变式应用的必要性与实践分析

李凡

［摘  要］ 变式在我国数学教学领域有悠久的历史，其对各种课型的数学教学具有重要的指导意义. 文章从变式应用的必要性出发，谈变式在概念教学、定理（公式）教学、例（习）题教学、复习教学、试卷讲评课中的应用模式，并以一个例题教学片段为例展开分析，与同行交流.

［关键词］ 变式；教学；变式应用

苏联教育家奥加涅相认为：不少习题都有进一步扩展与教育的功能，从解决原题到提出类似问题并解答的过程就是扩大解题武器库的过程，学生在此过程中可形成良好的概括能力、辩证思维以及创造意识［1］. 该理论与变式应用有着异曲同工之妙. 实践发现，变式应用能有效拔高学生的思维，能发展学生的解题能力.

变式应用的必要性

1. 机械训练无法熟能生巧

常听到教师这样抱怨：这道题，讲了无数遍，也练习了无数遍，学生还是要出错. 殊不知，教师所言的“无数遍”只是机械地讲题，学生一直从事着单一、重复的机械训练，根本达不到熟能生巧的境界，纯粹是“小和尚念经，有口无心”. 想让学生通过解一道题，掌握解一类题的能力，教师就要让学生经历灵活训练，而变式的应用就是实现触类旁通的基础.

2. 题海战术催生厌学情绪

新课标明确提出，学生才是学习真正的主人，学生对待学习的心理状态、情绪与态度等对学习成效有着直接影响. 有些教师仍然沿用传统的“题海战术”进行教学，希望学生全方位、无死角地通过刷题掌握解题技巧，形成良好的解题能力. 殊不知，在“双减”背景下，“题海战术”已经被整个教育界摒弃.

题海战术的教学模式，会严重压缩学生的睡眠时间，占用其他学科的学习时间，导致学生学习效率低下，思维固化. 长此以往，学生看到习题就会产生抵触情绪，久而久之就会形成恶性循环. 变式教学可以有效解决“题海战术”带来的这些问题，能让学生通过一类题的研究掌握知识本质，形成以不变应万变的解题能力.

3. 以题论题违背教育规律

学生的身心发展遵循一定的规律，同样地，数学教育教学也遵循着由浅入深的规律. 但有些教师在试卷讲评环节，习惯性地以题论题，认为学生只要学会解这一道题就可以了. 殊不知，教育的发展要遵循循序渐进的原则，当学生学会解一道题时，并不能“通透”到解一类题，而变式的介入，则能让学生的思维实现由浅入深螺旋式上升.

变式的模式设计与实践分析

1. 变式在不同课型中的应用

变式是围绕母题、教学目标与学生的认知水平等有一定依据地“变”，而非随心所欲地即兴发挥. 进行变式设计时，教师要遵循常规的目标导向与针对性原则，针对不同的课型，采取不同的教学方式.

（1）概念教学

概念是数学的基础，其在教学中的重要性不言而喻. 新课改背景下的概念课程，基本采用“情境创设—新知探究—抽象概念—变式强化—总结升华”的过程. 其中，“变式强化”环节在整个过程中起着核心作用. 当学生抽象出概念的定义后，教师一般都不能急于带领学生应用刚刚建构的概念去解决实际问题，而是通过变式的应用，进一步深化学生对概念内涵与外延的理解，让学生在概念的辨析与等价转换中形成深刻的认识. 同时，概念变式题组的应用，能让学生在探索中深化对概念内涵的认识，为建构完整的认知体系服务.

（2）定理（公式）教学

定理、公式等是经过长期大量实践抽象而来的. 教师教学定理（公式）時，基本采用“情境—猜想—验证—获得定理（公式）—变式训练—总结提升”几个步骤. 变式训练是基于学生获得相应定理（公式）之后，对其进行更深层次的探讨，一般是教师将定理（公式）进行变形、推广或逆向变化等，让学生从不同的角度对其进行了解，而后通过题组训练，鼓励学生自主思考、探索、作答，真正地掌握定理或公式，提高应用能力.

