基于互联和阻尼分配理论的锂电池均衡控制方法

甘 立，龙 雨

（1.广西大学机械工程学院激光智能制造与精密加工研究所，广西 南宁 530004；2.省部共建特色金属材料与组合结构全寿命安全国家重点实验室，广西 南宁 530004）

0 引言

受限于单个电芯电压低和容量低的固有特性，数百或数千个电芯必须串联或并联以形成满足实际应用需求的高电压和高容量[1]电池包。然而，电池包中各电芯的一致性本身因制造的差异就不相同，另外，其一致性也将随着电池包充放电次数的增加而变得更差。不一致性会降低电池包实际可供应的能量，缩短电池包的寿命，并进一步发生电池包鼓包、起火甚至爆炸事故。因此，对锂离子电池包中的各电芯进行全面、高效的均衡管理是有必要的。

现阶段电池均衡主要包括以耗能电阻为主的被动均衡和电力电子器件为主的主动均衡两种[2]。被动均衡是将耗能电阻并联在含有较多能量的电芯上，利用电阻消耗掉其并联电芯上多余的能量。这会造成能量损失以及产生大量热能进而造成安全事故。相比于被动均衡的高能量散失和不安全特性，主动均衡因尺寸合理和低耗能等特性被学术界和公司逐渐青睐。双向改进的Cuk 转换器作为一种均衡速度快、尺寸和成本合理的电力电子器件，已经逐渐成为主动均衡方式中的主流转换器势力，如今已经有多种传统和优化控制算法应用在转换器上以实现电池包中各电芯的SOC/电压均衡。例如，欧阳[3]采用基于估计的准滑模控制算法不仅可以精确地对电池包中每个电芯SOC进行估计，并且这种算法可以在放电和静置条件下，短时间内实现电芯的SOC 均衡；另外，欧阳在对电池包的模组和电芯领域设计分层控制算法不仅实现了各电芯最终SOC 均衡的目标，也显示出高精度和低算力的特点[4，5]；Zheng J 等[6]应用变论域模糊控制算法对使用Cuk 转换器作为均衡器件的电池包进行控制也可以实现电池包中各串联电芯的电压均衡。然而，迄今为止，还没有从能量角度设计过实现电池均衡的控制算法。

互联和阻尼分配无源控制（IDA-PBC）是一种从能量角度设计以实现控制目标的控制算法，最近IDA-PBC 算法在如智能电网[7，8]，固态变压器[9]和DC/DC 转换器[10，11]等不同领域有着大量研究，尤其在DC/DC 转换器领域，IDA-PBC 已被应用于控制多模块电池充电器[10]，稳定恒定功率负载[11]等方面。基于IDAPBC 算法从能量角度设计了电池均衡算法，对以双向能量传输为特点的改进Cuk 转换器这一DC/DC 转换器进行了动力学建模和控制算法设计，进而实现电池包中各电芯的SOC 均衡。

所做的主要贡献可以总结为：（1）由于转换器的动力学比其串联电芯的动力学快得多，故我们使用平均电感电流和平均电容电压作为系统的状态变量来实现电池包中各电芯的均衡。（2）与其他控制算法相比，IDA-PBC 的李雅普诺夫候选函数通常设计为期望的能量函数，这节省了设计李雅普诺夫函数的时间。（3）基于MATLAB/SIMULINK 和PLECS 搭建的IDA-PBC 算法控制器和均衡系统模型可以在静置模式和放电模式下两种模式下实现很短时间的电池包均衡控制，同时均衡过程中的转换器的Cuk 占空比振荡很小。

1 均衡系统的描述

图1 所示的是锂离子电池包的均衡控制框图，由图所示，电池包是由n个串联电芯和n-1 个改进的双向Cuk 转换器组成。对于第i个改进的双向Cuk 转换器，由两个电感Li-11和Li-12、一个储能电容Ci和两个功率MOSFET（带有体二极管作为各电芯间的均衡开关）组成。每个Cuk 转换器的两个MOSFET 是否导通取决于与其连接的两个相邻电芯的/电压状态，在特定状态下，只能导通一个MOSFET。例如，如果电芯Bi的SOC值高于电芯Bi+1的SOC值，则Qi+11导通并将能量从电芯Bi传递到电芯Bi+1。相反，如果电芯Bi+1的SOC值高于电芯Bi+1的SOC值，则Qi-12导通并将能量从电芯Bi-1转移到电芯Bi。

图1 锂离子电池包的均衡控制框图

1.1 电芯均衡状态时Cuk 转换器的动力学表达式

对于第i个电芯及其相邻的第i+1 个电芯，对应的状态1 为SOCBi≥SOCBi+1，参考电流流动方向如图2所示。

图2 相邻两电芯对应状态1（SOCBi≥SOCBi+1）

根据基尔霍夫定律，图2 中Cuk 转换器的三阶动力学表达式如下：

这里SOC值较高的电芯Bi处于放电状态，而SOC值较低的电芯Bi+1处于充电状态，Di1是第i（1 ≤i≤n）个Cuk 转换器中MOSFETQi1的占空比，Ri1和Ri2分别是电感Li1和Li2的等效内阻。

