SO*(2n)的极小和限制极小幂零轨道的维数*

兰超，范兴亚

(新疆大学 数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830017)

0 引言

轨道法自引进以来,一直是诸多领域中十分有用和强大的工具,这些领域包括: 李理论、群表示论、可积系统、复几何和辛几何以及数学物理等.设g 是域F 上的李代数,定义l 是g 上的根基(李代数g 的极大可解理想).如果l{0},则称g 是域F 上的半单李代数[1].特别的,当F 为复数域且g 为有限维李代数,则在g 中存在半单子代数s 使得gs⊕l 为直和分解.此分解称为Levi 分解,一般而言,此分解不唯一[1].Levi 分解表明,要弄清楚一般李代数的结构,必须深刻理解可解李代数和半单李代数的结构.对于复半单李代数而言,其结构是非常清楚的.对于可解李代数而言,就目前为止,其结构知之甚少[2].随着人们对复半单李代数研究的深入,许多数学家开始研究此代数对应的幂零轨道、Weyl 群的表示,以及包络代数中的本原理想三者之间的关系[3].任何试图理解或利用这些联系的最终前提是: 对每一个对象都有一个很好的理解.比如有关幂零轨道分类问题,此问题最主要的是复幂零轨道的Dynkin-Kostant 和Bala-Carter 分类,还有导出幂零轨道的Lusztig-Spalsten 理论,进而对实幂零轨道进行分类等[3－4].在幂零轨道的分类问题中,幂零轨道的维数将是重点考虑的对象,特别的,极小幂零轨道的维数是连接Weyl 群表示和包络代数中的本原理想的桥梁.

现在回到线性李代数上来.设GL(n,C) 是一般复线性群.此群通过共轭作用于其所对应的李代数gl(n,C)上,相应的轨道自然是矩阵的相似类[4].Jordan 理论告诉我们可以把半单部分和幂零部分两类区分开来,即对角线矩阵表示的类是半单的,严格上三角矩阵表示的类是幂零的[1－2].特别的,幂零矩阵只有有限个相似类.更准确地说,这类集合是由n 的剖分来参数化,并且在任何经典半单李代数中都有一个非常相似的幂零轨道的参数化[3].

设so*(2n) 为SO*(2n) 的李代数,θ 和τ 分别为so*(2n) 的Cartan 对合和共轭对合.U(n) 和SO(n,C) 的李代数分别为k{x ∈so*(2n):θ(x)x} 和h{x ∈so*(2n):τ(x)x}.设p 和q 为θ 和τ 的-1 的特征空间.容易验证θττθ.通过文献[9]的一般性讨论,有so*(2n) 的正交分解

通过so*(2n)的限制幂零子代数,本文给出了限制性极小幂零轨道的维数公式: 设n 为大于2 的偶数时,g+的极小幂零轨道的维数为n-2;当n 为奇数时,g+的极小幂零轨道的维数为n-1.此外,利用so*(2n)基本余伴随轨道,得到了极小幂零轨道的维数公式: 当n 为奇数或偶数时,so*(2n)的极小幂零轨道维数为dimOα(1)+2,其中Oα(1) 是so*(2n) 的最高根的基本余伴随轨道.

1 预备知识

本文规定运算符′和t 为矩阵的共轭转置和转置.

上文已经定义过群SO*(2n)的具体形式,但是具体操作起来不太方便,本文将其通过复数矩阵群来代替,即

SO*(2n)的极大紧子群为

注意到,SO*(2n)/K 是黎曼对称空间[8].对任意g ∈SO*(2n),定义对合(非Cartan 对合)为τ(g).设H :{g ∈SO*(2n): τ(g)g}.并且H ≃SO(n,C),则SO*(2n)/H 是Herimitian 型仿射对称空间[6－7].设so*(2n) 为SO*(2n) 的李代数,其具体形式如下:

设so*(2n)k⊕p 为so*(2n) 在Cartan 对合θ(X)-X′下分解为±1 的特征空间,其中X ∈so*(2n),则

设so*(2n)h⊕q 为so*(2n) 在共轭对合τ(X)下分解为±1 的特征空间,其中X ∈so*(2n),则

对于仿射对称空间SO*(2n)/H,我们有一个等价的定义,即(so*(2n),h) 是仿射对称对.因为τθθτ 成立,则有正交分解

现在来讨论李代数SO(n,C).

