在问题情境中实现数学概念的深度学习——以“正数和负数的初步认识”教学为例

刘佳 上海市闵行区实验小学

在基于核心素养为导向的新课程改革背景下，深度学习着眼于学生深入理解知识核心内涵，促进学生的知识建构和方法迁移，是师生共同成长的过程。数学概念是数学知识结构的基础。在概念教学中，教师应避免学生停留在机械模仿的层次上，通过精心设计的问题情境和学习任务开展深度学习，让学生从本质上理解概念实质，并能灵活应用解决实际问题，从而提升学生的思维能力，促进核心素养的形成。基于此，笔者将“正数和负数的初步认识”教学作为研究方向，浅谈在深度学习的课堂上，促进数学概念的建构与理解。

一、悉心解读教材内容，准确把握学习起点

小学阶段数的认识主要有整数（自然数）的认识、分数的初步认识、小数的认识和正数与负数的认识。教材的编排遵循学生的认知规律，体现了数范围不断形成与扩大的生成发展过程。《正数和负数的初步认识》是沪教版五年级第二学期第二单元的内容，负数的认识是小学生数概念的一次重要扩展。负数概念源于两条途径，一个是出于人类生产和生活的需求，如“盈利与亏损”“收入与支出”等具有相反意义量的表达；一个是源于完善数学内部逻辑结构的需要，在减法运算或解方程的过程中出现“不够减”时，提出正负数加减运算法则，保证减法运算的封闭性。

为了进一步了解五年级学生对负数概念认知的起点，我开展了课前访谈调查（见表1）。

表1

从课前访谈可见，虽然负数在日常生活中应用广泛，却只有天气预报是学生最熟悉的情景。学生对负数的认识停留在符号特征的表面，与“运算符号”混为一谈，对其真正意义并不了解。负数概念的学习对学生而言是一个难点，因为负数不同于正数，无法通过对具体事物进行计数来理解其具体含义，负数的概念牵涉到具有相反意义的量。应选择怎样的问题情境促使学生理解相反意义量？如何确定分界点“0”，真正掌握正、负数概念的关键？带着这样的思考，笔者尝试精心设计问题情景和学习任务，唤起学习需求，理解感知概念本质，鼓励学生在已有认知的基础上不断建构与完善对数的认识。

二、精心设计学习任务，促进深度学习发生

（一）在丰富的情境中，产生区分相反意义量的需求

在对比不同版本的小学数学教材后，发现几乎都用学生熟悉的温度计作为载体，引入负数在读温度的过程中，体会零上温度和零下温度是一对具有相反意义的量。然后，通过相关的实例来丰富学生对于具有相反意义量的认识，再来记录这对具有相反意义的量。按教材的编排引入，能有效达成相关教学目标，但学习过程过于“按部就班”，学生只是一步步被动学习新知，没有产生学习的需求与欲望。因此，笔者尝试融创新于传统，期望在任务驱动下调动学生学习需求，激发学生学习主动性。

【教学片段1】

你能尝试记录生活中的这些信息吗？（见图1、图2、图3）

图1

图3

T：让我们看看大家是怎么记录的？

呈现资源：

①零上15 ℃、零下20 ℃

②8 844.43米、10 767米

③+200元、-86.4元、-36.8元

T：不同的记录方式，你们都同意吗？

S：我不同意第二组。因为这样记录就分不清是海平面以上还是海平面以下了。

T：那怎么办？

S：在8 844.43前面填上“+”，在10 767前面填上“-”。

T：填上不同的符号，你到底是想要区分什么啊？

S：区分海拔是比海平面高还是低。

T：再看另外两组，你们在记录时都想到了添上文字或符号，又是为什么呢？

S：第一组是为了分清零上温度和零下温度，第三组是为了区分支出的钱和收入的钱。

T：你们都很厉害哦，都在想办法来区分海平面以上的高度和海平面以下的深度、零上温度和零下温度、收入和支出。感受一下，每组的两个量之间都有什么关系？

S：相反关系。

T：像这样的两个量，我们可以称为具有相反意义的量。

教学背景：知道如何正确表达一对具有相反意义的量。

以传统教学素材为基础，创设全新的问题情境，让学生在经历记录信息的过程中主动产生学习负数的需求。其一，在原有单一的温度模型引入中，融入海拔模型和收入支出模型，让学生在丰富的情境中，整体感知零上温度和零下温度、海平面以上高度和海平面以下深度、收入的钱和支出的钱，都是具有相反意义的量。其二，温度模型和海拔模型表示静止状态下相反意义的量，其分界点0 是人为规定的。收入支出模型是自然意义下的动态模型，0 点是平衡点。丰富的情境能促使学生初步感知相反意义量的两种不同类型。其三，在表达相反意义量时，学生感受到用已学过的数不能区分具有相反意义的量，便创造出添加文字或各类符号等新的表达方式，产生区分相反意义量的需求。在表达方式上，数学家们也经历了很长时间的研究。通过历史介绍，学生不仅丰富数学文化，还知道在数的前面添上正号和负号来表示一对具有相反意义的量。在用正、负数表达的过程中，初步感知分界点的含义。