如果对应的状态2 为SOCBi+1≥SOCBi，则根据基尔霍夫定律有图3 中Cuk 转换器的三阶动力学表达式为：

图3 相邻两电芯对应状态2（SOCBi+1≥SOCBi）

这里SOC值较高的电芯Bi+1处于放电状态，而SOC值较低的电芯Bi处于充电状态，Di2是第i（1 ≤i≤n）个Cuk 转换器的MOSFETQi2的占空比。

1.2 锂离子电芯的简化等效模型

虽然锂电池的等效模型中含有较多的RC 极化电路可以提高模型精度，但是相应地也会增加计算的复杂度，为了减少计算量，特使用简化的，且精度较高的二阶等效电路模型对锂离子电芯进行动力学建模，简化的锂离子电芯模型如图4 所示，其中左侧子电路用于模拟电芯的荷电状态SOC动力学特性，具体的电芯SOCi的动力学响应如下：

图4 锂离子电芯的二阶简化电路模型

这里IBi表示第i个电芯的电流，当电芯处于充电/放电状态时，其值为负/正。Cbi表示电芯充满电时的电量，η0表示库仑效率，Rsdi是一个自放电电阻，可以相当于一个大电阻，也可以忽略不计[3]。在此忽略了电芯的自放电特性，则（3）中的表达式可以表示为：

电池包中第i个（1 ≤i≤n）电芯的电流IBi（k）应是其均衡电流和外部电流之和，即IBi（k）的表达式为：

这里Is（k）的表示外部电流，对于第i个电芯的均衡电流Ieqi（k），其主要来自与其连接的Cuk 均衡器中的电感电流，因此第i个电芯上的均衡电流表达式为：

2 均衡系统控制算法的设计

2.1 PCH 的基本理论

根据系统的动力学表达式可以直接将系统动力学表达式写成端口哈密顿（PCH）的形式。系统的PCH表达式[10，11]为：

式中x是系统的状态变量，互连矩阵J（x）是斜对称矩阵，耗散矩阵R（x）是正半定矩阵。即：另外是系统总能量函数又被称为哈密顿函数，g（x）被称为模型的端口特性矩阵，u是控制输入，η是干扰变量。

2.2 IDA-PBC 的基本理论

在DC/DC 转换器，IDA-PBC 的主要目的是通过修改所需的互连矩阵Jd（x）、需求阻尼矩阵Rd（x）和控制率u，再根据所需的均衡点xd，分配一个所需的能量函数Hd（x），以保证系统的稳定性。即IDA-PBC 的设计目标是获得一个闭环系统，然后让（7）式中的实际状态变量跟踪所需的状态变量。闭环系统的具体表达式为：

其中，需求的互连矩阵J（dx）和阻尼矩阵R（dx）有表达式为：J（dx）=J（x）+J（ax）= -JdT（x），R（dx）=R（x）+R（ax）=RdT（x）≥0，这里J（ax），R（ax）是额外注入的能量矩阵和耗散矩阵。

当系统稳定时，系统状态变量趋向于期望的状态变量，即x→xd。基于此，我们可以将（7）和（8）结合起来，得到如下的匹配方程。

2.3 均衡系统的IDA-PBC 算法设计

根据（7）式的端口哈密顿表达式将（1）（2）两种不同状态下Cuk 转换器的动力学表达式改写为端口哈密顿形式：

根据（10）式有该均衡系统的哈密顿能量函数表达式为

式中Q= diag{Li1，Li2，Ci}。

当系统处于平衡点时，Cuk 转换器中电容的平均电压和电感的平均电流应为常数[3]。对电芯状态1 和电芯状态2，期望的能量函数表达式为

为简化计算，设定阻尼矩阵Rd（x）与耗散矩阵R（x）形式类似，需求的互联矩阵Jd（x）与互联矩阵形式J（x）类似，即则根据匹配方程表达式（9），有均衡系统的匹配方程为：

（13）式可以扩展成如下表达式：

对于状态SOCBi ＞SOCBi+1和状态SOCBi+1≥SOCBi，处于最终稳定状态的Cuk 转换器的电容两端的平均电压应是与其相连的两个电芯的电压之和，并且处于稳定状态下的两个相邻电芯SOC 差值应该保持在非常小的范围内。在期望状态下，某一Cuk 转换器中两个电感电流应基本保持在相同的水平，所以我们假设目标均衡电流为。综上所述，期望状态下的状态变量表达式为：