引理1[2]ap∩q在so*(2n) 中的根系为:

证明设

设ap∩q如式(2) 所示,则ap∩q在so*(2n) 中的根可由以下公式得到:

进一步有

通过引理1,我们得到如下的正根系:

2 限制极小幂零轨道的维数

本节讨论极小幂零轨道.利用式(1),我们有so*(2n)g+⊕g－,其中

命题1ap∩q在g+中的根系为:

证明因为g+(k∩h)⊕(p∩q),则

通过式(2) 和引理1 的证明,命题1 得证.

定义1[3]对于轨道上每一个元素是幂零的,则称轨道是幂零轨道,记为O.极小维数幂零轨道定义为Omin.

引理2[3,10]设g 是单李代数,则g 的极小幂零轨道的维数等于1 加上不与最高根α 正交的正根个数.

注1若so*(2n)so*(4m),我们以通常的方式选择so*(4m) 的素根并计算其最高根(具体计算见文献[8]),且容易计算不与最高根正交的正根个数为4n-7.根据引理2,得到dim(Omin)1+(4n-7)2(2n-3).同样的证明,对于so*(2n)so*(4m+2),也可以得到dim(Omin)1+(4n-5)2(2n-2).

定理1设n ＞2,则g+的极小幂零轨道Omin的维数为n-2 或n-1.

证明当n2m ＞2 时,选择素根Ξ{ǫi-ǫi+1:1 ≤i ≤m-1},则最高根为αǫ1-ǫm,不与最高根α 正交的正根个数为2m-3.根据引理2,得到dim(Omin)1+(2m-3)2m-2n-2.同样的,当n2m+1 时,其素根为Ξ{ǫi-ǫi+1,ǫm:1 ≤i ≤m-1},且最高根为αǫ1+ǫ2,则dim(Omin)1+(2m-1)2mn-1.

3 基本余伴随轨道和极小幂零轨道的维数

受到文献[10-11] 的启发,本节讨论so*(2n) 的一些幂零子代数的基本余伴随轨道,给出了计算so*(2n) 的极小幂零轨道维数的新公式,这个公式不同于引理2 的计算方法.

设n 是so*(2n) 的幂零李代数.下文假定n 为2n×2n 的严格上三角矩阵.设

注2需要注意的是εi(1 ≤i ≤n) 与上节的根向量ǫi(1 ≤i ≤m) 不同,究其原因是εi为k 中极大交换子代数计算的根向量[8],而ǫi是p ∩q 的极大交换子空间计算的根向量.定义{eα:α ∈Φ+} 为根向量的基,其中eαEi,n+j-Ej,n+i,且Ei,j为i 行j 列的元素是1,其它位置为0 的矩阵.对任意α ∈Φ+,β ∈Φ+,设e*α为对偶空间n*的元素,

在这种情形下,S(εi+εj) 的维数为

定理2设0/c ∈C,α 为n 的最高根,Oα(c) 和Omin如上所述,则dimOmindimOα(c)+2.

推论1设0/c ∈C,α 为n 的最高根,则

证明因为F ∈Oα(c) 当且仅当1/c F ∈Oα(1),则我们只考虑c1 的情形.若n3,则最高根为αε1+ε2,

4 展望

对于其它Hermitian 李代数[7－8,12],如何给出其李代数的对偶,这将是重点考虑的对象.如果能够给出具体的对偶,则利用本文的方法,可以类似地探究其余伴随轨道.这将是我们未来进一步研究的方向.