砂岩应变相关变形损伤本构理论及试验研究

2023-08-29童立红伍冰妮吴琳琳徐长节

长江科学院院报 2023年8期

童立红,伍冰妮,吴琳琳,徐长节

(1.华东交通大学江西省与科技部共建轨道交通基础设施性能监测与保障国家重点实验室,南昌 330013;2.华东交通大学土木建筑学院,南昌 330013)

0 引言

荷载作用下,岩石内部微裂纹、微裂隙的新增或扩展是导致岩石力学性能劣化及破坏的主要诱因。对于不同类型岩石,其变形和破坏机理存在显著的差异。因此,建立损伤本构模型是分析岩石破坏机理和损伤演化的关键。

Krajcinovic和Silva[1]首先提出了损伤统计强度理论并应用在岩石破坏机制的研究上,同时相关学者在岩石的损伤本构模型研究方面取得了许多成果[2-5],如Lemaitre应变等价理论认为岩石损伤是其内部细观缺陷在宏观尺度的体现。文献[6]—文献[8]基于损伤力学和应变等价理论,假定岩石损伤服从Weibull分布并建立损伤本构模型,通过试验验证了模型的可靠性。李海潮等[9]建立了基于Weibull分布的微元强度损伤统计模型,用以描述岩石峰后强度变形演化特征;刘东桥等[10]基于岩石三轴试验结果提出了基于有损微元生成的损伤演化模型,并建立了压缩条件下的岩石应变软化损伤本构模型。通过对已有模型的分析发现,多数模型都将低应变下的岩石变形近似为线弹性变形,而未考虑岩石在初始变形阶段孔隙压密的影响。同时,研究资料[11-16]表明在岩石破坏特性和损伤演化过程中,初始损伤对其物理力学特性有显著的影响。因此,建立能够描述岩石全变形特征的本构模型,对研究含初始损伤岩石的损伤演化和变形机理至关重要。另一方面,在建及改建工程施工会对附近已有工程中的岩体产生影响,甚至造成损伤和强度劣化,如爆破引起的岩石应力重分布等。因此,确定原位岩石力学性能对工程安全评价尤为重要。

综上,本文作者建立了与应变相关的砂岩变形本构模型,基于此模型,推导得到了损伤演化模型,并分析了不同应变加载速率及围压下的岩石损伤演化特征,最后给出了岩石原位模量的确定方法。

1 岩石三轴测试试验

1.1 试验方案和使用设备

试验所用红砂岩取自云南省武定县,制成Φ50 mm×100 mm的标准圆柱体试样。岩样为红褐色,颗粒均匀,切面平整,表面无肉眼可见的裂纹,平均密度为2.332 g/cm3。岩石沿沉积方向取样,假定岩石试样宏观各向同性。试验采用如图1所示的型号为ZTRE-210的微机控制岩石三轴测试系统,试验采用控制变形速率的加载方式。为了研究不同加载速率下岩石的破坏性质,依次进行加载速率为0.02、0.04、0.06、0.08、0.10、0.16、0.20、0.50 mm/min的单轴压缩/三轴压缩试验。试验时采用的围压分别为0、4、7、10 MPa,以模拟岩石所处不同围压环境。

图1 型号ZTRE-210微机控制岩石三轴测试系统示意图

1.2 试验结果

砂岩的典型应力-应变曲线如图2所示,图中围压为0 MPa,加载速率为0.02 mm/min。加载初期阶段,应力-应变呈弱非线性,并且在该阶段可以检测出部分声发射事件,表明该阶段岩样内部初始微裂纹出现闭合,切线模量也在不断增加。当初始微裂纹闭合完成后,试样开始进入近似弹性阶段,该阶段的应力-应变呈线性关系。在弹性变形阶段,几乎监测不到声发射事件,说明在该过程,岩样内部没有裂纹闭合/扩展行为。随着变形不断增加,声发射事件开始急剧增加,说明岩石内部产生了大量新的微裂纹,细观微裂纹持续发育并集中,形成了贯通的宏观裂纹进而引起岩石破坏。研究表明[16]砂岩是由矿物颗粒胶结形成,不同颗粒之间胶结强度存在差异。在应力作用下,胶结颗粒破坏到一定数量,岩石无法抵抗外部荷载进而破坏。因此,在砂岩加载过程中,严格意义上的弹性段是不存在的。一旦初始微裂纹完全闭合后(假定在微裂纹闭合阶段,产生的新裂纹数量远远小于裂纹的闭合量,宏观上仍然表现出裂纹闭合),继续加载将导致新的微裂纹产生,引起岩石的宏观强度弱化直至破坏。可见,宏观上微裂纹闭合和新裂纹产生的转折点即为应力-应变曲线的拐点。由此,建立全变形阶段砂岩本构的关键是找到能够描述模量随变形的演化关系。

