“三新”背景下基于核心素养的数学课堂教学设计

屈菲

［摘 要］在“三新”背景下，教师应转变教学观念，有效设计课堂教学，发展学生的核心素养。文章以“正弦定理”（第一课时）为例，从教学内容、教学目标、学生学情、教学策略、教学过程五个方面来阐述“三新”背景下基于核心素养的数学课堂教学设计。

［关键词］“三新”；核心素养；教学设计

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）08-0019-04

“三新”指新高考、新教材、新课标。在“三新”背景下，教师如何转变教学观念，在新一轮教学改革中抢占先机？“三新”背景下基于核心素养的高中数学课堂教学该如何设计？本文以“正弦定理”（第一课时）为例，从教学内容、教学目标、学生学情、教学策略、教学过程五个方面来阐述“三新”背景下基于核心素养的数学课堂教学设计。

一、教学内容

“正弦定理”是北师大版教材必修第二册第二章第六节的内容。正弦定理给出了任意三角形的边、角关系的定量刻画，揭示了任意三角形的边角之间的一种等量关系，正弦定理其实是对“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化。

正弦定理属于三角学知识，运用正弦定理能处理可转化为三角形计算的数学问题。作为用于解决生产、生活实际问题的重要工具，它体现了数学的应用价值。本节课的教学重点是正弦定理的发现、证明及其简单应用。

在直角三角形中发现正弦定理的过程，能引发学生的观察思维；把一般三角形转化为直角三角形，从而证明正弦定理，可训练学生的化归思维。在直角三角形中发现正弦定理、利用几何画板直观验证正弦定理，再到在一般三角形中证明正弦定理的过程，是由特殊到一般、从感性到理性、先猜想后证明的思维训练过程，能很好地培养学生的思维能力。

二、教学目标

本节课的教学以《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“标准”）为基本依据，以“立德树人”作为根本目标。

“标准”主题三模块对本单元的学业要求是：能够从多种角度理解向量概念和运算法则，掌握向量基本定理；能够运用向量运算解决简单的几何和物理问题，知道数学运算和逻辑推理的关系；重点提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象素养。

“标准”对本节课教学内容要求是：探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理。

为了达到以上要求，结合学生实际，设定本节课的教学目标如下。

（一）目标

1.经历观察、发现正弦定理的过程，能用“作高法”和“外接圆法”证明正弦定理，体会“从特殊到一般”的研究方法和分类讨论思想、化归思想、数形结合思想等数学思想，提高逻辑推理、数学运算素养，培养创新意识。

2.学会赏析正弦定理和应用正弦定理，感悟正弦定理的审美价值和应用价值。

（二）达成目标的标志

达成目标1的标志是学生通过独立思考、讨论交流、合作探究后，能发现、归纳出正弦定理，并用“作高法”“外接圆法”证明正弦定理。

达成目标2的标志是学生能用文字语言和符号语言描述正弦定理的内容；概括出正弦定理符号表达式的结构对称美与和谐美；能清楚应用正弦定理解三角形的题目类型；能独自完成课堂的引例和例1。

三、学生学情

（一）学生已有基础

学生在初中已学过平面几何的相关知识，能够熟练地解直角三角形，懂得作辅助线解决几何问题，且也刚刚学过三角函数和平面向量，因此对正弦定理的理解不会有太大问题。本节内容是紧跟在余弦定理之后学习的，为探索新的边、角数量关系打下基础，学习余弦定理时用到的数学思想可以迁移到正弦定理的学习中，余弦定理的证明方法为正弦定理提供借助向量进行证明的思路。

经过小学、初中和高中阶段的学习，学生已经熟悉数形结合思想、分类讨论思想，也接触过化归思想以及“从特殊到一般”的研究方法，具备了观察发现、逻辑推理、自主探究的基本能力，培养了一定的数学学习兴趣。