通过联立（14）（15）两式，可以得到期望电感电流和输入值的表达式为：

式中，λi1和λi2不可能同时取值，输入值的分母λi1和λi2均在对应状态下取数值1，否则输入值为0。

2.4 收敛性证明

其中，P=QRdQT，根据式（17），很容易发现P是非负的，则我们可以得出V˙≤0 的结论，当且仅当x=xd时，V˙= 0。根据LaSalle 不变性原理x→xd，证明了闭环系统的稳定性。

3 仿真结果

为了验证所提出的ID-PBC 控制算法，将图1 所示的均衡系统进行简化，将含有n个串联电芯和n-1个双向更改的Cuk 转换器简化为只有三个双向更改的Cuk 转换器和四个串联电芯的均衡系统，并对该均衡系统进行SIMULINK/PLECS 仿真，三个双向更改的转换器和四个串联电芯的均衡系统进行了SIMULINK/PLECS 仿真，这里PLECS 主要用来构造均衡系统模型，另控制器模块在SIMULINK/PLECS 中搭建。为了简化仿真步骤，我们将所有电芯和Cuk 转换器的参数设为一致，四个电芯的参数分别为Q0= 3.1 Ah，Csi=12304 F，Rsi=0.0158 Ω，Cfi=1584 F，Rfi=0.015 Ω。对于每个Cuk 转换器，有参数Li1=Li2= 100 μH，Ci=470 μF，Ri1=Ri2= 0.05 Ω。对于PWM 周期和控制周期，我们分别选择Ts= 1/7000 s 和T= 1 s。

考虑到静置模式下的均衡和放电模式下的均衡两种均衡模式。对于静置模式下的均衡，外部电流的表达式为Is（k）= 0，对于放电模式，我们不选择恒定的放电负载，而是选择随时间变化的曲线作为放电负载。放电模式的外部电流曲线如图5 所示。

图5 放电模式下的外部电流曲线

在实际情况中，对于每个电芯的开路电压和极化电阻，极化电容以及欧姆内阻均与有着一定的非线性关系式，其中开路电压OCV 和荷电状态SOC的表达式为，VOCi=f（SOCi）这里f（·）是一阶可微函数。MATLAB 的曲线拟合工具箱（cftool）用于拟合荷电状态SOC数据点和开路电压OCV 数据点，选取的电池包中每个电芯的开路电压OCV 和荷电状态SOC之间的关系图如图6 所示。根据图6 我们使用如下的非线性关系来表示开路电压与荷电状态之间的关系：

图6 开路电压与荷电状态之间的关系图

根据图7 所示，在静置模式下，电芯1 至电芯4的初始SOC值为SOC1= 0.74，SOC2= 0.82，SOC3=0.71，SOC4= 0.80。静置模式下的电池均衡大约在250 s 后实现，由于这种模式下的外部电流I（sk）= 0，所以电池包中的每个电芯SOC的值最终将收敛到[0.755，0.765]这个区间中，收敛误差在1%左右；而对于放电模式下的均衡，在放电模式下，电芯1 至电芯4 的初始值为SOC1= 0.82，SOC2= 0.91，SOC3= 0.80，SOC4= 0.85。其大约在310 s 时达到电池均衡，另外由于外部电流I（sk）随时间不断变化，所以当均衡过程终止时，收敛的SOC值也会随着时间而不断变化，处于一种动态平衡的状态。

图7 两种均衡模式下的电芯值变化曲线

电池包在静置均衡模式下使用IDA-PBC 算法的三个Cuk 转换器的占空比随时间的变化如图8 所示，可以看出因为外部电流为0，所以最终的均衡电流是一个常数，其振荡的时间会减少。而放电均衡模式下使用IDA-PBC 算法的三个Cuk 转换器的占空比如图9 所示，因为最终的外部电流仍是随着时间不断变化的，所以其振荡的幅度也会大一点，也正因为外部电流的不断变化，在第三个Cuk 转换器甚至有不同MOSFET 打开的情况。总体上，IDA-PBC 算法应用在带有Cuk 转换器的电池包上的振荡时间比较短，且其的均衡速度比较快，均衡时间比较短。

图8 静置均衡模式下的不同Cuk 转换器的占空比随时间的变化曲线

图9 放电均衡模式下的不同Cuk 转换器的占空比随时间的变化

4 结语

IDA-PBC 算法在由n个串联电芯和n-1 个改进的双向Cuk 转换器组成的均衡系统中的应用，因Cuk转换器的动力学响应比电芯动力学响应快得多，对双向更改的Cuk 转换器中的平均电感电流和平均电容电压进行了端口哈密顿（PCH）建模。然后根据IDAPBC 算法，提出了期望的互连矩阵和阻尼矩阵，并生成唯一的控制律。该算法不仅实现了均衡系统在静置模式的各电芯SOC 均衡到某一区间的目标，也实现了放电模式下电池包中每个电芯SOC 均衡到某一区间的目标。另外，无论是静置模式还是放电模式下的均衡，Cuk 转换器MOSFET 占空比振荡的时间都比较短，这在一定程度上保护了开关设备。