“证明”要明

吴晓刚

“证明”让同学们学会用说理的方法，从一些基本事实出发，探索并推导出结论，实质上就是让同学们会用数学的语言来表达现实世界，这就需要我们有简单的推理能力。但在“实战”中，部分同学没有掌握好基本概念，没有感悟到数学论证的逻辑，没有体会到数学的严谨性，导致各种错误出现。下面，我们一起来理一理。

一、“证明”要明概念

例1 下列语句中，不是命题的是（）。

A.内错角相等

B.若2a=4，则a=2

C.反向延长射线MN

D.同角的余角相等

【解析】大部分同学容易错选A。在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题。这里的判断包括正确的判断（真命题），也包括错误的判断（假命题）。选项A可以判断真假，虽然它是错误的判断，但它是命题；选项B是代数命题；选项C是作图语句，没有做出判断，故不是命题；选项D可以判断真假，是真命题，也是定理。故选C。

【点评】命题有三大特征：一是具有判断性，二是有真假之分，三是具有固定的结构形式。数学命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。特别注意，假命题也是命题。而作图语句、祈使句、疑问句等语句无法判断真假，故都不是命题。

二、“证明”要明逻辑

例2 如图1，已知AB∥CD，∠B=40°，∠D=40°，求证：BC∥DE。

【解析】有的同学直接由∠B=∠D，得到BC∥DE，这是不正确的，没有推理根据。证明中的推理过程不能想当然，每一步推理都要有根据。我们要从已知条件出发，结合隐含条件，根据概念、定理或公理推導出结论；每个条件都要使用到，不遗漏，不创造。

证明：∵AB∥CD（已知），

∴∠B=∠C=40°（两直线平行，内错角相等）。

∵∠D=40°（已知），

∴∠C=∠D（等量代换）。

∴BC∥DE（内错角相等，两直线平行）。

【点评】数学是有着严密逻辑体系的科学，逻辑推理是数学学科重要的核心素养。同学们在证明时要使用合乎逻辑的推理，每一步都要有理有据。

三、“证明”要明规范

例3 证明：垂直于同一条直线的两直线互相平行。

【解析】有的同学是这样证明的：

如图2，∵AB⊥EF，CD⊥EF，

∴∠ABD=∠CDF=90°，

∴AB∥CD。

这个证明过程没有错误，但是不规范，证明的理论依据有问题，而且连基本的格式都没有。命题证明应该先写出已知、求证。证明过程要准确使用定理，这里同位角、内错角、同旁内角都可以利用，根据目标，准确、合理选择即可。

我们将原题用数学语言描述。已知：如图2，AB⊥EF，CD⊥EF，垂足分别为B、D。求证：AB∥CD。

证明：∵AB⊥EF，CD⊥EF（已知），

∴∠ABD=∠CDF=90°（垂直定义）。

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）。

【点评】几何证明既要有逻辑性，也要有科学性和规范性。同学们在书写证明过程的时候，可以把证明过程写得细致一些，把因果关系表达得清晰一些，还要注意证明过程的严谨性和规范性。

（作者单位：江苏省南菁高级中学实验学校）