（3）例（习）题教学

学生对数学知识的掌握程度以及各项能力的发展，都通过解题外显. 例题或习题教学常采用“精选例题—解法变式—问题变式—方法指导—解决问题—提炼升华”的过程. 一题多解的本质是解法变式，学生通过不断优化解法，思维的灵活性与广阔性得到有效提升；问题变式是在不改变知识本质的基础上，变化问题的条件与结论，引发学生从不同的角度去思考问题、剖析问题、解决问题，为更好地完善认知结构奠定基础.

（4）复习教学

艾宾浩斯遗忘曲线明确地告诉我们，人的记忆有一定的规律，学完的知识过一段时间要进行复习、巩固，这样才能在大脑中形成长时记忆. 复习课程常采用“归纳、分析知识—精选范例—解法分析—变式训练—提炼总结”的教学过程.

一堂复习课，可以是一个知识点的循环，也可以是多个知识点的循环，但每个循环都是一个完整的过程. 是否要减少个别环节，要结合知识点的特点与范例的情况来定. 其中，“变式训练”是必不可少的一个环节，此“变式”非例（习）题教学过程中的变式，这里的变式一般具有综合性，容纳了多个知识点，使得整个问题具有“新、广、深”的特征.

（5）试卷讲评课

日常大小考试之后都涉及试卷讲评，试卷讲评是查漏补缺的重要时机，常采用“总评—分类评—变式训练—回顾—总结提升”的教学模式. “分类评”是指教师结合学生的实际答题情况，将典型错误类型进行归类、评析，或重新选择其中的1～2项进行重点点评；“变式训练”则是选择典型范例编拟变式题，矫正学生容易出错的问题，这是强化学生数学思想方法的一种训练，具有巩固、提炼数学思想，强化解题方法，获得解题能力的作用.

2. 例析变式应用

由上面的分析可知，变式广泛地应用在不同的课型中，虽然应用的方法存在一定的差异，但应用的目的都是让学生进一步掌握知识本质，深化学生对知识的理解，形成举一反三的解题能力. 接下来，笔者以例题教学中的变式应用为例，展开分析.

【环节一：精选例题】

例题 如图1所示，△ABC是等边三角形，在BC边上取一点D，在AB边上取一点E，使得BD=AE，AD与EC交于点O，求∠COD的度数.

解法1 因为△ABD≌△CAE，所以∠BAD=∠ACE. 所以∠COD=∠ACE+∠CAD=∠BAD+∠CAD=60°.

例题一呈现，学生就轻松地完成了求解，同时进入学习状态.

【环节二：解法变式】

显然，会解例题并不是教师教学的主要目的. 等学生顺利解题后，教师立即将题目中的条件“△ABC是等边三角形，在BC边上取一点D，在AB边上取一点E”拎出来，让学生思考有没有其他解法. 在教师的点拨下，学生很快获得了下面两种解题方法.

解法2 如图2所示，若D，E两点分别是BC，AB的中点，根据等边三角形的性质容易求得∠COD=60°.

解法3 如图3所示，若D，E两点分别与点B、点A重合，则点O与点A重合，于是能直接获得结论∠COD=60°.

该环节从低起点出发，先让学生尝到解题带来的成就感，再从题设条件出发，引出解法变式，这样便深化了学生对此类问题的认识.

【环节三：问题变式】

变式 如图4所示，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，AE⊥BC，垂足为E，CD与AE交于点H，AB=CD=6，F为AB的中点，求HD+HF的值.

该变式难度显然上升了一个台阶，意在让学生进一步掌握利用极端思想解题.

【环节四：方法指导】

数学教学并不是为了解决教材或练习册上所呈现的一些问题而服务的，其更重要的任务是帮助学生获得良好的解题方法. 当学生在解题过程中出现思维障碍时，教师应适时地给予引导. 如对于以上变式的探索，当学生茫然时，教师可作如下引导.

师：我们来观察问题中的已知条件. AB与CD的长度已经确定，但三角形的形状却不能确定，当点H的位置发生变化时，HD与HF的长度也会跟着发生改变，因此……

生1：因此本题的结论是3，对不对？如图5所示，若点D与点B重合，则点H与点B重合，由此可知HD+HF=0+HF=3.

教师的点拨，成功地启发了学生的思维，不等教师过多解释，生1的思路便获得大部分学生的认可，但也有学生提出质疑. 此时，课堂的探究氛围异常浓厚. 由此可见，当学生的思维卡壳时，教师可通过适当引导与点拨的方式启发学生思考，并基于学习方法的指导，让学生自主获得解决问题的办法.

