渗透数学思想 发展核心素养

苏国东

［摘  要］ 文章以《义务教育数学课程标准（2022年版）》背景下的人教版初中数学起始章节“有理数”的教学为例，深入研究相反数等教学，并在教学中渗透数学思想方法，探索单元整体教学，对核心素养的发展进行实践与思考.

［关键词］ 新课程标准；有理数；数学思想；核心素养；单元教学

初中数学起始章节是小学数学向初中数学过渡的桥梁，起着承前启后的重要作用. 在《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下称“新课程标准”）背景下，初中数学起始章节教学应体现单元整体观念，在落实数学知识生成和能力培养的同时，重视数学思想方法的有机渗透，应加深学生对数学知识的认识和理解，从整体上对数学知识进行抽象概括，将数学思想方法转变为自身数学学习的能力，培养“四基”，发展“四能”，注重建立具体内容与核心素养的关联，将核心素养体现在具体的教学要求中.

“有理数”是人教版初中数学教材的第一章，是整个初等代数的基础. 本章主要包括两方面的教学内容，一是有理数的相关概念，二是有理数的运算. 本章在小学数学的学习基础上，先借助生活实例引入负数，使数的范围得以扩充到有理数，再利用学生的日常生活经验、数轴的几何直观等，将正、负数之间的运算归结为正数之间的运算，进而定义有理数的运算，得出运算法则，并通过有理数的运算解决简单问题.

本文对本章教学中如何渗透数学思想、发展核心素养做出几点实践与思考，与同行交流、研讨.

深入教学问题，渗透数学思想

新课程标准指出，在有理数相关概念的教学中，学生要“能借助数轴体会相反数和绝对值的意义，初步体会数形结合的思想方法”. 数轴是数形结合思想的重要产物，数形转化，能帮助学生理解相反数和绝对值的概念；而相反数和绝对值的引入，能让学生加深对相反意义的量的理解，对数轴上两点之间的距离、利用数轴分析物体运动情况等有更直观的认识，能为有理数运算的学习做准备.

1. 相反数的教学

在相反数的相关教学中，教师可以向学生提出如下问题：-3和-（-3）是否互为相反数？

大多数学生能回答道：负负得正，所以-（-3）=3，-3和3互为相反数. 而当教师追问负负为何得正时，学生往往停留在机械记忆层面，鲜有学生能夠讲清来龙去脉.

相反数的教学不能与前一节学习的数轴相关知识割裂开来. 如图1所示，A，B两点分别表示-3和3，因为在一个数前面加上负号即得到这个数的相反数，两者在数轴上的位置关于原点对称，所以-（-3）表示点A关于原点对称的点，即点B，因此-（-3）=3. 这一知识生成的过程便渗透了数形结合思想方法.

事实上，可以不对-（-3）进行化简，而从其形式上去考虑. 也就是把-3看作一个整体a，则-（-3）表示-a，a和-a确实互为相反数，这便是整体思想的初步体现. 当学生后续学习了有理数的加、减法，还可以利用（-3）+［-（-3）］=（-3）-（-3）=0，根据两数之和为0，得出-3和-（-3）互为相反数.

在此基础上，教师可以再提出如下两个问题：（1）-（-3）的相反数是什么？（2）-（a+b）的相反数是什么？让学生对数形结合思想与整体思想有进一步的体会.

2. 数轴上点的移动问题

教材第14页习题3提出了数轴上点的移动问题，考查学生借助数轴体会点的相对位置关系. 教师可据此设计系列变式问题，助力数形结合思想方法和分类讨论思想方法的渗透.

（1）0沿数轴移动3个单位长度后得到______；

（2）2沿数轴移动3个单位长度后得到______；

（3）a沿数轴移动3个单位长度后得到______；

（4）一个数沿数轴移动3个单位长度后得到2，则这个数是______.

在问题（1）中，学生能再次体会到数轴、相反数、绝对值之间的密切联系. 在问题（2）中，学生可利用数轴上左减右加的关系分别计算2-3=-1和2+3=5，得到结果. 在问题（3）中，学生通过类比可得到结果为a-3和a+3，初步体会到用字母表示数，用含有字母的式子表示结果的优越性，这也是整体思想的体现.

