并联波纹管式气动柔性机械臂的动力学分析

徐俊妍, 高广洋, 王海涛

(大连海事大学 船舶与海洋工程学院, 辽宁 大连 116026)

引言

柔性机械臂由于自身结构的连续型,相较于传统刚性机械臂能够满足更加广泛的工作需求,可以应用于救援、医疗、农业生产等多方面领域。柔性机械臂灵感主要来源于象鼻、章鱼触手、哺乳动物脊柱等生物器官,目前国内外已有许多不同驱动机构的柔性机械臂研究[1]。早在20世纪60年代就已经出现了以肌腱连接万向节和金属板为驱动形式的柔性臂研究, 通过对肌腱的驱动控制产生一系列连续性运动[2]。GREER J D等[3]从袋式马达上获得灵感,研制了一种sPAMs作驱动元件的驱动器,将执行器元件等效成由压力控制刚度的弹簧,结合力和材料收缩的关系,建立连续体机器人的运动学模型,实现了平均位置精度为5.5 cm的执行器末端位置预测及控制。圣安娜生物机器人研究中心RENDA F等[4-6]基于几何方法建立了以绳索为驱动的柔性连续机械臂的动力学模型,模仿章鱼弯曲伸展等动作,并在此基础上将流体驱动与肌腱驱动两种驱动方式结合,设计了一种逐层增强的轻量化三模块软体机械手结构系统。RAMSES等[7]基于空间分布制作了一种以弹性微气动网络为结构的软体执行器,通过在软体驱动器中嵌入功能性组件实现其实际应用价值。GALLOWAY等[8]研制了一种纤维增强软弯曲执行器,以套筒充当应变限制层,通过修改套筒间距来快速改变软体执行器的弯曲半径,从而实现弯曲动作。刘思远等[9]提出了一种基于PNS的变刚度软体仿生象鼻机构,实现多自由度关节变形。

由于硅橡胶波纹管具有较强的变形能力和延展性,本研究提出一种以波纹管为驱动主体的三腔并联式气动柔性机械手臂,通过控制驱动气腔的压力实现柔性臂的动作。分析气动柔性机械臂的运动过程,在传统机器人D-H运动学的基础上[10],利用空间几何关系建立柔性机械臂的等效运动学模型。考虑到柔性臂具有非线性的特点,利用拉格朗日法分析并联柔性机械臂动作过程的能量,建立柔性臂的动力学模型。搭建气动柔性机械臂实验平台,测试柔性臂的动作特性并验证模型的准确性和有效性,为气动柔性臂在实际环境中的应用提供基础。

1 并联波纹管式气动柔性臂结构

气动柔性臂由三根以波纹管为主体的执行器气腔单元并联而成,其结构如图1所示。硅橡胶材料具有较高的延展性,通过向波纹管气腔通入压力气体,驱动执行器单元伸长。执行器单元结构如图2所示,其两端端盖过盈嵌套在波纹管两端外壁,一端密封,另一端与气源连通,充入压力气体时,气体压力使得波纹管更加贴紧端盖内壁,增强执行器腔内的气密性。气腔内部通过端盖固定装配拉伸弹簧,以提高执行器单元气腔所能承受的最大气体压力及柔性臂的刚度和承载能力。

1.密封端端盖 2.橡胶波纹管 3.拉伸弹簧4.通气端端盖 5.气动快换接头

为保证橡胶波纹管在充气时不产生径向膨胀,只有轴向伸长,在波纹管波谷处设置结构保持架,同时也可以使柔性臂在伸长过程中执行器单元轴线保持相对平行,结构保持架如图3所示。

图3 柔性臂保持架

当并联的执行器气腔内部压力相同时,柔性臂产生直线伸长的动作,当三个气腔内部压力不同时,柔性臂产生差动弯曲。执行器单元内部通过两端端盖装配有拉伸弹簧,帮助执行器单元在放气时缩短恢复原长,同时提高气动柔性臂的刚度及承载能力。

2 气动柔性臂运动学分析

因为柔性臂结构的连续性,等效刚性机械臂模型不能准确描述柔性臂的弯曲状态,因此在机器人运动学基础上利用空间几何关系对柔性臂进行运动学分析。

2.1 正向运动学

柔性臂的正向运动学是通过已知执行器单元长度求解末端位姿的问题。几何法分析柔性臂的运动学性能需要先建立其等效简化模型。柔性臂在动作时只有执行器的波纹处产生弯曲,将波纹段在弯曲时的形状看做恒定曲率的圆弧进行运动学计算。这里将柔性机械臂的运动学划分成两部分映射,分别是柔性臂的末端位置坐标(x,y,z)与等效圆弧参数(φ,θ,R)之间的映射,以及等效圆弧参数(φ,θ,R)与执行器单元长度(L1,L2,L3)之间的映射,以此建立运动学模型。将曲率中心视为一条直线建立恒定曲率弯曲模型,即柔性臂上所有截面都交于一条直线,即如图4所示的等效弯曲模型曲率中心线。在任意垂直于柔性臂中心轴线的截面上,三根并联执行器单元中心轴线之间的连线均为正三角形。

