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梁竹

［摘 要］2023年度高考蓝皮书《中国高考报告（2023）》中提到，数学考试出题将要加入复杂的情境，重点强调数学思维方法的考查。面对蕴含复杂情境的数学题，学生需要具备较强的学科阅读能力。教师可以课本阅读材料为依托，以提升阅读能力和思维能力为目的，指导学生开展“六个一”数学阅读活动。通过数学阅读活动，可提升学生的数学学科核心素养，达到育人的目的。

［关键词］课本；阅读材料；对数

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）11-0013-04

“数学阅读材料”是人教版高中数学教科书的亮点之一，是与数学教学内容相关的数学史知识以及数学知识的延伸、拓展和应用，同时也是实施德育的重要资源。 如何有效利用课本阅读材料，培养学生的数学阅读能力？笔者认为，可以课本阅读材料为依托，指导学生进行多维度的数学学科阅读。

一、数学学科阅读模型

数学学科阅读不应局限于“阅读”，还应涉及“阅读欣赏”和“数学解题”。其中，“阅读欣赏”强调阅读水平与欣赏水平的提升，突出人文素养以及家国情怀的培养。“数学解题”强调数学思维能力的提升。这两者相互融合，构成了数学学科阅读。

如何构建数学学科阅读模型？我们可以按照“信息认知→重组联系→类推迁移”的逻辑思路去构建数学学科阅读模型（见图1）。

（一）信息认知（材料分析、转换概括）

当人们拿到一份数学材料时，为了获取意义，会对其中的字符（文字、符号与图形的总称）进行初步的感知、阅读和分析，具体包含分析信息类型，分析对象，分析结构、分析行为。数学材料包含的信息类型有学科特征信息、高频信息、有意义的信息、无意义的信息、关键信息、图表信息、细节信息、干扰信息、限定信息、隐含信息等。而在分析数学材料涉及的对象时，往往会关注关键词、关键句、关键概念、关键符号、图表关键数据等。数学材料的结构则可分为先后顺序、层次顺序、上下关联三种。至于分析行为，有些人会边阅读边标注、圈点、连线，有些人会进行句段分析、词语辨认、词语提取。

（二）重组联系（信息重组、联系联想、追溯原型）

对数学材料进行初步分析后，人们会对信息进行转译、重组，联系联想，甚至追溯原型。信息重组指的是通过分析、鉴别、浓缩、提炼、综合归纳，对相关信息进行重组，按照逻辑序列整合优化（信息集成、信息整合）。联系联想包含学科之间的联系、语义联想、词汇联想、原理联想、操作联想。追溯原型则指在學习过的知识中找到类似的原理、模型。

（三）类推迁移（类推猜测、关联迁移、内化生成）

对文字语言、符号语言和图形语言3种数学语言进行正确转译、重组联系后，人们接着对文本进行综合理解，并进行类推猜测、关联迁移，最终将外部信息转化为内部信息。

二、“六个一”数学阅读活动

教师应以数学学科阅读模型为指导，结合学生的认知特点，开展“六个一”数学阅读活动。“六个一”，即“读一读”“说一说”“画一画”“练一练”“编一编”“归一归”。

下面笔者以函数中的“对数的发明”这份数学材料为例，谈谈如何依托课本阅读材料，指导学生进行“六个一”数学阅读活动。

（一）读一读

教师先给学生介绍对数的研究背景：17世纪末，人类在天文学、航海和大地测量等方面都有了长足的进步。其中，对数是一个重要的研究方向，它与数学密切相关，包含许多复杂的运算，海量的数据对人类（特别是数学家）造成了很大的压力，所以提高数值运算速度的算法就成了人类研究的重点，而对数就是其中之一。然后教师提问：下面请同学们自行阅读材料《对数的发明（节选）》，看一看对数是如何产生的，它在数学的发展、人类社会的发展历史中起了什么作用。

对数的发明（节选）

纳皮尔在研究运动学的过程中，从几何的角度说明了对数的应用。

如图2所示，假设[P]、[Q]两点以相同的初速度运动，点 [Q]沿着直线[CD]做匀速运动，则[CQ=x]；点[P]沿线段[AB]（长度为[107]单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（[PB=y]），令[P]与[Q]同时分别从[A]、[C]出发那么定义[x]是[y]的对数。

