Mindlin 解在复合地层盾构隧道施工地表沉降计算中的应用

陈俊生 徐承凯 高 强

（1.华南理工大学土木与交通学院亚热带建筑科学国家重点实验室，广东广州 510640；2.华南岩土工程研究院，广东广州 510640）

0 引言

目前盾构法已经成为城市地铁隧道的重要施工方法，同时，盾构法施工引起的地表沉降以及对周边环境的影响也成为重要课题。当前针对盾构施工地表沉降问题而提出的理论大致可以分为两类：一类是将土体看作分散运动体，采用随机介质理论对岩土体的运动加以研究[1-2]；另一类是将土体看作半无限弹性体进行求解，如C.Sagaseta 法[3]、Mindlin 解[4]等。本文主要延续运用Mindlin 解推导地表沉降曲线的思路，该思路首先由魏 纲等[5]提出，利用弹性力学Mindlin 解推导出盾构机正面推力和盾壳周边摩擦力引起的纵向地面变形公式。Shi 等[6]基于经典的Mindlin 弹性理论，建立了土体与土压平衡盾构相互作用的模型，采用积分方法求解了土体在盾构机壳体作用下引起的地表沉降。金波等[7]利用积分变换和边界积分方法求解任意层数弹性体平面应变和轴对称问题的Mindlin 解，并利用Somigliana 关系式计算弹性体内部任意点位移。杨敏等[8]建立了广义的Mindlin 课题解，利用轴对称弹性层状理论和矩阵递推的方法得到多层弹性地基内部任意点的应力和位移表达式。魏纲等[9]根据弹性力学Mindlin 解，计算土体损失、正面附加推力和盾构摩擦力等多因素引起的土体变形理论解，同时基于统一土体移动模型解计算土体损失引起的土体变形理论解。邱明兵等[10]基于Mindlin 应力解，利用积分和回代的方法求解了均布荷载作用下土体内部任意一点的竖向应力系数初等解。

从上软下硬复合地层盾构施工引起地层沉降的典型背景工程问题出发，通过分析盾构施工过程中盾构与土体之间复杂的相互作用，总结出影响复合地层施工沉降的主要因素；基于Mindlin 解分析复合地层沉降问题时，将复合地层等效为均匀地层，建立双坐标体系得到掌子面和盾壳上各自作用力的地层沉降值；基于扩展Mindlin 解分析问题时，引入层面状态向量，有效地解决了复合地层地表沉降计算问题。最后对盾构与土体相互作用所引起的土体变形特征进行分析，并结合背景工程的沉降数据，进一步验证了两种计算方法的合理性。

1 复合地层盾构施工力学问题

1.1 复合地层施工沉降因素分析

对于土层中进行盾构施工引起地表沉降的力学问题，学者们提出了多个模型，包括基于经验的Peck模型、基于随机介质理论的地层损失模型等。盾构推进时与周边土体发生复杂的力学作用，根据引起地面发生变形的作用方式的不同，可以分为如下主要因素：

（1）掌子面附加推力Δp；

（2）刀盘扭矩与周围土体之间的摩擦力fc；

（3）盾壳周边的摩擦力f；

（4）盾尾同步注浆压力ps；

（5）地层损失率ρ。

针对以上因素，唐晓武等[11]指出刀盘扭矩与周围土体之间的摩擦力fc对地表沉降的贡献微小，可忽略不计。梁荣柱等[12]指出注浆压力ps与地层损失率 ρ引起的前方土体位移微小，基本可以忽略其影响，而盾壳周边的摩擦力f与掌子面附加推力 Δp是盾构施工引起前方土体位移的主要因素。王智德等[13]指出在盾构通过后，地层损失率 ρ是影响地表沉降的重要因素。邓皇适等[14]指出计算模型的不同会极大地影响地层损失率 ρ产生的地表沉降值计算准确度。Shi 等[6]指出掌子面附加推力Δp和盾壳周边摩擦力f在地表沉降问题中引起弹性变形，地而层损失率 ρ引起塑形变形和不可逆变形。