图4 气动柔性臂等效弯曲模型

以柔性臂波纹管的波纹起始平面(即第一个结构保持架上端面)中心为原点建立基础坐标系,将波纹起始平面定义为坐标系的X-O-Y面,由坐标原点指向1号执行器的方向为Y轴正方向,由坐标原点指向柔性臂末端的方向为Z轴正方向,执行器单元在X-O-Y面上投影如图5所示,以O为原点建立如图4所示柔性臂系统的基坐标系。并基于柔性臂系统坐标系定义等效弯曲模型的圆弧参数:工作弯曲时柔性臂中心轴线在X-O-Y面上的投影与X轴正方向的夹角为柔性臂的偏转角φ,柔性臂末端平面与X-O-Y面的夹角为弯曲角θ,柔性臂中心轴线到等效圆弧曲率中心的距离为曲率半径R。

图5 执行器单元在X-O-Y面上分布

根据等效圆弧的几何关系得到柔性机械臂偏转后各执行器单元的曲率半径:

(1)

其中,r为执行器单元在柔性臂上的分布半径。

且执行器单元的长度Li存在:

Li=θRi

(2)

气动柔性机械臂长度:

L=θR

(3)

且:

(4)

故得到等效弯曲圆弧参数:

(5)

(6)

其中:

(7)

柔性臂端盖段不可弯曲,若端盖的高度为h,该段末端坐标也可用齐次变换表示为:

(8)

故可以得到柔性臂完整的齐次变换:

T=TLTh

(9)

分析由等效模型所获得的正向运动学关系,在不考虑末端手爪及负载的影响的情况下,末端中心位置坐标为:

(10)

基于蒙特卡洛法对气动柔性臂进行工作空间的仿真,设定取值范围,在MATLAB中生成随机值后代入柔性臂正运动学关系中,得到由随机点构成的空间云图即为柔性臂的仿真工作空间,考虑实验平台的实际工作空间尺寸对于柔性臂动作的限制,其弯曲角的最大取值为155°,得到如图6所示柔性臂末端中心位置的空心半椭球状的运动空间。

图6 柔性臂工作空间仿真

2.2 逆向运动学

柔性臂的逆向运动学是通过已知的末端位姿求解到达此位姿所对应的执行器单元长度的问题。由气动柔性臂的几何关系得到其从等效圆弧参数到执行器单元长度(即弧长)之间的映射关系:

Li=θ(R-rcosφi)

(11)

将过柔性臂中心轴线且垂直于X-O-Y面的平面定义为弯曲平面,柔性臂在通入压力气体产生弯曲变形的动作时,柔性臂的弯曲平面上存在几何关系:

(12)

经整理,可以得到气动柔性机械臂逆向运动学中等效弯曲圆弧参数关于末端中心位置坐标的映射关系:

(13)

3 气动柔性臂动力学分析

对于机器人的动力学分析,拉格朗日法被定义为系统的动能与势能的差,是基于能量的一种动力学计算方法[11]。故通过对气动柔性机械臂的动能和势能分别进行分析,选取气动柔性臂系统的广义坐标q=[L1,L2,L3]T,建立动力学模型[12]。

3.1 气动柔性臂的势能

在气动柔性机械臂的动作过程中重力、拉伸弹簧和硅橡胶波纹管都会引起系统的势能变化,因此分别对三者的势能进行分析。柔性臂的质心始终位于其中心轴线的中点位置,重力势能由其质心位置表示UG=GzG,运动学关系计算所得到的位置和姿态对于气动柔性臂的质心同样适用,在广义坐标系中柔性臂的质心G可以表示为PG(xG,yG,zG),其中:

(14)

气动柔性臂的质量在动作过程中始终为常量,故:

(15)

其中,M为柔性臂的整体质量。

软体模块波纹管的主要材料硅橡胶是具有较大形变状态的超弹性材料,假设橡胶波纹管的变形过程绝热,其弹性变形可以用应变能密度ω=ω(I1,I2,I3)表示,I1,I2,I3为超弹性体变形的第一、第二、第三应变张量不变量[13,14]。

(16)

