一道模拟试题的解法探究及推广
2023-08-11丁胜锋
中学数学研究 2023年3期
丁胜锋
圆锥曲线综合问题是解析几何的核心内容,是历年高考数学的重要考点之一,也是高考复习备考难突破的难点之一,对于圆锥曲线综合问题,由于题目文字符号多且运算量大,使得学生在解题过程中目标性不强并且方法单一,得分率偏低. 在高考复习备考中,我们希望学生能规范答题格式的同时,更能够跳出问题的本身,得到一般性结论和在解题方法上有所突破,避免由于静止地思考问题带来思维的局限性和片面性. 本文以一道高三模拟题为例,探求其解法和一般性结论的推广.
原题 已知椭圆C:x22+y2=1的上顶点为M,如图1,过M作直线MA,MB交椭圆C于A,B两点,设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=5,求证:直线AB过定点.
本题主要考查直线与椭圆的位置关系和直线过定点问题,体现了直线与椭圆核心內容和圆锥曲线基本思想方法的考查.
一 多视角解析
其证明方法与结论1证明方法类似.
以上是以椭圆为载体的斜率之和与斜率之积为常数时,直线定向或过定点,实际上在双曲线和抛物线上也具有类似性质,读者不妨自己证明.