同一种思维方式“待”出不一样的人生——用待定系数法处理有通项的数列放缩问题

汪本旺

(浙江省湖州市安吉县孝丰高级中学)

放缩法证明数列不等式历来是高考数学的难点,在高考数列试题中经常扮演拉开差距的角色.由于放缩法灵活多变,技巧性要求较高,所谓“放大一点点则太大,缩小一点点则太小”,这就让许多学生很茫然,找不到头绪,摸不着规律,觉得高不可攀.如何找到放缩的“桥梁”,如何把握放缩的度,使得放缩“恰到好处”,是力求一步到位就能完成问题证明的关键.本文对三种类型的数列,用同一种思维——待定系数,巧妙地解决适度放缩问题.

一、问题背景

在2020年11月浙江省湖州市期末第一次联考考试中,出现一题数列解答题,题目如下(节选):

(Ⅰ)求a2,a3的值,并写出数列{an}的通项公式;

该题第(Ⅱ)问最终统计结果基本全军覆没,课后通过调查发现大部分学生花了很多时间但最终还是未能解决该题,本文先给出第(Ⅱ)问的官方解析:

通过目标值或目标式的分析常常能得到放缩的路径.本文就近年来高考中常考的三种有通项的数列不等式问题,谈谈粗浅的思考.

二、基本类型

1.分母为二次函数型

1.1 案例分析

1.2 思维策略

1.2.2 目标值指引

1.2.3 验证不等式

1.3 知识运用

（b）I borrowed the book from the libraryI can keep for a week.

即证8(n+1)(2n+1)>(4n+1)(4n+5),

即证8n+5>0,该不等式显然成立,命题得证.

【点评】普通学生初次接触此类题,是很难做到精准放缩的.本文所述的“待定系数法”,突破了此类问题学生找不到思路的瓶颈.而更一般的放缩“通项公式”(*),引导学生将一项分裂为两项,而且此两项必为同一新数列的连续两项,从而为后续的消项作好了准备.这对于学生深刻理解数列裂项求和的本质是非常有帮助的.

2.分母为指数型

2.1 案例分析

对于例2,可以尝试上述所讲的方法解决,但是能否有一种本质的方法一次性解决这两个问题呢?由于通项为指数型,而指数型又与等比数列有密切联系,那么是否可以尝试放缩到等比数列呢?为了控制放缩的精度,引入待定正系数k,即构造如下放缩“通项公式”:

事实上,当n=1时,2n-1=3n-1,当n≥2时,2n-1<3n-1.

那么,对(Ⅰ)的证明可以稍作调整,如下:

当n=1时,不等式恒成立;

在(Ⅱ)中,作如下考虑,保留第一项,从第二项开始待定系数放缩,

事实上,当n=2时,2n-2=3n-2,当n≥3时,2n-2<3n-2.

那么,对(Ⅱ)的证明可以稍作调整,

当n=1,2时,不等式恒成立;

2.2 思维策略

2.2.1 算法式模式

2.2.2 目标值指引

2.2.3 验证不等式

把2.2.2中算出的k带入不等式ai

2.3 知识运用

那么从第二项开始放缩:

证明:当n=1,2时,不等式显然成立;

3.分母为根式型

回归问题背景,选择调和不等式的确非常简单,但是对学生来说,实在是技术含量较高,那么对于该类问题,能否找到一种直接明了,更加本质的方法呢?

3.1 案例分析

3.2 思维策略

3.2.1 算法式模式

3.2.2 目标值指引

3.2.3 验证不等式

3.3 回归背景

根据思维策略,对于问题背景中的问题,做如下分析:

证明:当n=1时,不等式恒成立;

三、结束语

在高中数学数列放缩问题上,巧妙的应用待定系数法优化解题思路,找到问题本质,将原本高不可攀的问题简单化、程式化.在高中数学数列放缩问题教学中,有效地渗透此类方法,能够有效地解决学生在解题中解题无思路、方法选用不当导致放大或放小、准确率低下等问题.