图2 典型应力-应变曲线、破坏形式及相应的声发射监测结果

2 砂岩变形本构模型

上述典型应力-应变曲线试验结果表明,加载过程中砂岩的切线模型是与应变相关的,这种模量的应变相关性是由岩石中微裂纹的闭合或新增或扩展引起的。岩石所受外部荷载越大,其内部裂纹数量越多,模量劣化越显著。考虑到模量的非负性,将模量随变形的变化关系表示为

E(ε)=E0e-f(ε)。

(1)

式中：E为考虑损伤影响下岩石的模量;E0为无损伤状态下岩石的模量;f(ε)是轴向应变ε的函数。假设轴向应力-轴向应变满足如下简单的类弹性关系,即

σ=Eε=E0εe-f(ε)。

(2)

式中σ为轴向应力。由式(2)可知,确定函数f(ε)则可确定模量的显式表达。但是函数f(ε)是未知的,可以假设其为应变ε的泰勒序列,即

式中：ai=f(i)(0) / (i!),上标i表示i阶导数;n表示函数f(ε)展开n项;f0是岩石试样未变形时的初始值。将式(3)代入式(1),可得

(4)

考虑到应变一般很小,式(3)中的高阶量可略去,这里仅保留前3项,则应力-应变关系可简化为

(5)

在宏观尺度上,可通过损伤力学定量地描述缺陷对岩石力学特性的影响,基于文献[17]和式(5)中所示本构模型可得岩石损伤本构模型为

σ=E0ε(1-ω0)(1-ωn) 。

(6)

式中：ω0为岩石的初始损伤;ωn为岩石在初始损伤基础上新增的损伤。联立式(5)和式(6),得到

(7)

式中：ω是在轴向加载下考虑初始损伤的岩石的损伤值。当参数a1、a2确定后,可由条件ω≥0确定初始损伤的最小值min(ω0)=-min(ωn),进而确定f0的最小值。取ω0= min(ω0),则有

f0=-ln[1+min(ωn)] 。

(8)

3 分析与讨论

3.1 模型验证

图3列出了在不同围压下的部分典型试验结果,通过与图2的变形曲线对比发现,所有试验的应力-应变曲线线型具有一致性,其切线模量均表现出应变相关性。同时,将试验值与理论拟合值对比,发现两者对比结果较好,验证了本构模型的适用性。

图3 典型应力-应变曲线及其拟合曲线

为了进一步验证损伤演化模型的合理性,利用式(5)对不同围压下的试验结果进行拟合,采用拟合优度R2作为拟合控制系数,进而得到待定参数。部分拟合参数如表1所示。由表1可知,同一围压下的参数a1不受加载速率的影响,参数a2受加载速率影响不大。拟合曲线与试验曲线的对比见图3,由图3可以看出,在相同围压不同加载速率和不同围压相同加载速率2种情况下,式(5)所得结果与试验结果均拟合较好,说明式(5)中应变相关的本构模型是合理的。同时,为了简化分析及保证拟合参数具有明确的物理力学意义,本文作者仅对低阶拟合模型进行分析。

表1 参数拟合结果

图4给出了参数随围压的变化关系,其中参数a1与围压呈明显的线性关系,即表征围压越大其绝对值小。

图4 围压对参数a1、a2的影响

参数a2(取同一围压下不同加载速率的平均值)与围压呈类抛物线关系,围压<7 MPa时参数a2随围压的增大而减小,>7 MPa时参数a2随围压的增大而增大。为了明确参数a1和a2的物理力学意义,将式(5)在小应变下进行近似简化,得

由式(9)可知,参数a1和a2分别表示二阶和三阶非线性系数。由图4可以看出,在小围压下(<7 MPa),岩石的非线性系数随围压增大逐渐减小,意味着围压升高使得岩石内部微裂纹部分闭合,从而有效抑制了微裂纹引起的非线性行为。当围压较高时(如10 MPa),原有微裂纹闭合的同时会引起部分新裂纹的萌生,导致二阶非线性系数减小的同时,三阶非线性系数升高。

3.2 加载速率对岩石强度的影响

不同围压条件下,加载速率对应的峰值应力如图5所示。在相同围压条件下,峰值应力整体上随加载速率增大而增大。但是,由于试验设备限制,所能使用的加载速率变化范围有限,试验所用加载速率无法实现量级的变化,因此试验所测峰值应力受加载速率的影响较小。此外,图5中在低围压(0～7 MPa)下,随着围压的增大,峰值应力逐渐增大;但当将围压增加到 10 MPa时,峰值应力相较于7 MPa时的有所下降,原因是由于较大的围压使得岩石产生了新的微裂纹,从而导致岩石强度有所下降。

图5 不同围压下峰值应力与加载速率的关系

(10)

式中：α、β和λ为拟合参数;ν为加载速率(mm/min)。因此,当通过试验获取式(10)中的拟合参数后,则可得到加载时的初始模量,再由式(5)进一步分析岩石应力-应变的发展状态。

3.3 损伤演化分析

图8 应力、应变、损伤演化曲线随应变变化的关系曲线 (加载速率均为0.04 mm/min)