问题（4）给出了移动后的数为2，求移动前的数. 学生大多会采用逆向思维，也就是将2往回移动3个单位长度，得2-3=-1，2+3=5；也有学生想到设原来的数为a，列出方程a+3=2或a-3=2，解得a=-1或a=5，这种解法体现了方程的思想.

教师可进一步引导学生联系绝对值的相关知识，将问题（4）转化为距离问题，即“a与2的距离为3个单位长度，求a的值”，由此列出方程a-2=3，分类讨论求解.

通过对上述问题的思考，学生对之前常见的形如a-2=3的问题有了新的感悟. 代数角度的解法是将a-2看作一个整体，求解a-2=3和a-2=-3，而从几何角度来看，则是将其转化为求到2的距离为3个单位长度的数a，也是求把2沿数轴移动3个单位长度后得到的数a的值，这一过程再次体现了转化的思想方法.

初探单元教学，发展核心素养

基于上述思考，本章可改变过去注重以课时为单位的教学，推进单元整体教学设计，体现本章知识之间的内在逻辑关系.

1. 初探有理数单元教学

（1）在正、负数的教学中，教师应让学生理解正数和负数表示具有相反意义的量，为后续点的移动和相反数的学习奠定基础.

（2）在数轴的教学中，教师应让学生体会数轴的重要作用；用数轴上的点表示有理数，找出点沿数轴移动后的位置，初步掌握用字母表示数的方法.

（3）在相反数和绝对值的教学中，教师应让学生借助数轴这一数形结合的重要工具加深对新概念的认识，从数与形的角度体会a与-a的关联，初步学会求数轴上两点之间的距离.

（4）在去括号的教学中，学生已掌握“在一个数前面加正号仍得这个数，在一个数前面加负号会得到这个数的相反数”，所以有+（-3）=-3，-（+3）=-3，-（-3）=+3，-［-（-3）］=-3等，从而总结出“奇负偶正”的规律.

（5）在有理数加法的教学中，教师可尝试引导学生用去括号的方式来求解，也就是把每个数前面的符号看作正、负号，省略加号. 例如3+（-9）=3-9，读作3加-9，3-（-9）=3+9等.

（6）在有理数减法的教学中，教师引导学生把减法理解为加法. 例如，对于小数减大数，如3-9，读作3加-9，利用加法法则得到结果-6；而对于大数减小数，如9-3，直接得到结果6.

（7）在有理数乘法的教学中，教师同样可以利用数轴让学生理解数的位置变化，并可通过乘法再次理解-（-3）的含义，即-（-3）=-1×（-3）=3，进而学习后续的除法和乘方运算.

2. 核心素养如何落地

本章內容以学生的已有经验为基础，学生能通过刻画“事物的相反意义”的相关生活经验和小学对“数及其运算”的认识经验，从现实情境中抽象出数量的变化规律及相互关系，并能够用数学符号予以表达；能够根据题意画出数轴，将代数语言转化为图形语言，利用数轴建立起数与形的联系，表达点与点之间的相互位置关系，并能想象和描述点的运动变化规律；学会用数学的眼光观察现实世界，形成数学的方法和策略，培养抽象能力、几何直观和空间观念素养.

本章内容注重具体性和形象性，又具有适当的抽象性和概括性，既适应初中起始阶段学生的能力发展水平，又能促进学生从具体形象思维向抽象逻辑思维发展. 学生能通过实际情境和数学活动经验明晰有理数运算的对象和意义，解析运算逻辑，形成运算法则，理解算法与算理之间的关系；能运用数学思想方法对含有数字、字母、代数式的一些简单问题进行探索、推理和表达，形成数学的一般性结论；学会用数学的思维思考现实世界，用数学的思想和方法来思考与处理问题，提升运算能力和推理能力素养.

本章教学注重引导学生从具体生活情境中抽象出数学问题，用数轴、相反数、绝对值、运算法则等数学语言和数学符号来建立代数式和方程，解释现实世界中的现象与规律，表示问题中的数量和变化关系，并有意识地利用数学的概念、原理和方法解决有理数运算、距离问题、动点问题等大量与数量和图形相关的重难点问题，初步感知数学建模的基本过程. 学生能学会用数学的语言表达现实世界，构建普适性的数学模型表达和解决现实问题，发展模型观念和增强应用意识.