谈谈求解几何体外接球半径问题的两种措施

李金山

若一个几何体的所有顶点都在同一个球面上，则称这个球是这个几何体的外接球，这个球的半径为几何体的外接球的半径.求几何体外接球的半径问题侧重于考查简单几何体的特征以及球的定义，对同学们的空间想象和观察能力有较高的要求.接下来，结合几个例题，详细介绍一下求几何体外接球半径的两种措施.

一、利用转化法

在求几何体外接球的半径时，我们经常要用到转化法.首先要仔细观察几何体的特征，以确定球心的位置；然后过球心和几何体的一个顶点作几何体底面的垂线；再根据几何体的特征添加辅助线，将问题转化为平面图形中的线段问题，利用平面几何中的勾股定理、正余弦定理、相似三角形的性质、平行四边形的性质、圆的定义等来求得各条线段的长，进而求得球的半径.

一般地，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长度分别为a、b、c ，就可以将这个三棱锥补成棱长分别为a、b、c 的长方体；若四个面均为直角三角形，则可以将其补为长方體；若棱锥的一条侧棱垂直于底面，则可以将其补为直棱柱.

虽然求几何体外接球的半径较为复杂，但是只要仔细研究几何体的结构特征，添加合适的辅助线，进行合理的割补，即可使复杂的问题简单化，快速求得问题的答案.

（作者单位：江苏省沭阳如东中学）