高校数学史教学方法及其延续

2023-08-21高翟易颖

科教导刊 2023年10期

高翟易颖

摘要数学史知识具有文理交叉的特别优势，故而当前高校的数学史教学需要在现有条件下尽可能优化教学效果。和常规的数学教育不同，数学史可以在传统的授课模式之外引入新的教学方法，通过若干举措有效提升该课程的教学效果。数学史不仅能在内容上促进后续的数学、历史和相关学科的学习，而且对构建自然科学史课程体系有较高的借鉴价值，为高校培养具备一定知识广度的高级人才发挥其特殊的作用。

关键词数学史；教学方法；延续性；课程体系

中图分类号：G642文献标识码：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2023.10.025

自20世纪90年代以来，中国内地的高考科目设置中，语文、数学、外语一直是跨越文理界限，覆盖所有考生的三科。对理科生进行语文、外语的考查较好理解，毕竟一定的语言能力是进入大学深造任何一门专业的必要条件，而有不少人对于为何要对文科生进行数学的考查存疑。诚然，某些文史方向的研究与数学关联不大，但数学本身就和自然科学的属性不同，它对一个人的思想、精神境界乃至人文素质同样具有显著的提振作用。因此提高对数学史教育的重视程度，探寻其多样的教学方法，具有现实意义。同时，如何充分认识数学史对相关课程的正面影响，合理地将该课程融入整个高等教育的培养体系也是数学史教育面临的一个课题；数学史的育人价值正是在不断实践和优化这一课题的过程中得到充分发挥。

1高校数学史教育的主要意义

数学作为人类思维的创造物，是人类文化重要的组成部分，但多数求学者对此缺乏认知。已故的原北京大学校长、著名数学教育家丁石孙曾感叹：“我们长期以来，不仅没有意识到数学的文化教育功能，甚至不了解数学是一种文化，这种状况在相当程度上影响了数学研究与数学教育。”[1]数学常被视为人类理性思维力的标杆，它不仅是科学的语言，而且深刻影响着哲学、艺术等领域；到近现代社会，数学还改造着金融学、社会学、管理学等一系列学科。可以明显地看出，数学是充满人文精神的科学，数学文化对于人类文化变革有着重要的影响。

数学在人的知识体系中如此重要，它本身的发展历程就蕴含着很高的学习价值，而这部分价值需要借助数学史教育来发掘。相较于常规的数学课程，数学史以数学文化为依托，细致地分析了“数学是一门怎样的学问”“数学知识从何而来”“数学有什么用途”等问题[2]。此类问题有助于激发学生的学习兴趣，培养学生的数学思维能力，并将思想和人文教育渗透其中[3]。另外，学生在学习过程中还可能因自身知识结构的缺陷出现“交叉领域”的问题，如“为什么中国数学水平在古代领先于世界而在近代落后于世界”[4]；出于课程目标等方面的原因，此类问题一般不置于數学或历史课堂上讨论，而从数学史课程的角度来阐释则合理得多。

如果说中学生因高考指挥棒的作用而无暇顾及数学史的内容，那么针对大学生的数学史教育则存在更明显的需求。从宏观上看，高等学校的数学史课程能够帮助学生更全面地认识数学，并汲取数学中的关键思想来提高文化修养，从侧面塑造人格。而这种教育功能对于任何专业的学生而言都具有长远的意义。

2高校数学史教育的方法探究

和数学相比，中国的数学史教育起步晚且内容零散。因为高考的导向性作用，数学史内容极少被归入此类选拔性考试的考点，所以在中学课堂上几乎不涉及。同时，数学史兼具文科（历史）和理科（数学）的色彩，这样的属性也让它在当前高等教育领域的地位有些尴尬。人为重视的不足，致使数学史课程的推广一直不如预期，很多学生甚至不知道它是一门独立的课程。为了能在如此有限的普及程度下尽可能提升该课程的教学效果，笔者根据若干轮教学经验对其教育方法做了以下初步探究。

2.1三个维度的教育视角

数学史涉及多个学科，包含丰富的内容，故而知识点间的联系有相当的复杂性，这种复杂性给该课程的教学提出了不小的挑战。为了能够将数学史知识较有条理地进行梳理和编排以便于课堂教学，可以考虑从三个维度着手。