在纳皮尔的对数中， [x]和 [y]的对应关系是

[y=1071ex107]

其中，e为自然对数的底。利用对数，纳皮尔制作了0°～90°每隔1′的八位三角函数表，但是这种方法不够方便和简捷。

纳皮尔的一位朋友布里格斯（H.Briggs）在纳皮尔的专著《奇妙的对数定律说明书》中发现了一些不太容易使用的对数，于是他和纳皮尔商量，决定把1的对数变成0，10的对数变成1，这就是我们今天使用的基本对数。因为我们的数字系统采用十进制，所以这种对数更适合于计算。布里格斯于1624年出版了《对数算术》，公布了以10为底包含1～2 0000和9 0000～10 0000的14位常用对数表。他还提出了一种新的对数计算的概念，这种概念被称为“对数算术”。根据对数运算原理，人们还发明了对数计算尺。在过去的三百年里，对数计算已经成为一种基本的计算方式，而对数的计算方式和表达方式，则被一些“隐身”的物质所掩盖，很难被发现。但是，对数的思想方法，即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，在今天仍然具有生命力。（改编自2019年人教A版普通高中数学教科书必修第一册第12—129页）

这份阅读材料不仅有文字语言，还有一些数学符号、式子、图像等，其中可运用的信息呈现出不同的形式，所以必须对其进行“输入”和“处理”，才能将其转换成数学数据，才能更好地理解每一种数据的数学含义。

比如，材料中给出了[y]和[x]的关系，其满足[y=1071ex107]，这是“显性”信息，而由其衍生出来的[lny=ln107-x107]则属于“隐性”信息。再比如，材料中出现“布里格斯在《对数算术》中公布了以10为底的14位常用对数表”“根据对数运算原理，人们发明了对数计算尺”等信息，这些告诉我们，关于对数，最开始并不是作为指数函数的反函数来研究的，而是经历了对数表、对数尺等的发展历程。

（二）说一说

学习任务1：阅读上述材料后，假如你的同学对对数的产生以及它的发展过程还不清楚，请你给你的同学说一说对数产生的原因以及对数的发展过程。

这一环节的教育价值在于让学生能够用数学的方式去表述，并将自己大脑中经过有条不紊的、仔細的思考后得出的看法“外显”。

（三）画一画

学习任务2：请你梳理对数的相关知识，画一个对数的思维导图。

思维导图的绘制需要学生找准关键主题，厘清知识的主干和分支， 并用图形清晰而系统地展示出来，因此能促使学生深入思考。有些学生对对数的加减法运算法则搞不清楚，通过思维导图（见图3），两者之间的相同点、不同点就能一目了然。

这个环节的育人价值在于让学生学会思维建构，对相关信息进行重组，按照逻辑序列整合优化（信息集成、信息整合）。

（四）练一练

学习任务3：通过阅读《对数的发明（节选）》，我们了解到对数的历史，请你完成以下与对数有关的习题。

（1）纳皮尔于1614年提出了对数，以使其运算更简单；笛卡儿于1637年首次应用了指数的计算；欧拉于1707年发现了指数和对数之间的互逆关系。若[ex=2.5]，[lg2=0.3010]，[lge=0.4343]，根据指数与对数的关系，估计[x]的值约为（       ）。

A. 0.5961 B. 0.9164 C. 0.6941 D. 1.469

（2）纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），其最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值。现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是[T1（℃）]，空气的温度是[T0（℃）]，经过[t]分钟后物体的温度[T（℃）]可由公式[t=4log3T1-T0T-T0]得出。如温度为90 ℃的物体，放在空气中冷却2.5236分钟后，物体的温度是50 ℃，若根据对数尺可以查询出[log32=0.6309]，则空气温度是（）。

A. 5 ℃   B. 10 ℃   C. 15 ℃D. 20 ℃

（3）如图4所示，假定[P]、[Q]两点以相同的初速度运动。点[Q]沿直线[CD]做匀速运动，[CQ=x]；点[P]沿线段[AB]（长度为107单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（[PB=y]）。令点[P]与点[Q]同时分别从[A]、[C]出发，定义[x]为[y]的纳皮尔对数，用现代数学符号表示[x]与[y]的对应关系就是[y=1071ex107（e=2.71828…）]，当点[P]从线段[AB]的三等分点（靠近[A]）移动到中点时，经过的时间为（）。