由式(7)可知,砂岩损伤演化主要受参数a1和a2控制,为了明确本构中参数a1和a2对损伤演化的影响,控制参数a1或a2,改变另一个参数,得到2组损伤演化曲线,如图7所示。值得注意的是,损伤演化曲线中的参数f0均由参数a1和a2确定。图7中,损伤曲线可以分为下降段和上升段：下降段表示岩石内部初始微裂纹在变形过程中逐渐闭合,岩石内部空隙减小,体积收缩;上升段表示新的微裂纹开始萌生并扩展。如图7(a)所示,保持参数a2不变,|a1|从350降至200,初始损伤从0.327逐渐降低至0.1,说明参数|a1|与初始损伤呈正相关。同理,如图7(b)所示,保持参数|a1|不变,a2从108 194降到78 194,初始损伤从0.327逐渐增大到0.48,说明参数a2与初始损伤呈负相关。同时,图7(a)中第一阶段,|a1|值越大,dω/dε的绝对值越大,说明损伤随应变愈合越快;而第二阶段dω/dε几乎不受|a1|值的影响。图7(b)中第一阶段,dω/dε几乎不受a2值的影响;而第二阶段,a2值越大,dω/dε值越大,说明新损伤随应变发展得越快。综合图7(a)和图7(b)可以看出,参数a1和a2分别反映了岩石内部微裂纹随应变的闭合和发展历程,即：在应变较低时,a1起控制作用,因此裂纹呈闭合趋势,而在应变逐渐增大后,a2开始逐渐起控制作用,岩石呈裂纹扩展趋势。综上所述,可将a1和a2分别定义为控制裂纹闭合和发展的参数。

图7 参数a1、a2对损伤演化的影响

为了验证上述损伤演化的2个阶段的分界点即为损伤曲线的极小值点,将不同围压下的体应变曲线、应力应变曲线及损伤演化曲线绘制于图8中。在ω(ε) = 0(即图中B点)处作垂线交应力应变曲线于A点,再在A点作平行线交体应变曲线于C点。B点作为损伤演化曲线的极值点,表示裂纹从闭合转向扩展,即2个阶段的分界点,而此刻正好对应于应力应变曲线上的点A,表示岩石内部从微裂隙稳定扩展阶段进入到快速扩展阶段。与A对应的体应变点C处于εV=0附近,说明轴向应变越过A点(对应于损伤演化曲线越过分界点B)后,岩石体积开始由压缩转为膨胀,即岩石内部裂纹闭合完成,新的裂纹开始萌生并扩展。观察图8可以发现,不同围压都遵循一致的规律,这也验证了本文提出的损伤演化模型的合理性。

损伤模型式(7)可用于分析试验所得岩石损伤破坏的阈值。为了量化分析,定义应力应变曲线切线为0处(即岩石切线模量为0)作为岩石破坏点。通过拟合曲线,确定切线模量为零处对应的应变值,将其代入损伤模型并得到破坏时的损伤值ωf。由于岩石材料具有初始损伤,故岩石总损伤ωt为初始损伤ω0与破坏损伤ωf之和。图9(a)为围压等于0时,3种损伤与不同加载速率的关系的试验结果,图中虚线表示不同加载速率下的损伤平均值。阴影表示数据浮动范围。ω0均值为0.322 5,最大上浮5.5%、下浮4.7%;ωf均值为0.282 9,最大上浮0.13%、下浮0.13%;ωt均值为0.605 4,最大上浮2.9%、下浮2.4%。可以发现定义的3种损伤均匀分布在均值两侧,且几乎不受加载速率影响。图9(b)为同一加载速率下3类损伤与围压的关系,ω0随围压的增大而减小,且下降幅度明显,说明围压使得岩石内部的微裂纹出现闭合;ωf随围压的增大略微上升,但是上升趋势并不明显,可近似认为破坏损伤ωf几乎与围压无关;ωt同ω0变化趋势一致,随围压的增大而减小,说明围压的增大导致岩石出现了脆性破坏。综合图9可以看出,岩石破坏时的损伤几乎与加载速率无关,而与其变形和外部围压条件相关,这也证明了以应变为变量建立的损伤演化模型是合理的。

图9 损伤演化规律

3.4 原位岩石模量的确定

通过对不同速率、不同围压等条件下的砂岩试验研究了本构模型及损伤演化模型的特征和适用性。试验结果表明损伤演化模型具有典型的双阶段特征,同时证明了岩石试样初始损伤的存在。结合本构模型和损伤演化模型,能定量地确定初始损伤ω0,进而得到参数f0。根据经典损伤力学理论,可得无损伤状态(原位状态)下岩石的静模量Esitu=ρC2ef0,C为波速。以本研究的试验结果为例,以相同围压不同速率为一组,根据C值和f0分别计算Esitu及其每组平均值和对应的变异系数。其中,变异系数表达式为

(11)

由表2可知,岩石原位模量变异系数均>5%,即每组岩样原位模量近似相同。因此,本文提出的本构模型及损伤演化模型,不仅可以研究具有损伤岩石的变形发展和损伤演化情况,也可以用来判断岩石的初始损伤程度和确定岩石试样的原位模量。