【环节五：解决问题】

生1的解法看似有一定的道理，学生也特别赞赏这种解题策略，但所获得的结论是否正确，还有待进一步考证. 同时，如何书写整个求解过程，也是大部分学生的困惑所在.

为了答疑解惑，教师可紧扣题目中存在的明确的线段长度（定量）与图形形状（不定量），让学生探寻特殊情况.

生2：生1说的是点D与点B重合的情况，那是否可以让点D与点F重合呢？如图6所示，HD+HF=2HD，那求出HD即可解决问题. 而△AHD∽△CBD，所以=，解得HD=. 所以HD+HF=2HD=3.

师：非常好，这也是特殊情况的一种，但是不是比之前的情况更具一般性呢？据此我们可以得到哪些普遍性的结论？

生3：我发现，不论点D在什么位置，△AHD∽△CBD这个结论始终成立.

师生共同探讨后，获得如下解题过程：

学生在环节四中所获得的结论属于猜想，若要完整地写出解题过程，比较困难. 而本环节的设置，能有效地启迪学生的思维，能让学生获得良好的解题思路.

【环节六：提炼升华】

师：通过以上探索，对于本题，大家还能提出更多的问题吗？

生4：由△AHD∽△CBD，能得到HD·CD=AD·BD，其中AB为已知条件，若设AD=x，则HD·CD的值就是一个关于x的二次函数.

生5：那就是说题中CD=6这个条件可以忽略.

……

曾子曰：吾日三省吾身. 反思是提炼数学思想方法的重要过程，是促进学生各项能力成长的关键途径. 当学生解决完问题后，教师要带领学生再次回顾整个解题过程，对解题技巧、方法、经验等进行总结归纳，从而深化学生对知识的认识，提高学生的解题能力.

对变式应用的思考

1. 教师层面

新课改背景下的数学教学，是能力立意的教学，需要以“双减”政策为方向，让学生在有限的时间里获得最大限度的成长. 就题论题、题海战术等教学策略不仅违背了新课标的教学理念，还严重消减了学生的学习兴趣，实属教学方法的下下之策，更谈不上“减负增效”.

日常教学中，教师应做个有心人，养成搜集好题、精题、典型题的习惯，尤其是在各种大型考试中出现的一些好题，教师可将其作为教学的典范，以这些问题为蓝本诞生出新的好问题，让学生通过探索获得问题的本质，并触类旁通.

2. 学生层面

变式应用能有效地发散学生的思维，能让学生学会从不同的角度观察与分析问题，提高解题能力. 从以上变式应用的教学片段来看，原本需要耗费大量时间的问题，在极端思想的辅助下，能准确、高效地求解.

如上面教学片段中的环节四，在教师的适当引导下，学生顺应教师的思维很快便探寻到了解决问题的突破口. 其实，教师在引导学生求解的时候并没有从自己的思维起点出发，而是基于学生的思维起点，这样便能让学生产生认同感，从而顺利获得解题思路，并衍生出新的问题，使解题与新题环环相扣，永不停歇.

3. 评价层面

课堂评价是指在充分尊重学生的基础上，以激励为主的评价方式，其以发展学生的科学探索精神为主要目标. 因此，在教学过程中，教师应时刻关注学生的动态，对于学生的讨论、交流、合作与思考模式等都要了如指掌，这样才能针对性地给出客观评价［2］.

以上教学片段，当学生思维受阻时，教师并没有直接呈现解题方法，而是通过引导与点拨的方式让学生自主发现并解决问题，获得了较好的教学成效. 由此不难看出，教者只有客观地理解学生存在的问题，才能紧扣问题本质，给予学生科学合理的指导与评价，从而为新问题的生成奠定基础.

总之，培养学生的思考能力、协作能力与质疑精神是数学课堂教学的重要任务之一. 变式的应用是教育教学发展的大趋势，是落实新课标、发散学生思维的重要途径. 实践证明，将变式灵活地應用在各种课型中，能有效地促进教学相长.

参考文献：

［1］约翰·杜威. 哲学的改造［M］. 许崇清，译. 北京：商务印书馆，1958.

［2］沈木勇. “双减”背景下提升初中数学课堂教学效益的策略［J］. 中学数学，2022（02）：91-93.