一是时间维度。时间也是历史学最直接的维度，对于数学史而言，它表现为数学学科从古至今连贯发展的脉络；该维度的优势在于易与社会历史相互参照，将数学史和社会发展史对应学习。

二是空间维度。该维度将地域性引入本课程的学习中，让数学的发展和地域特点相关联；这一维度的长处是易与人文地理相结合，将数学史的多项知识内容赋予其各自的地域特征，进而对照人类文明史来整合、理解。学生在此维度中通过地域间的横向比较还能体会到不同国度、不同文明的数学文化特点。

三是领域维度。该维度侧重于从数学学科的角度，分门别类地讨论若干分支领域的发展历程。数学史在这一维度里通常参考专门的数学领域，将数学史与对应的数学课程结合起来学习；数学某些特定领域如何从萌芽到生长乃至开枝散叶，从少许零散的知识点到庞大而复杂的知识系统，这些来龙去脉可以通过此维度让学生掌握。

在正式开展数学史课程学习之前，理工专业的学生在数学课上多通过领域维度了解到少量数学史知识，类似的少许内容亦在历史课上通过时间或空间维度为文史专业学生所了解；然而这两种途径的介绍都是极其粗略且零散的。若希望较全面、系统地理解数学史，则需要教师在数学史课程的教学中兼顾以上三个维度。

2.2教学资料的灵活运用

教学资料是教学活动的重要补充，历史和数学两种属性都给数学史的教学资料提出了特殊的要求。一方面，它的历史属性使其内容包含诸多人物和史料、它们可能单纯地通过文字反映，也可能通过图片、声音甚至影像、动画来展现；这就要求教师在开启教学活动前对于这些资料有充足的储备，并且在课堂上合理利用多媒体工具来展示这些内容。如果能把口头讲授与这些多媒体资料很好地结合，就既有助于加快学生对相关史实的消化吸收，又可提升一部分学生的学习兴趣。

另一方面，数学史的数学属性对某些学生而言难度较高。例如空间想象能力弱的学生，学习立体几何内容常觉得困惑；推理能力弱的学生，研究数理逻辑时会有吃力的感觉；计算能力不足的学生，学习分析学的过程中容易出错，等等。为了帮助学生克服这些困难，教师不妨在课堂教学前准备一些教具，对数学知识的讲解避免过难过繁（不应替代数学课的功能），以满足学生对数学史的学习需要为准。例如莫比乌斯环和克莱因瓶是数学史中两个比较著名的几何体，很多学生对此有兴趣，但它们单面的特征是不常见的，特别是克莱因瓶还涉及四维空间，本科学生仅凭已有的数学知识不一定能想明白。假如从拓扑学的几何流形角度去解释[5]，对绝大多数学生而言是非常难以理解和消化的；而若换一种方式，在课堂上展示它们的模型实体，让学生通过近距离观察建立起直观的印象，则理解的难度会降低很多。笔者在某轮授课时间充裕的情况下，特别抽出约20分钟的时间指导学生动手制作莫比乌斯环和克莱因瓶的纸模型（如图1所示，p78）；课后学生普遍反映对这部分的内容印象特别深刻，亲自制作之后能够清晰地理解这两种几何体的特征。如果课堂教学能以类似的方式兼具科学性、实践性和趣味性，则易于收到良好的效果。

2.3课外阅读的拓展

在授课时长已随教学计划确定的情况下，任何一门课程在课堂上能涉及的知识点终究是有限的，何况大学的选修课时长一般限制较严，无法占用过多学时。但在数学史领域中，无论与数学还是与历史相关的内容都极为丰富，课堂上的某一个知识点就可能关联着数目庞大的其他知识点；加之同一课堂内学生的知识基础参差不齐，所以几乎总会出现学生不理解课内某些知识点的情形。面对这种情况，有必要充分发挥学生的主观能动性，进行课堂之外的查漏补缺或者扩展延伸。教师可在课堂内对课外阅读的方向提供引导，学生在课外通过图书馆、网络数据库等途径查找和选择相应的文献进行自学。对于某些规律性較强或者开放度较高的话题，还可以将其学习过程整体迁移至课外，并由教师在随后的课堂上检查学生的学习效果；如此安排可以大幅节省课内时间，有利于教师细讲学生不便自学的一些重难点问题。例如在当前的信息化时代浪潮中，学生对于信息安全的重要性多已知晓并能在日常生活中切身感受。有此背景，教师则不妨鼓励学生在课下自行学习一种典型的信息加密措施——密码的相关演变历程，体会数学作为数字信号加密和解密的理论基础，以及对密码学及相关信息安全技术成熟的重要促进作用[6]。

