大学物理中“静电场的高斯定理”教学探讨

李莉 张论 王桂英 曹吉花

摘 要：电磁学是大学物理的重要组成部分，正确理解和运用高斯定理是学习电磁学的关键。在高斯定理的学习中，需要掌握高斯定理的内容及数学表达公式，高斯定理的数学证明以及应用，如何选择和确定合适的高斯面运用到高斯定理中是至关重要的环节。本文通过举例说明应用高斯定理求解某些特殊分布电荷的电场强度的思路和方法。

关键词：高斯定理；高斯面；电通量；对称

中图分类号：Ｏ441；G642  文献标识码：A  文章编号：1673-260X（2023）07-0091-05

静电场的高斯定理是大学物理教学中的重点和难点内容，是电磁场中的一个非常重要的基本定理，它反映了在静电场中穿过任一封闭曲面的电通量与包围该曲面的电荷之间的定量关系。很多理工科大学生在学习该内容时有很多困难和错误认识，对于如何运用高斯求解电场强度更是无从下手。因此，本文首先给出高斯定理的内容和数学证明，其次对三种常见的带电体对称性特点进行总结，最后通过应用举例说明选取合适的高斯面求解电场强度的方法。

1 高斯定理的表达式

根据给定电荷的分布，运用库仑定律，可以求空间电场强度的分布，但只适用于静止电荷产生的电场。而高斯定理是电场普遍遵循的基本定律，当空间电场强度已知时，由高斯定理求任何区域内的电荷；当电荷分布具有对称分布时，也可以由高斯定理计算电场。因此，静电场的高斯定理是求解静电场的另外一种有效的方法。

要注意电通量只与包围在曲面里的电荷代数和有关，与曲面外的电荷是无关的，这并不意味着曲面外的电荷对该曲面不产生电通量，而是它在曲面的某些地方电通量为正时，一定会在曲面的其它地方电通量为负，因为电通量是代数量，这个正负电通量相互抵消而为零。但是要特别注意高斯面上任意一点的电场不仅是闭合曲面内的电荷所产生的，曲面外的电荷也会对它有影响，所以高斯面上电场是空间所有电荷产生的一个合电场强度，这个要区分开来并思考一下为什么会产生两种不同的结论。

1.2.3 电荷连续分布体系电场的高斯定理

2 高斯定理解决对称性电场的问题

运用高斯定理具体求解电场强度的思路和方法，基本如下：

第一，满足具有对称性电荷分布，比如点电荷、带电球面、带电球体，它们是球对称性分布；轴对称性的有无限长的带电细棒、带电圆柱面和带电圆柱体。

第二，根据电荷对称性分布得到电场分布的对称性，比如球对称性，电场强度沿半径方向；轴对称性，电场强度垂直于轴线。

第三，高斯面的选取，通常选球面或圆柱面，要求面上各点的场强相等，或者部分电场已知或者为零[5]。

基于以上几点可以用高斯定理来求电场强度。

例1 计算均匀带电球体电场分布。已知球体半径为R，所带总的电荷量为q（q>>0）。

解 （1）电荷和场强分布具有对称性，方向沿径向。作一个与带电球体同心，半径为r（r

例2 一个球形均匀带电体，电荷体密度为？籽，内部有一个偏心球星空腔（如图7所示），证明空腔内部为均匀电场。

解 空腔的电场，带正电大球体，它电荷密度为？籽，可以把它两个球叠在一起产生效果，即一个为带电密度为？籽的球，然后在把它加上一个带负电荷密度为？籽的球共同叠加产生的情况（如图8所示），用这两个球来计算球内电场强度的大小。

空腔中任意一点P的电场强度，等于两个球在该点产生的电场强度的矢量叠加。

例3 有一无限大均匀带电平板，单位面积上所带电量为？滓（电荷面密度），求距平板r处的某点的电场强度[6]。

解 （1）对称性分析：空间各点的场强只能垂直于平板，与平板等距离的各点场强E相等，对称点的E大小相等，方向相反。

（2）选高斯面

作一个垂直于带电平面的圆柱面（如图9所示），且两底面关于该带电平面对称。穿过闭合曲面的电通量可以计算的。

（3）计算通过S的电通量

可见，两无限大均匀带等量异号电荷的平行板（平行板电容器近似此类情况），其电场都集中在板间，且板间的电场是均匀电场，而板外的电场为零。

3 结论

高斯定理是电场的普遍基本定律，它揭示出静电场是一个非常重要的特征，静电场起自正电荷、终于无穷远或负电荷，正电荷是电场的源头、负电荷是尾閭，因此静電场是有源场。对于库仑定律已知电荷的分布，可以求出空间电场强度的分布，它适用于静止电荷产生的电场。而高斯定理是已知空间电场强度求任何区域内的电荷；或者说电荷分布具有高度的对称性，可以运用高斯定理来求电场强度，可以把电场强度和电荷联系在一起。

一般情况下用高斯定理直接计算电场强度是比较困难的，但是当某一个带电体电荷分布具有对称性，我们就可以根据对称性场强分布选取合适的闭合曲面即高斯面，利用高斯定理来计算电场强度。我们用高斯定理来解决对称性分布电荷的电场时需要注意：（1）求哪一点的电场强度，就把高斯面建在哪里；（2）指的是高斯面内包围的电荷量；（3）高斯面的建立尽量与电场线垂直；（4）位于闭合曲面外的电荷对闭合曲面内的电通量没有贡献[7]。

参考文献：

〔1〕彭婷，吴维宁，蔡亚璇.电磁学高斯定理学习状况的研究[J].教育教学论坛，2020，6（26）：334-335.

〔2〕梁灿彬，秦光戎，梁竹健.电磁学[M].北京：高等教育出版，2012.14-25.

〔3〕江军.关于大学物理“高斯定理内容”教学的探讨[J].教育教学论坛，2016，19（26）：189-190.

〔4〕李儒颂，徐芹，叶文江.有关引力场高斯定理的探讨[J].物理通报，2015，32（12）：103-105.

〔5〕刘斌.关于高斯定理和环路定理的一些探讨[J].课程教育研究，2017，7（43）：157-158.

〔6〕高景霞，张洋洋，张金平，李慧，孙彩霞.关于大学物理中“静电场的高斯定理”教学设计[J].科技视界，2018，8（15）：46-48.

〔7〕路俊哲，武盼盼，柏云凤，热孜宛古丽，闵梦婷.浅谈高斯定理中高斯面的确定方法[J].喀什大学学报，2016，21（06）：23-25.