圆锥曲线中两相交弦中点连线的统一性质

章海辉 邱 云 张奇凤

1.福建省漳州市厦门大学附属实验中学(363123);2.福建教育学院数学教育研究所(350025)

1 引言

过圆锥曲线上点B的两直线l1和l2,斜率分别k1,k2,当k1+k2、k1k2为定值时,第三条直线过定点问题,已有作者进行探讨,见文[1].得出了结论: 当两直线斜率和或斜率积为定值时,第三条直线斜率为定值或过定点.高考卷多次出现此背景下的试题,如2017 年高考全国Ⅰ卷理科20 题、2020 年高考山东卷第22 题和2022 年新高考Ⅰ卷第21 题等.当点B不在圆锥曲线上时,就是相交弦问题,已有相关结论,如文[2-4].本文从点B位置的任意性角度,研究两相交弦中点连线的相关性质,推广了文[4] 中的结论,即证明了当两直线l1和l2的斜率k1,k2满足线性方程r·(k1+k2)+s·k1k2=t(r2+s2+t2̸=0)时,两相交弦中点所成直线斜率为定值或过定点;且得出文[1]结论的推广: 当点B在圆锥曲线上且两直线l1和l2的斜率k1,k2满足r·(k1+k2)+s·k1k2=t(r2+s2+t2̸=0)时,第三条直线斜率为定值或过定点.

2 主要结论和证明

证明设直线GH的方程为y=kx+m,直线l1的方程为y=k1x+n,因过点B(x0,y0),所以n=y0−k1x0.将l1与椭圆的方程联立消去y整理得

(b2+a2k21)x2+2a2k1nx+a2(n2−b2)=0.

(a2x0k+a2m)k21+(b2x0−a2y0k)k1+(b2m−b2y0)=0,

同理

(a2x0k+a2m)k22+(b2x0−a2y0k)k2+(b2m−b2y0)=0,

因此,k1,k2是一元二次方程

(a2x0k+a2m)x2+(b2x0−a2y0k)x+(b2m−b2y0)=0

的两根,则有

(a2x0k+a2m)k21−(a2y0k+b2x0)k1+(b2y0−b2m)=0,

同理

(a2x0k+a2m)k22−(a2y0k+b2x0)k2+(b2y0−b2m)=0,

因此,k1,k2是一元二次方程

(a2x0k+a2m)x2−(a2y0k+b2x0)x+(b2y0−b2m)=0

的两根,则有

综上,结论成立.

注1在定理1-3 中,当s=0 时,两直线斜率之和为定值的情形,特别地,当s=0,t ̸=0 时,就是文[4]中的结论1,3,5;当r=0 时,两直线斜率之积为定值的情形,特别地,当r=0,t ̸=0 时,就是文[4]中的变式2,4,6.

注2当点B在圆锥曲线Γ 上时,易知过B的直线与Γ的相交弦中点轨迹仍为同一种类型的圆锥曲线.由上述定理证明方法,可得文[1]结论的推广.

推论已知圆锥曲线Γ,过Γ 上点B(x0,y0)作两条斜率分别为k1,k2的直线l1和l2,分别与Γ 交于点C和点D,若k1,k2满足方程r·(k1+k2)+s·k1k2=t(r2+s2+t2̸=0),则直线CD的斜率为定值或直线CD过定点.