课外自学绝不仅仅是为学生补充课内未详解的知识点，更重要的是让学生亲身经历探索知识的过程，发现知识的内在关联，最好能与自身的背景知识产生共鸣，从而更好地将新知识融入自己的知识框架。例如1948年美国数学家克劳德·艾尔伍德·香农发表了具有深远影响的论文《通信的数学原理》，宣告了信息论的诞生[7]。通过学习这段历史，相关专业（如通信工程、计算机科学等）的学生可以更深刻地认识所在领域的起源或发展过程。其中的一些知识点，例如熵的概念，在数学、化学和信息学中的含义有联系也有区别[8]；若以数学史课程为契机有效引导学生进行多角度探究，必然能够更全面、更深入地理解和掌握相关知识。

2.4翻转课堂中的分享

既然课外自学是数学史课程学习的重要组成部分，则课外学习的效果可由教师在课内以不同形式进行检查。若课堂时间允许，不妨让学生将自学的内容在课堂上进行分享，或者组织课内讨论，让学生真正成为学习的主体。具体来说，教师可根据时间的充裕程度决定课外学习的检查方式，既可以口头问答、笔头答卷的方式，又可以翻转课堂的方式，其中后者是当前教育领域讨论度较高的一类方法。一般地，欲使某个知识点掌握得牢固，“用眼看一遍不如动手写一遍，用手写一遍不如动口讲一遍，用口讲一遍不如与人讨论一遍。”教师让学生对自学的内容进行合理组织、润色，随后走上讲台将这些知识讲给他人听，台下的学生一方面学习其中的内容，另一方面也利用这种机会提出问题甚至质疑，从而营造出分享与相互讨论的氛围；在这种氛围里教师不一定起主导作用，而是参与其中并予以必要的指导。在某些开放度较高的议题范围内，学生可以独立准备也可以分组筹划，提出的论点可以相同也可以不同；这样便于相同内容间的比较和辩论，不同内容间的相互分享和启发。教师在翻转课堂中除了客观评价每位学生课外自学的效果之外，还需要对学生的表现进行归纳总结，指出讨论细节中的长处和短板，明确问题且提出改进的方向，让学生在这种课堂模式中真正得到锻炼、学有所获。

2.5多种考查方式的选择

考查是教学中的重要一环，对数学史的教学而言亦如此；课程各阶段抑或结课后的考查不仅是区分学生对相应知识掌握程度的重要指标，也在客观上起到监督、促进学生学习的作用。考查的形式不止一种。若采用传统的试卷形式，应注意“标准”与“开放”两种题型并重。前者考查重要知识点是否掌握到位，后者考查学生运用所学对某一论题的思维方式和理解深度。试题标准性或开放性的不足都会影响考查结果的准确度。

考查终究不是教学的目的，故而能够给应试者以启发，乃至提振学习兴趣的考查方式是值得推荐的，譬如前文提到的学生上台讲解的方式。该方式可视为“口试”的一种形式，由于口试具有专题性，该考查方式适合对一个或少许几个知识点进行深入挖掘和评估，检测学生对相应内容的理解深度。而如果需要学生对课内所学的知识进行一次较全面的归纳总结，则可以通过结课论文的形式完成。需要说明的是，虽然学术论文大多以深度见长，但这里的结课论文与学术论文的定位不同，它的考查对象是本科生，考查内容基本在教学大纲范围之内，因此以反映学生对知识掌握的全面程度为主。学生在撰写论文的过程中有较为充裕的时间全面回顾课程内容，从而架构出相对完整的数学史知识体系。简言之，口试便于体现学习的深度，结课论文便于展示学习的广度，二者各有所长。此外也不排除存在少量优秀的学生，他们已具备撰写出具有一定深度甚至带有创新性的结课论文的能力，自然应在考查中脱颖而出，得到优秀的评价。