（二）面临的挑战

正弦定理的证明过程需要学生对所学知识有比较强的运用能力，并且能熟练运用化归思想解决问题；需要具备把一般三角形转化为直角三角形的知识、思想和方法；需要具有良好的数学运算、逻辑推理素养，能够知道数学运算和逻辑推理的关系，能把数学运算和逻辑推理有效结合起来解决问题。

（三）学习难点

难点1：用“作高法”在锐角三角形中证明正弦定理。

学生对运用化归思想解决问题还不够熟练，需要先在锐角三角形中通过“作高”的方法构建直角三角形来证明正弦定理。

学生漫无目的地计算也可能恰巧得到正弦定理，但这不是通过分析目标式，在逻辑推理的指引下有方向地去进行数学运算。这时教师需要进行点拨，让学生知道正弦定理是通过两个直角三角形的公共边建立等式完成证明的，进而为在钝角三角形中证明正弦定理打下基础。

难点2：用“作高法”在钝角三角形中证明正弦定理。（高线落在三角形外部）

让对知识掌握熟练，综合运用能力较强的学生通过独立思考自主破解学习难点。

難点3：用“外接圆法”在锐角三角形中证明正弦定理。

学生不清楚整个证明过程中用到的知识、思想和方法，这时教师需要通过采用独立思考、组内或组间分享交流的方式让学生突破学习难点。

难点4：用“外接圆法”在钝角三角形中证明正弦定理。

学生没有想到利用“圆的内接四边形对角互补”把钝角转化为锐角再进行证明，并且对圆的性质和三角函数诱导公式的综合运用能力较弱，教师需要设置有效教学环节帮助学生破解难点。

四、教学策略

（一）教学材料选择

以人教版必修五教材中提到的在1671年两位法国天文学家利用正弦定理计算出地月距离作为现实依据，播放我国2022年9月成功发射的遥感三十六号卫星新闻视频，激发学生的爱国热情和民族自豪感，同时提出估算一个低轨道卫星距离观测者的距离作为情境导入，进而引发学生的认知冲突，激发学生的学习兴趣。为了加深学生对正弦定理的理解，得到其比值，也为接下来用“外接圆”法证明正弦定理做铺垫，教师应创造性地应用教材，合理调整教材内容顺序，既保持了知识的连贯性又分散难度。为了加强学生对正弦定理的应用，教师可以递进式地设置了引例和例1。

（二）教学方法分析

本节课的教学重点是正弦定理的发现、证明及其简单应用，要求学生有较高的知识综合运用能力，教师可以借助幻灯片、投影、几何画板、微课等多媒体技术手段，采用观察发现式、问题启发式、合作讨究式的教学方法。

五、教学过程

（一）创设情境，设问导学

教师播放卫星发射升空的新闻视频，并进行简要介绍：2022年9月26日21时38分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将遥感三十六号卫星发射升空。提问：看到这里，我们不禁为我们的祖国感到自豪。同学们，你们有没有想过卫星距离我们有多远呢？能用我们所学的知识进行估算吗？下面是测量某低轨道卫星获取的一些数据：[B]、[C]两地相距[1200 km]，两位观测者在[B]、C两地同时观测同一颗卫星A，在B处记录的仰角是60°，在C处记录的仰角是75°，请问卫星距离C地大概有多远？如图1建立数学模型，如何求AC的距离？

设疑：这里已知三角形的两角及夹边，能用余弦定理直接求解吗？

学生观看视频，独立思考，集体回答。

设计意图：让学生产生认知冲突，感受学习正弦定理的必要性，激发学生的学习兴趣，提升学生的数学抽象、数学建模素养。

（二）特例探寻，提出猜想

问题1：在直角三角形（见图2）中，通过对角的正弦观察，你能发现边、角新的数量关系吗？

问题2：这是在直角三角形中得到的关系式（见图3），那么在任意三角形中这个关系式是否仍然成立呢？

[两等式间有联系吗？]