其中,λ1,λ2,λ3分别为弹性体各个方向的主伸长比。超弹性材料的应力应变关系通过应变能密度函数表达,硅橡胶波纹管的变形具有非线性的特点,且各向同性,在材料内沿各方向的力学性质都是相同的,相对于自身的长度,波纹管在充气工作时具有一定范围的延伸变形,所以选用二阶的Yeoh模型来描述橡胶波纹管的超弹性特性。

(17)

其中,C1、C2为硅橡胶材料的材料参数,根据橡胶波纹管的轴向力与位移之间的关系参考近似经验值,取C1=0.11,C2=0.02。材料的应变能密度是单位体积材料的应变能,因此应变能密度函数对体积进行积分可以得到每根弹性橡胶波纹管变形时对应的弹性势能:

(18)

波纹管由硅橡胶材料通过硫化机压塑而成,不可压缩,材料沿轴线方向均质分布,可将波纹管变形部分的体积VB视为常数。因此,弹性橡胶波纹管部分因变形产生的总弹性势能可表示为:

(19)

除弹性橡胶波纹管会产生弹性势能外,执行器单元内部的拉伸弹簧在柔性臂充气伸长时也会产生弹性势能。拉伸弹簧选用均质的圆柱螺旋金属弹簧,拉伸变形过程符合线性特性,则每根执行器单元内的弹簧拉伸后的弹性势能可表示为:

(20)

其中,L0为柔性臂未充气时的原长,Δx0为未充气状态下弹簧的伸长量。

柔性气动机械臂弹簧拉伸时的整体弹性势能为弹簧弹性势能的总和:

(21)

整个气动柔性臂的总势能为重力势能与弹性势能的总和:

U(Li)=UG+UB+UK

(22)

3.2 气动柔性臂的动能

气动柔性机械臂的动能包括平动动能和转动动能。由于速度和动能都具有相对性,柔性臂充气时沿轴线方向的均匀伸长仅针对其每一点的上一瞬时位置。柔性臂每一部分的动作都会对其后面靠近末端部分的动作产生影响,因此对其进行微元化处理,将其进行多段划分。把柔性臂划分为n段垂直于中心轴线的薄片,当n趋近无穷大时,划分后的每一段都可看做厚度无限薄的薄片,则第j段的等效圆弧对应的弧长和弯曲角存在:

(23)

(24)

由于n趋于无穷大,每一段对应的弧长和偏转角无限趋近于零。而在同一瞬时时刻,中心轴线上各点的曲率半径和偏转角处处相等:

Rj=R

(25)

φj=φ

(26)

假设每一段薄片质量集中于其靠近柔性臂末端的截面中心处,第j段的末端中心位置(xj,yj,zj)在基础坐标系中可由齐次矩阵的结果表示:

(27)

(28)

第j段平动部分的动能:

(29)

气动柔性臂的整体的平动部分动能为n段薄片平动部分动能叠加后的总和,在n趋于无穷时:

(30)

(31)

在讨论每一小段薄片的转动时,柔性臂的转动角度在每一段均匀增加,第j段薄片转动部分的动能:

(32)

第j段薄片的转动惯量:

(33)

第j段转动部分的动能:

(34)

显然微元划分后的各段转动动能均相等,则柔性臂整体的转动动能:

(35)

柔性机械臂的总动能为其平动和转动共同作用的结果:

T=Ttrans+Trot

(36)

综上分析得到气动柔性手臂的总动能T和总势能U,将其带入拉格朗日方程中:

(37)

图7 执行器单元波纹管气腔

则波纹管的理论有效截面面积:

(38)

可将方程整理成动力学的普遍方程形式:

G(q(t))=τ(P)

(39)

其中等式左边三项分别为惯性力项、离心力和科氏力项、重力项,等式右边为气动柔性臂动作所需要的外力。

4 气动柔性臂运动学及动力学实验验证

4.1 实验测试平台

搭建气动柔性机械臂实验测试平台,利用电气比例阀和精密减压阀控制柔性臂气腔内部的输入压力,柔性臂的气动回路如图8所示。以工控机控制数据采集卡输出和采集电压信号,并基于LabVIEW编制数据采集及控制程序,对气动柔性机械臂进行运动学及动力学验证实验。

1.气源 2.气动三联件 3.精密减压阀 4.电气比例阀5.节流阀 6.数显压力计 7.气动柔性臂执行器单元气腔

在气动柔性臂的末端连接板的卡槽上装载六自由度高精度姿态传感器,通过USB-TTL模块建立与工控机的连接,用于测试在通气过程中气动柔性机械臂的弯曲角。利用拉线位移传感器测量气动柔性臂各执行器单元的长度,但由于执行器单元气腔在通气工作时需处于密闭的状态,直接测量其中心轴线的伸长量较为困难,故将拉线位移传感器紧贴波纹管外壁安装,将拉线位移传感器末端固定在柔性臂端盖连接板上,并在保持架上设有拉线位移传感器孔道,以保证工作时拉线位移传感器可随柔性臂一同伸长收缩,且能够与对应的执行器单元保持平行状态。