如果将本课程定位为公共选修课，鉴于选课学生的数学知识基础参差不齐，那么为了发挥结课论文的最大效用，可以考虑将论文内容“分级规划”，即针对不同层次的学生布置不同的论文主题。例如对于低年级学生，大学数学的学习刚刚开始，可以让他们在论文中整理中学数学里和数学史相关的内容，并对大学数学学习提出自己的愿景；对于高年级学生，已修习过若干大学数学的课程，故而可让他们通过数学史的学习，描述对部分大学数学知识的一些新认识，乃至对某些大学课堂内未曾涉及的数学知识展开讨论。这种分级规划目的仍是巩固教学成效，尽可能使学生在撰写结课论文的环节中也能有所收获。

3高校数学史教育的延续

任何课程的教育都不应是孤立的，而是对受教者知识体系的持续建构发挥影响，数学史亦是如此。作为一门典型的交叉学科，数学史学习的效果将延续至与之密切相关的两门学科——数学和历史中。

3.1对数学学习的持续性影响

先看数学方面。数学史与对应数学领域之间并非简单的从属关系，教育界有人倾向于将数学史的内容分解并附着于对应的数学知识上进行讲解，也有人认为数学知识当以数学史为主线进行组织和教学。当前国内的教育大多采用前一种方法，这主要有两方面原因：一是中小学数学教育模式的巨大惯性，让大学师生也默认数学知识“理当”这么教；二是跨学科师资的缺乏和数学史课程普及的滞后，使得数学史承担上述“主线”的难度颇高。笔者并不否认前一种方法的效果，但亦不应忽视后一种方法的可行性；若实施该方法的条件具备，不妨选取数学的部分领域进行尝试。例如在开启非欧几何的教学内容时，不妨先简要回顾欧式几何的经典著作《原本》，突出其严密的公理化体系特征[9]；接着带领学生对《原本》的五条公设进行回顾和比较，并关注其中较为另类的“第五公设”（即平行公设）；然后引入俄国数学家罗巴切夫斯基的思路對第五公设进行改造[10]，从而对其创立的双曲几何迅速建立初步的认识。在这个过程中，尽管知识点之间存在纯数学角度的联系，但如果能依循历史的脉络，使数学知识交织于数学史之旁，则让抽象的数学概念变得立体生动，有血有肉，更利于学生理解和吸收相应知识点。同时，学生还能从历史发展的角度体会到前人在对应的数学领域如何思考，如何探索，如何创新，这种体会将十分有助于培养学生的数学思维能力。

3.2对历史学学习的借鉴作用

再看历史方面。宏观上说，数学史可视作历史的一个分支，又因为数学是自然科学的研究工具，所以数学史可以成为历史的另一个分支——自然科学史的前导课程。有数学史知识的基础之后，再进行自然科学史的教学会顺畅得多。它具体体现在三个方面：

3.2.1数学成果用于自然科学

每一次数学的重大发展都会促进自然科学的发展。历史上这样的例子不胜枚举。例如代数与几何的融合就为当时的天文学计算提供了极大的便利，从而引发了后续一系列重大的天文发现。勒维烈运用数学工具首次计算出海王星的轨道，就是其中的一个典型事例[11]；又如统计学成熟之后，波耳兹曼运用统计数学从事分子能量研究，提出了分子动能的常态分布，从而创立了气体分子运动论[12]。自然科学借助数学的发展而进步，这是二者之间最明显、最直接的影响。

3.2.2数学思想用于自然科学

在自然科学发展的早期，尚只有少数简单的事实或实验依据来支持整个理论体系；那时的自然科学基本从多个现象得出规律，是归纳的方向，数学用于归纳结论。如牛顿在研究宏观物体的运动规律时，发现物体动量的变化率总是和它受到的力呈正比关系，在大量实验的基础上，牛顿总结出力学中的牛顿第二定律，一系列受力运动的规律被凝练成一两个简单的数学公式[13]。但现在自然科学的许多成果均先由数学推导出理论结论，然后再用实验证明其真实性/正确性，是演绎的方向；这种结论产生的方向性很强，而且增长得很快，从某种程度上说，它是当今自然科学领域知识大爆炸的必要条件。例如麦克斯韦通过麦克斯韦方程组严整的数学形式，预言空间中时变的电场或磁场可以形成电磁波，它携带着电磁能量向空间辐射。可是麦克斯韦生前并没有通过实验亲眼见到电磁波，这项验证电磁波存在性的工作直到他去世九年后才由赫兹完成[14]。不论是归纳还是演绎，数学史都有力支撑了自然科学史。自然科学借鉴数学思想而发展，这是二者间较深层次的关联。