图3 直角三角形的关系式

设计意图：通过问题1和问题2，使学生感受“从特殊到一般”的研究方法。

（三）几何画板，直观验证

验证：利用几何画板验证结论（见图4）。

提问：几何画板验证过就算证明了吗？

设计意图：引导学生由感性认识过渡到理性思维。

（四）逻辑推理，证明猜想

问题3：你能理性证明得到的猜想吗？

设疑1：直角三角形中等式已经成立，能否把锐角三角形转化为直角三角形来完成证明？如何转化？

展示证明（见图5）：

设疑2：类比在锐角三角形中的证明过程，你能给出在钝角三角形中的证明吗？

展示证明（见图6）：

设计意图：让学生感悟分类讨论思想、化归思想，提升学生的逻辑推理和数学运算素养。

（五）形成定理，理解赏析

设疑：你能用符号语言描述它吗？

展示：[asinA=bsinB=csinC]

引导：你觉得正弦定理美吗？正弦定理体现了哪些美？

问题4：利用正弦定理可以解决哪类三角形问题呢？

设计意图：使学生加深对正弦定理的理解，领悟方程思想，感悟数学的美及其应用价值。

（六）应用定理，解决问题

［例1］在[△ABC]中，已知[a=2]，[b=23]，[A=30°]，解三角形。

设计意图：使学生在应用正弦定理解决问题的过程中提升数学运算和逻辑推理素养。

（七）挖掘定理，拓展深化

引导：至此，大家对正弦定理的学习满意吗？想揭秘这个“比值”是什么吗？

设疑：下面我们继续探究，来揭晓正弦定理中神秘的“比值”，请看课本例5，如何证明？

［例2］求证：如图7所示，以[Rt△ABC]斜边[AB]为直径作外接圆，设这外接圆的半径为[R]，则[asinA=bsinB=csinC=2R]。

问题5：对于锐角三角形、钝角三角形，上述结论还成立吗？

探究：请同学们先独立思考，然后先组内后组间交流，完成表1中的探究任务1和探究任务2。

展示：学生填好的探究任务表（见表2）。

易得：[asinA=bsinB=csinC=2R] 突破问题的知识：

1.直径所对圆周角是90°；

2.等弧所对的圆周角都相等。 突破问题的思想：化归思想、数形结合思想。 突破问题的方法：外接圆法。 探究2：

[△ABC]为钝角三角形

[=sin∠ADB=c2R]，∴[csinC=2R]

易得：[asinA=bsinB=csinC=2R] 突破问题的知识：

1.圆内接四边形的对角互补；

2.三角函数诱导公式。 突破问题的思想：化归思想、数形结合思想。 突破问题的方法：外接圆法。 ]

归纳：对比正弦定理的两种证明方法，你有什么感悟？

引导：通过学习，同学们了解到了正弦定理及其证明过程，你们还想了解正弦定理的发展简史吗？

设计意图：培养学生逻辑推理和数学运算素养；利用微课介绍正弦定理的发展简史，渗透数学文化，点燃学生用其他方法证明正弦定理的热情。

（八）课堂小结，回顾总结

引导：请你从知识、思想和方法等角度谈谈本节课的收获。

设计意图：培养学生的归纳概括及反思能力，提升学生的学习境界。

六、总结

目前，新一轮课程改革正在全国各地如火如荼地展开，数学一线教师应加强“三新”的深入研究，在教学设计中精心选材、巧妙布局，落实“四基”，培养“四能”，树立以发展学生数学学科核心素养为导向的教学意识，把发展学生数学核心素养、提高学生数学学习能力作为教学设计的起点与终点，促使更多的学生热爱数学。

［   参   考   文   獻   ］

［1］  中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版［M］.北京：人民教育出版社，2018.

［2］  欧阳群壮.在教学中培养数学思维能力的几种途径［J］.数学学习与研究，2016（13）：126-127.

［3］  易斌.基于核心素养的高中数学课堂教学设计：以《平面向量数量积的物理背景及其含义》为例［J］.广西教育，2020（6）：102-105.

（责任编辑 黄桂坚）