4.2 气动柔性臂运动学验证

为了验证气动柔性机械臂等效运动学模型的正确性和有效性,需要对气动柔性臂进行通气实验。向2号执行器单元中以5 kPa为步长通入压缩气体,测量并计算十组压力工况下执行器单元长度对应的弯曲角及末端中心位置坐标。将柔性臂末端中心在X-O-Y面上的投影与其基坐标系原点连线,测得该连线与X轴夹角即为实验需要的偏转角。根据式(5)所得映射关系进行理论值计算,充气过程中弯曲角与气动柔性臂伸长量关系的理论计算和实验测试结果如图9所示。在分析过程中,以拉线位移传感器的分布半径替代执行器单元的分布半径,以消除拉线位移传感器与执行器单元中心轴线的偏心分布距离对结果的影响。

图9 气动柔性臂弯曲角度变化

在充气伸长状态下,弯曲角与柔性臂伸长量之间呈近似线性的关系,弯曲角的理论计算值与实验测试结果在伸长过程中增加趋势相同,在0°～60°之间几乎完全重合,随着柔性臂弯曲角度增大,自重对于其动作影响趋于显著,实验测量的弯曲角与理论结果的偏差增大,因此等效运动学模型关于执行器单元长度与弯曲圆弧参数之间的映射符合实际动作情况。

分析对比气动柔性臂末端中心位置在坐标系中由式(10)所得理论计算轨迹与实际测量轨迹,其分析对比结果如图10所示。

图10 气动柔性臂末端中心位置

计算柔性臂末端中心位置轨迹坐标的均方根误差末端中心位置的理论运动轨迹与实验测量的实际运动轨迹近似,运动轨迹及趋势有较高的重合度,气动柔性机械臂运动学的实验测试结果符合理论模型预期,因此等效运动学模型关于弯曲圆弧参数与末端中心位置坐标之间的映射关系符合实际运动规律。

e(x,y,z)=7.0905

(40)

4.3 气动柔性臂动力学验证

向执行器气腔内变速通入0～70 kPa的压力气体,验证气动柔性机械臂动力学关系。分别向单根、两根、三根执行器单元气腔通气,气动柔性臂的最大伸长量分别为67, 127, 182 mm,气动柔性臂的通气动作状态如图11所示。执行器单元之间存在较大耦合,执行器通气数量不同,对柔性臂整体伸长量有较大影响。由于波纹管气腔内部装配弹簧为拉伸弹簧,实际伸长时会产生一定扭转作用,且伸长量越大扭转作用越明显,当三根执行器单元通入相同压力气体时,柔性臂会出现微小的弯曲现象,弯曲程度随柔性臂伸长量增大而增大。

图11 气动柔性臂弯曲试验

根据式(37)动力学结果所得柔性臂长度与其输入气压之间关系,进一步分析气动柔性臂在三种工作模式下的动力学特性。根据实验测得的执行器长度值计算每一采样时刻所对应的速度及加速度,将各执行器单元长度、速度、加速度代入柔性臂动力学关系中,分析对比对应柔性臂伸长量所需的理论压力与实际输入气压,得到如图12所示柔性臂伸长量与输入气压的关系,气动柔性臂所需输入压力随柔性臂伸长量的变化与实际输入气压具有相同的趋势, 动力学理论模型与气动柔性机械臂的实际动作规律相符。

图12 气动柔性臂伸长量与输入气压关系

5 结论

本研究介绍了一种气体驱动的并联波纹管式柔性机械手臂,根据空间运动特点,建立了气动柔性机械臂的正、逆向运动学模型,得到柔性臂末端位置与等效圆弧参数及各执行器气腔长度三者之间的关系,结合实际情况分析其末端位置的工作空间。根据其动作时的能量变化特点,利用拉格朗日法,建立气动柔性臂的动力学模型。基于实验测试平台,验证了运动学模型的准确性及动力学特性的有效性。该气动柔性机械臂有较强的柔顺性和灵活性,工作性能安全可靠,具有一定的承载能力,可在物体的抓取移动等领域具有潜在的应用价值。目前气动柔性机械臂的动力学模型仅解决逆向动力学问题,即通过执行器单元长度求解所需输入气压,未来将就其正向问题的求解进行进一步的研究。