1.2 复合地层施工受力分析及基本假定

为了更好地验证扩展Mindlin 解在复合地层中的适用性，综合考虑1.1 所述因素，选取了盾壳通过期间的阶段沉降数据。由于土体损失主要是由于盾尾通过后产生的建筑空隙引起的，考虑到盾构通过期间开挖卸载产生的土体损失较小[5,15]，随着盾构施工的进行，已施工部分对周围土体的作用力会随着注浆的进行而逐渐消散，盾构施工对周围土体的作用力主要通过盾壳传递到周围土体，从而确定盾壳周边的摩擦力f和掌子面附加推力 Δp为影响地表沉降的关键因素。此外，为了反映盾构顶进时的普遍规律，特做如下假定：

（1）土体不排水固结且为均质的线弹性半无限体；

（2）盾壳周边的摩擦力均匀分布；

（3）盾构的推进仅为空间位置上的变形，不考虑时间效应。

Shi 等[6]推导出盾壳周边摩擦力由上覆压力乘以摩擦系数得到，即：

式中：p0为 盾壳中部处的静止土压力；p1为盾壳底部的静止土压力；p2为 盾壳顶部的静止土压力；μ为土体与盾壳之间的摩擦系数，可以按照文献[6]进行选取。

掌子面上的分布力是由于盾壳的顶推而产生的，假定背景工程中的土体已经自然沉降完成，土体自身的土压力不再引起地层变形，因此对于分布在掌子面上的作用力：

式中：p为正面顶推力；p0为 掌子面上的土压力，按p0=k0γH计算，k0为土体静止土压力系数，k0=1-sinφ。

盾壳周边摩擦力f和掌子面上的分布力Δp两者组合后的力学模型如图1 所示。

图1 盾构施工力学模型

2 均匀地层的Mindlin 解

2.1 Mindlin 基本解

式中：x、y、z为土体内任意一点坐标；E为变形模量；μ为泊松比；c为集中力P到地表的距离。

为解决Mindlin 解要求荷载作用点位于z 轴,c)的弊端，建立双坐标系以便于计算，坐标系(x,y,z)为 全局坐标系，坐标系 (ξ,ζ,η)为局部坐标系，局部坐标ξ、ζ 距全局坐标系原点的距离分别为 ξ0、ζ0，则有

2.2 附加推力沉降计算

积分计算示意图如图3 所示，取掌子面内微元面积rdrdθ，通过积分得到掌子面区域内均布荷载引起的地表竖向位移计算公式

图3 附加推力积分示意图

式中：D为隧道直径；Δp为掌子面附加推力；H为隧道轴线埋深；R1、R2分别为

2.3 盾壳周边摩擦沉降计算

利用Mindlin 解[4]，由盾壳周边摩擦引起的地表变形可以通过取盾构侧面微元面积Rdθdl进行积分来求解

式中：f为盾壳与周边岩土体之间单位面积摩擦力；L为盾壳长度；l为积分微面到盾壳切口处的距离；R为盾壳半径值；R1、R2分别为

从Mindlin 解的应用过程中可以看到：对于图1所示的力学模型，Mindlin 解能够通过积分方法反映盾构机对周围土体的作用情况，适用于不同埋深的隧道情况，使用简单。但应该注意到Mindlin 解的应用前提是均匀的半无限土体，在面对复合地层时，从弹性力学基本方程出发推导地层沉降表达式，是工作量巨大且不具备泛用性的，复合地层相对复杂的边界条件，也使得无法从伽辽金矢量组合的法进行求解。

3 复合地层的扩展Mindlin 解

实际工程中遇到的地层大多都是层状地层，采用Mindlin 解往往存在较大的误差。艾智勇等[16]将复合地层中作用集中力时产生的应力场与位移场的弹性力学问题称作扩展Mindlin 解，并根据弹性层状理论和矩阵递推方法得到了可用的扩展Mindlin 解。

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3.1 传递矩阵的推导

艾智勇等[16]推导出非轴对称荷载作用下单层地基的初始函数解答见式（7）、式（8）；引入中间参数uv、uh、τvz、τhz见式（9）和位移与应力的级数形式，并结合Hankel 变换[17]进行简化见式（10）、式（11），可由弹性力学基本方程得到弹性半无限体位移与应力的递推形式和递推矩阵见式（12）、式（13）。

