量子场论教学的方法研究

庞锦毅

摘要 传统的量子场论教学方法通常是从经典场论出发，首先介绍经典场的概念和方法，然后再引入量子力学的思想，推导出量子场论的基本概念和工具。这种教学方法对于已经掌握经典場论知识的学生来说是自然的，但是对于那些只掌握量子力学的学生来说，往往会产生巨大的跳跃感。因此，我们提出了一种新的量子场论教学方法，即直接从多体量子力学出发，在正则量子化体系中引入场论的拉格朗日量，并推导出相应的哈密顿量，以此来帮助学生更好地理解量子场论的基本概念和工具。

关键词 量子场论；教学；研究

中图分类号：G424文献标识码：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2023.10.040

当今物理学领域中量子场论已经成为重要的理论框架之一，很多大学物理学专业都在积极推广量子场论相关的课程教学。我们知道场论在统一量子力学和狭义相对论的过程中，首先会产生反粒子的概念。因此所有的论述都是在一个多粒子体系中完成的，这说明量子场论本质上是一个描述多粒子体系的有效的数学工具。从教学上讲，我们可以充分利用这一特点，从大家熟知的单粒子量子力学出发发展出多粒子系统的量子理论，进而给出哈密顿公式体系下的二次量子化描述。然后我们将给出一个拉格朗日公式体系下的非相对论量子场论，它与之前的哈密顿公式体系下的二次量子化描述是完全等价的，因此也是一个描述多粒子系统的量子理论。之后的任务就是将这样一个拉格朗日公式体系下的场论发展为相对论性的。最终，我们给学生写出一个洛伦兹不变的拉格朗日公式体系下的量子场论，完成量子力学与狭义相对论的统一。

1从量子力学到量子场论的过渡

传统的量子场论教学通常从经典场论开始，然后通过正则量子化方法得到对应的量子场论[1-4]。这种教学方式对于已经对场论有一定了解的学生来说是自然的，但是对于只学习了量子力学的学生来说却很困难。因为学生需要理解经典场论中的概念和数学工具，这些内容与量子力学中的概念和工具是不同的，很多学生在量子力学的学习中，刚刚经历了一个从经典物理的思维习惯到算符―态矢描述方式的蜕变，如果此时再次回到经典理论的框架中，这些学生会感觉到很强烈的知识断层，进而失去解决问题的立足点。他们会无法分清自己究竟是在处理一个经典问题还是量子问题。

3多体量子力学和量子场论

与传统教学方法相比，以多体量子力学为切入点是一种很自然且很容易让学生接受的方式。场论与多体理论具有天然的链接，量子场论的基本任务是统一量子力学和狭义相对论，而狭义相对论的引入会直接导致反粒子的概念，这会打破量子力学中粒子数守恒的简单模型，但单一的单粒子系统、两粒子系统甚或是多粒子系统，发展为不同粒子数状态的线性叠加，这就产生了Fock空间的概念。从本质上讲，量子场论就是一个Fock空间上建立的多体量子力学系统。因此，场论的教学应当抓住这一本质，慢慢地从粒子数守恒的量子力学过渡到Fock空间中的多体量子理论，最终将学生引入场论的理论构造中。实际上对于前两者具有高等量子力学基础的同学是非常熟悉的，只是当我们在场论中不停地向他们灌输经典场的观念时，他们无法认识到量子场论与量子力学之间非常自然和清晰的演化脉络。

4从哈密顿体系过渡到拉格朗日体系

尽管这一推导过程很难直接与物理图像联系，但是它却自然地将场论的拉格朗日体系与一个多体量子系统的哈密顿量连接起来，这就给学生提供了从量子力学到量子场论的通道，向他们指明了如何将量子力学中学到的知识应用到量子场论中。如果没有这样一个过渡，场论中的很多计算会显得非常零碎，量子场论看上去好像与量子力学毫无关联，但有些地方又会突然用到一些量子力学的概念。这样一个逻辑断层是很多学生学习量子场论的障碍，我们所提出的这一新的教学思路可以有效克服这一弊病。

5相对论量子力学

我们引入相对论协变性的方式与传统的相对论量子力学有所不同[5]。这里我们直接对非相对论场论进行改造，而非传统教学中对薛定谔方程进行改造。虽然相对论量子力学是解决物理学中微观现象的重要理论，但是其涉及负能量、负几率等问题，在量子场论中并不需要使用这些概念。在量子场论中我们可以使用正能量、正几率来描述物理现象，并且这种描述方法更加符合实验结果。

在教授量子场论时应该避免使用相对论量子力学中的一些概念，以便让学生更好地理解量子场论。例如，我们不必讨论薛定谔方程或波粒二象性等概念，而应该直接介绍量子场论中的基本概念，如量子场、量子态、相互作用等。

此外，量子场论的数学形式和相对论量子力学也有很大的不同。在相对论量子力学中，我们使用四维矢量和洛伦兹变换来描述物理现象，而在量子场论中我们使用算符和对易关系来描述物理现象。因此，我们需要特别注重对算符和对易关系的讲解，以便学生更好地理解量子场论的数学形式。在教授量子场论时，还应该特别注重实验结果和物理概念的联系。量子场论中的许多概念和公式都是基于实验结果和物理概念推导出来的，因此我们需要通过实验结果和物理概念来解释量子场论中的概念和公式，让学生更好地理解量子场论的物理意义。

总之，教授量子场论需要注意避免相对论量子力学的一些缺陷和不必要的内容，强调量子场论的基本概念和数学形式，并注重实验结果和物理概念的联系，以便让学生更好地理解量子场论。

6总结

本文提出了对于量子场论教学的新思路。通过将多体量子力学中的哈密顿量转化为场论中的拉格朗日量，我们可以直接从多体量子力学的基础上引入量子场论的概念，从而帮助那些只掌握量子力学知识的学生更好地理解量子场论。通过对这种新的量子场论教学方法进行总结和展望，可以强调这种方法的优势和局限性，同时也可以进一步讨论改进和发展的方向。例如，我们可以探讨如何将这种方法应用到更复杂的量子场论模型中，以及如何将这种方法与其他教学方法相结合，以提高教学效果。

参考文献

[1]Steven Weinberg. The Quantum Theory of Fields[M]. Cambridge University Press， 1995.

[2]Michael Peskin， Daniel Schroeder. An Introduction to Quantum Field Theory[M].Westview Press， 1995.

[3]Mark Srednicki. Quantum Field Theory[M].Cambridge University Press， 2007.

[4]Anthony Zee. Quantum Field Theory in a Nutshell[M].Princeton University Press， 2003.

[5]J.D. Bjorken， S.D. Drell. Relativistic Quantum Mechanics[M]. McGraw-Hill， 1964.