（二）在对比与沟通中，加深对正、负数意义的理解

1.对比2个-1的含义，理解正、负数的实际含义

用正、负数所表示的具体量的实际含义是本课的难点。为了加深学生对于负数意义的理解，形成数感，我们设计了如下学习材料：

【教学片段2】

你知道下面2 个“-1”各表示什么意思吗？（见图4、图5）

图4

图5

S：-1层，就是地下1层。

T：为什么-1 就是地下1 层呢？想一想这里是以什么为分界点，具有相反意义的量又是什么呢？

S：以地面为分界点，地上层数和地下层数是具有相反意义的量。

T：真棒，能找到分界点和相反的量来理解-1。那另外两个呢？

S：-1 元表示没有钱了，还欠1 元。分界点是0 元，有余额和欠费是相反的量。

T：是啊，-1在不同情境中表示的含义不同。

T：一年级学习数时，我们知道1个苹果，1块橡皮，1个人都能用“1”来表示。这里情境不同，含义不同，也都能用-1这个数来表示。

“能够在真实情境中理解数的含义”是数感的表现之一。学生在真实情境的学习素材中表达2 个“-1”的不同含义，通过对比与辨析，逐步体会用正、负数表示一对具有相反意义量时，先要确定分界点，规定其中一个量为正，则另一个量为负。另外，在对比2 个“-1”表示含义的过程中，期望学生意识到“-1”在不同的情境中可以表示不同的实际含义，但这些情境中的量都可以用抽象的数“-1”来表示，加深学生对于数的认识，促进数感的养成。

2.对比不同的分界点，进一步理解正、负数的含义

在用正、负数正确表示相反意义的量时，学生对分界点“0”的理解是有挑战性的。因为分界点“0”有时是约定俗成的，如0 ℃，海拔0 米等，而有时是可以人为规定的。为了让学生体会“0”所表示的对象发生了变化，那么其他对象与它的相对关系，也随之变化。练习环节中，结合东南西北方位图，改编了练习册P14的A级题：

填空：小胖家、小丁丁家、图书馆和学校在同一条直线上，以向东为正，图6 上的一格长度表示100 米。

图6

（1）如果以学校的位置记作点0。

①小巧从学校门口向东行了200 米，那么小巧的位置可以记作（ ）米。

②小亚的位置是-300 米，说明小亚从学校门口向（ ）行了（ ）米。

③小胖家的位置可以记作（ ）米。

（2）如果以图书馆的位置记作点0，小胖家的位置可以记作（ ）米。

确定哪一点是分界点是负数教学的关键所在。拓展练习中，对比小胖家的位置不变，而两次记录的结果不同，让学生初步体会在用正、负数表示相反意义的量时分界点的重要性。过程中通过数形结合，将抽象的问题直观地呈现在学生面前，让学生在用正、负数正确表示的基础上，进一步理解正、负数的意义。

（三）在生活应用中，感受数学与生活的密切联系

本课始终结合生活情境，通过温度、海拔、收支等情境，让学生体会数的产生源于生活的需求。为了让学生更深刻地体会正、负数在生活中的应用，我们还设计了小胖1分钟跳绳达标情况的统计（见图7）。

图7

【教学片段3】

T：对比小胖自己每年的跳绳情况，你们觉得小胖的成绩怎么样？

S1：小胖跳绳的个数越来越多，他进步了。

S2：不一定哦，虽然每年越跳越多，但是我们要对比达标情况来看。一年级超过达标成绩5 下，可以记作+5，二年级不到达标成绩1 个，可以记作-1。小胖跳绳退步了。

T：听懂了吗？这位同学已经尝试在用正、负数做新的记录了。请你们试着帮小胖完成新的记录。

记录结果：+5、-1、-4、0、+1

T：看了小胖的新记录，你有什么想说的吗？

S：一年级小胖跳绳能达标，二、三年级成绩不太理解，四年级开始有进步，正好达标，五年级能超过标准。

T：看来，你们已经能灵活运用正、负数的知识解决生活实际问题了，真棒。

依托真实情境的支撑，培养学生主动调用所学知识解决真实问题的意识。通过创设“小胖一至五年级跳绳达标情况”这一情境，引导学生意识到只用以往学习的数来分析问题，有时不够全面。可以将各年级的达标成绩作为标准量，用正、负数记录，能较为简洁地表示出小胖各年级跳绳成绩与标准量之间的关系。根据实际需求，体会用正、负数分析问题的优势。学生在经历体验式、探索性的学习过程中，深入理解，灵活应变，提升应用意识。

三、用心追溯概念本质，孕育数学核心素养

（一）立足概念本质，让学习真实发生

核心概念是数学学习的灵魂，问题情境是深度学习的关键。本节课基于学生的认知基础，立足概念本质，采用循序渐进、由浅入深的教学策略，促使学生全身心地投入学习过程。通过教师适时引导、及时点拨，在有机的师生互动和生生互动中，期待学生在已有认知的基础上进行延伸学习，初步理解正、负数的意义，并能感知“0”作为分界点的意义，实现对“0”的再认识，不断建构、完善对数的认识，体会数系的扩充，有利于中小学数学的衔接。

（二）创设问题情境，落实核心素养

本节课以学生熟悉的、有趣的事物作为丰富的学习素材，不仅点燃学生对学习的激情，产生主动学习的需求，还初步感悟数学与生活的联系。学生在不同的问题情境中，表达正、负数的含义，提升数学抽象能力，发展数感。在解决小胖跳绳的问题情境中，学生有效迁移已有的知识和经验，灵活解决实际问题，培养应用意识。教师们在发展专业素养的同时，还要多观察，善发现，勤思考，用教育智慧将日积月累的生活素材打造成促进学生深度学习的活动素材，落实核心素养于课堂。