式中：[Ψ]、[T]为传递矩阵。

3.2 复合地层内部位移解析解

假设在计算时将土层用n个层面进行划分，对每一个层面的接触条件进行Hankel 变换，并假设水平作用力Q作用于第m个层面，则得到层面接触条件：

根据层面间的递推方程式，可以得到多层递推式：

式(15)、式(16)的结果还需要经过Hankel 逆变换得到最终结果：

上述扩展Mindlin 解的求解过程可以有效适用复合地层内部作用集中力的情况，但应当注意到，为层面状态向量，使得扩展Mindlin 最终得到的是若干层面上的位移与应力状态，而非一个连续的结果。在面对存在沿深度方向的连续力时，扩展Mindlin 解会难以反映力全貌。对此，将图1 所示的力学模型进行简化，化分布力为层面上的集中力，对于某夹层土上的分布力情况，按照式（1）得到如图4 所示的层面集中力情况，并应用扩展Mindlin 解，见式（18）。

图4 某夹层受力情况

假设将土层分为n层，其中存在分布力的区域分为m层，应用扩展Mindlin 解后的结果为

从式（19）、式（20）可以看到，如果将土层划分得更细致，得到的结果也会更精确，但运算量会呈指数增加，求解难度变得极大。

4 工程实例

珠海市区到珠海机场城际轨道交通工程中，拱北至横琴区段地铁盾构隧道围岩为典型的复合地层，选取该区段进行相关研究。沿线隧道穿越的地层为粉质黏土（上部）和中等风化花岗岩（下部），下部岩层的单轴抗压强度能达到上部土层无侧限抗压强度的10 倍，下部岩层的变形模量可达上部土层的20 倍，上下地层的相关参数见表1。在复合地层区段内，对地铁隧道右行线设置了6 个截面（A1-A6）进行地表沉降的监测，每个监测截面均垂直隧道轴线设置多个沉降监测点，监测点布置如图5所示。

表1 背景工程相关土层参数

图5 科研段内监测点布置情况

科研段内土层起伏较为明显，A1-A6 断面具有不同的软硬地层比例，A1-A6 软土层厚度占比见表2。

表2 科研段内不同监测断面盾构软土层厚度占比

以A2-A2、A3-A3、A4-A4 断面地表沉降数据分析两种方法得到结果的合理性，不同计算方法与实测监测数据得到的地表沉降情况如图6-图8 所示，A2-A4 断面地表三维沉降如图9 所示，图中的沉降数据为刀盘面推进到YDK10+706 时的监测数据，此时盾壳的几何中心正好经过A4-A4 断面，此时盾构机正处于通过阶段。

图7 A3-A3 断面沉降情况

图8 A4-A4 断面沉降情况

图9 A2—A4 断面地表三维沉降图

距离隧道轴线的水平距离/m

从图6-图9 中可以看到，Mindlin 解由于采用将复合地层简化为均质地层来求解，计算附加推力和盾壳周边摩擦力所选取的参数基本一致，得到的结果在不同软硬土层厚度比的复合地层缺乏特应性，但Mindlin 解得到的结果与不同断面得到的实测结果相比，沉降值偏大。扩展Mindlin 解得到的结果与监测值拟合较好。

5 结论

(1)从Mindlin 解出发，将复合地层简化为较弱层的均匀地层，通过积分方法得到一个精确的地层沉降计算结果，具有计算快速、应用简单等特点，而计算所得的地层沉降偏大，可以作为工程设计参考。

(2)扩展Mindlin 解采用矩阵递推解决了位移与应力在不同层面之间的传递问题，只需要在集中力作用平面及土层交界面设置状态向量，并建立递推关系，再结合边界条件即可得到特定层面的位移与应力情况。但是由于扩展Mindlin 解实现的只是层面间的应力位移传递，不是一个精确的连续解，因此其对于沿深度方向分布连续作用力的情况并不适用。

(3)背景工程监测数据证明了扩展Mindlin 解引入层面状态向量和的计算方法具备一定的可行性，但缺点是反演的工作量会随着层面划分数量而呈指数增加。