3.2.3数学家和科学家存在交集

我们浏览数学史和自然科学史会发现，在数学和自然科学领域均作出重要贡献的人有不少，他们既是数学家又是科学家。例如被称为“世界三大数学家”的阿基米德、牛顿和高斯，都是同时代自然科学领域的先锋人物——阿基米德是静态力学和流体静力学的奠基人[15]，牛顿是经典力学体系的创立者，高斯发明了磁强计并绘制出世界上第一张地球磁场图。还有一些数学家的造诣甚至延伸至哲学领域：如笛卡尔建立的机械论哲学影响深远，成为后来科学家研究自然的基本思想方法之一[16]；莱布尼茨则代表着同时期欧洲大陆理性主义哲学的高峰，其哲学思想亦深刻影响着当时自然科学的发展方向。当学生看到这些熟悉的历史人物时，会无形中增加对自然科学史的亲近感，进而正面促进相应课程的学习效果。数学和自然科学之间有许多历史人物成为“桥梁”，这是二者在历史角度上的关联。

3.3对科学史课程体系的构建

数学史对自然科学史的借鉴作用除了体现在内容上，还包括课程设置方面。典型的自然科学，如物理、化学等，也可以仿照数学史的模式开设对应的选修课，进行该学科历史的系统性讲解。不过这部分的借鉴在当前的高等教育中显得很薄弱，一方面是因为数学史课程的普及程度很低，另一方面则是由于绝大多数高校理工科专业的课程设置中，仅在硕士阶段的“自然辩证法”或“科学技术哲学”课程里对自然科学史有系统意义上的涉及[17]，部分院校有面向硕士生或博士生的“科学技术史”选修课，而针对理工科专业本科阶段开设科学史类课程的院校则非常之少，这和西方发达国家的高等教育相比有明显的差距[18]。

学科史对相应学科的学习具有明显的正面促进作用，这一点已经在多次实践中得到证明。为了发挥这种促进作用，在学生完成了数学史课程之后，院校不妨开设自然科学史课程以鼓励他们进一步学习；如有条件，甚至可以将自然科学史进行细化，划分出专门的物理学史、化学史、医学史等，开设针对性更强的课程，以构建更全面完整的科学史课程体系。该体系对于培养学生的科学兴趣，提高学生的理论素养，开阔学生的知识眼界，陶冶学生的人文情操均有裨益。

4结语

尽管数学史课程在当前高校的普及程度不高，但它的学科交叉特征既能正面促进数学知识的学习，又对于历史特别是自然科学史的教学具有较强的借鉴意义。正因为如此，该课程的发展空间较大，对其教学方法的探讨和改进也就有了明显的现实意义。本文在现有教学经验的基础上对此进行了一些初步的探究，力求突破传统说课模式的限制，引入新的教学思想。但“教学有法，教无定法，贵在得法”。欲达到更好的教学效果，教师一方面需要不断分析既往教学进程中的得与失，总结经验，吸取教训；另一方面要针对教学环节的改革创新，有意识地探索新的、更符合学情的教学方法。数学史的领域色彩和课程定位还决定了教师在教学过程中，需要把控好知识难度，增强与学生的配合，并系统地兼顾若干相关课程；这不是个一蹴而就的过程，而对教师的知识底蕴和教学能力等方面都提出了很高的要求。如果能通过以上努力最大限度地发挥数学史课程的功能，将有助于高校打破文理藩篱，培养出视野开阔、知识广博、思路灵活的现代化高水平人才。

基金项目：教育部产学合作协同育人项目“通信工程软件无线电师资培训项目”（201902291010）；中国地质大学通识教育选修课项目“简明自然科学史”（2021A61）。

参考文献

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