A. [ln2]B. [ln3]C. [ln32]D. [ln43]

这三道题均是与纳皮尔有关的应用题，题材范围很广，背景也表现出多样化的特征。通常情况下，与纳皮尔有关的应用题的文字叙述长，数据多且不规则，文字、符号以及相关的数学关系式都是相互交织在一起的。所以，要耐心、细致地审题，去粗取精，抓住问题的主干，挖掘隐含条件。

第一题解答过程如下：

由指数、对数互化公式得[x=ln2.5=lg2.5lge=1-2lg2lge≈0.9164] 。故选B。

第二题解答过程如下：

由题意可知[2.5236=4log390-T050-T0]，整理得[log390-T050-T0=0.6309]，[∵log32=0.6309]，∴[log390-T050-T0=log32]，[∴][90-T050-T0=2]，解得[T0=10]。故选B。

第三题解答过程如下：

由题意可知，点[P]的初始速度[107]即为点[Q]的速度。当点[P]在靠近点[A]的三等分点时，有[23×107=1071ex107]，解得[x=107ln32]；当点[P]在中点时，有[12×107=1071ex107]，解得[x=107ln2]，所以经过的时间为[107ln2-ln32÷107=ln43]。故选D。

这一环节的育人价值在于提高学生的数学学习能力，激发学生的数学学习兴趣，让学生在做题中阅读数学史，体会数学知识所蕴含的人文韵味，这比过去的死记硬背更有意义。

（五）编一编

提问：同学们是否可以从命题背景的角度分析高考题或教材上的练习题？ 如果是选择题、填空题，能否抓住题干，挖掘里面的隐含条件，列出相应的关系式？ 如果是解答题，能否写出分析思路及规范的答题步骤？

皮亚杰指出，只有儿童自己发现的东西，才能积极被同化。在教学中，让学生自编题目，一方面有利于学生创新能力的发展。在自编题目的过程中，学生需要对相关信息进行重新组织和整理，并按照自己的方法来对知识进行内化和理解，从而使创造力得到最大限度的提高。尽管学生自编的题目可能不是那么完美，甚至有可能出错，但是在编题的过程中，每一位学生都经历了一次创新，这是让学生解答一些标准题目所无法做到的。另一方面有利于增强学生的自信心。学生自己提出问题，在不同程度上感受到成功的喜悦，并建立起自信。学生通过自己的思考、想象而创造出来的题目得到老师和同学的认同，他们就体验到了成功的快乐。

这一环节的育人价值在于把学习的主动权交给学生，真正做到以学生为主体，同时，学生对阅读材料进行了二次开发，实现了学以致用。

（六）归一归

提问：通过本节课的学习，你有哪些收获？

设置这样的问题，让学生“归一归”，有助于学生养成整理知识的习惯，使学生能够及时把知识系统化、条理化，同时加深学生对数学阅读材料的理解，完善学生的知识体系。

这一环节的育人价值在于培养学生的归纳概括能力，使学生对知识有一个系统的认识，并学会阅读方法和技巧。

综上，数学阅读材料涉及的范围很广，而且具有很强的科学性、教育性和趣味性，是一种很好的教学资源，教师可以合理利用、二次开发数学阅读材料，给予学生多维立体的数学教育，提升学生的数学学科核心素养。

［   参   考   文   献   ］

［1］  杨红萍.数学阅读：认知与教学［M］.北京：高等教育出版社，2016.

［2］  常利平.在数学学习要重视阅读教材［J］.教育教学论坛，2010（35）：78-79.

［3］  姚平.数学教学中应加强对数学教材的阅读［J］.数学通报，2005（2）：30-32.

［4］ 钟建新.关于高中数学“阅读材料”的思考［J］.数学通报，2011（4）：12-14.

［5］  陈士润.关于高中生数学阅读能力培养策略的思考［J］.中学课程辅导（教学研究），2021（4）：102.

（责任编辑 黄桂坚）