活用配方法，巧解特殊方程

朱慧

配方法是一种重要的数学方法，不仅可以用于因式分解、求解函数最值等，还在求解特殊方程方面有着广泛应用.它能够使方程化繁为简，解答过程化难为易.本文分析了配方法在求解二元二次方程和根式方程中的应用方法，供同学们学习与参考.

一、活用配方法巧解二元二次方程

二元二次方程是指含有两个未知數，并且含有未知数项的最高次数是2的整式方程. 通常二元二次方程的解有无限个，但是特殊的二元二次方程可以利用配方法配凑成完全平方的形式，再利用非负数的性质求解出其唯一一组解.

运用配方思想解二元二次方程，要重点关注各项的系数，可以将其拆分、拼凑，使其成为平方数，以便运用完全平方和公式 a2 ± 2ab + b 2 = （a ± b）2 进行配方. 本题中的 “5”也很特殊，可以分为“1”和“4”，刚好供 x 与 y 配方使用.所以，同学们一定要学会仔细观察数据，对特殊的数据进行特别的处理.

评注：解题时同学们很容易想到对 2xy 的处理方法，但处理后出现“ y2 + 6x + 4y + 10 ”的情况就比较棘手了.此时，同学们需要继续认真观察处理后的数据与前面数据之间的关系.同时要考虑到“ y2 + 6x + 4y + 10 ”中只有 y 有二次项，所以需要将 x与y 的一次项处理掉，只剩 y ，这样才可以更好地配凑.

二、活用配方法巧解根式方程

根式方程往往比较复杂，难以直接求解. 但是对于特殊的根式方程，可以通过观察，找出根式（数）与整式（数）之间的关系，再利用配方法配凑成完全平方式，结合非负数的性质，从而求得其解.

评注：此题有3个根式，直接解题很困难. 利用“ x 2 + 5x = x （ x + 5 ）”转变后配凑完全平方式是解题的关键.另外，需将“ x + x + 5 ” 视为整体，进一步利用“十字相乘法”解题.

评注：利用配方法避免了两边平方去根号的繁琐计算.通过观察算式特征，灵活运用配方法可将等式左边配成完全平方式，等式右边为零，最后利用非负数的性质即可求解.

运用配方法求解二元二次方程、根式方程等特殊方程时，我们需要牢牢记住“完全平方公式”，利用现有的“局部”配凑出公式的 “全部”，最后利用“非负数大于等于零”的性质，求解出特殊方程的唯一解.对于“局部”的观察一定要多方尝试，找出最合适的一种配凑方法来求解.