如何求分式方程中参数的值

叶春甜

在学习分式方程时，我们会遇到分子含有参数，要求分式方程中参数的值的问题.解答这类问题的基本思路是把分式方程转化为整式方程.但在解答过程中，若对含参数分式方程的解的情况分析不当，极易导致错误.对此，笔者针对如下几种情况，探讨了如何求分式方程中参数的值.

一、已知分式方程有增根，求參数的值

分式方程出现增根的原因是在去分母的过程中，方程两边同时乘以了一个可能使最简公分母为0的整式，致使未知数的取值范围发生了变化.因此，在求分式方程中参数的值时，若已知分式方程有增根，同学们要注意如下两点：一是准确去分母，把分式方程转化为整式方程；二是令最简公分母为零，求出其增根，再把增根代入所得的整式方程中，求出参数的值.

例1

解：

评注：分式方程的增根，既是分式方程去分母后所得整式方程的根，也是使分式方程最简公分母为零的未知数的值.所以，令分式方程最简公分母为零，是破解分式方程有增根问题的重要突破口.

二、已知分式方程无解，求参数的值

分式方程无解主要包括两种情况：一是原分式方程去分母整理后得到的整式方程没有解，故而原分式方程无解；二是原分式方程去分母整理后所得到的整式方程有解，但该解为原分式方程的增根，从而导致原分式方程无解.所以，在求分式方程参数的值时，若已知分式方程无解，同学们要注意对整式方程无解、整式方程有解但该解为原分式方程的增根这两种情况进行分类讨论.

例2

解：

评注：在解答分式方程无解问题时，若分式方程去分母后所得的整式方程可以化为 ax = b（b ≠0）的形式时，要注意分 a =0和 a ≠0两种情况进行讨论.当 a =0时，整式方程无解，此时原分式方程也无解；当 a≠0时，整式方程有解 x= ，此解为原分式方程的增根，此时原分式方程无解.

三、已知分式方程有解，求参数的值

分式方程有解主要指分式方程的解是正数、负数、非正数、非负数等.在求分式方程中参数的值时，若已知分式方程有解，同学们要注意如下两点：一是认真审读题目，弄清题设中解的情况，即明确该解是正数，还是负数等；二是参数的取值要使分式有意义，即分式方程的分母不能为零.

例3

评注：求分式方程参数的取值范围，一般先去分母，化分式方程为整式方程；然后用含参数的代数式把分式方程的解表示出来，再由分式方程中解的条件（正数、负数等），将其转化为不等式问题.在这一过程中，同学们特别要注意分式方程有解的隐含条件：分母不能为零.

总之，分式方程中参数的值或取值范围与分式方程的增根、无解、有解息息相关.在平时做题时，同学们要仔细审题，把握已知条件，尤其是隐含条件，并注意结合具体情况展开分类讨论，及时检验和修正，从而规避漏解、多解以及错解，提高解题的准确性.