

[4] 钟建新.关于高中数学“阅读材料”的思考[J].数学通报,2011(4):12-14.

[5]  陈士润.关于高中生数学阅读能力培养策略的思考[J].中学课程辅导(教学研究),2021(4):102.

(责任编辑 黄桂坚)

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