运用“解直角三角形”知识解答实际问题的三种类型

陈永安

解直角三角形在实际生活问题中的应用十分广泛，主要应用于测量距离、度量尺寸、测高或测角等方面.解答这类应用问题的一般步骤是：（1）弄清题中名词术语的意义，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；（2）将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形時，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形；（3）寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解.本文就三类解直角三角形的应用问题举例说明.

一、仰角与俯角问题

初中阶段的“俯角与仰角”问题主要是测量问题，如图1，其中的仰角是指从下向上看时，水平线与视线的夹角；俯角是指视线从上往下看时，水平线与视线的夹角.在空间导航、航空航天、地理测量等领域中，仰角和俯角的应用非常广泛.解答此类问题时往往要用到解直角三角形的知识点与“转化”思想.

例1

解：

点评：解答仰角俯角问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形.当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形.同时，要善于读懂题意，把实际问题转化为直角三角形中的边角关系问题加以解决．

二、方向角问题

方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向线所成的角，一般表示为北（或南）偏东（或西）多少度，可借助十字坐标帮助理解，如图4.在实际生活中，方位角可以用来确定物体的位置；在示意图中，通过方位角确定几个物体的位置后，可以量出它们之间的距离，进而算出物体之间的实际距离.在解答有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系.有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，就需要用到等角转化为所需要的角．

例2

解：

点评：本题考查了方向角问题以及勾股定理.解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用三角函数的定义来解决问题.

三、坡度、坡角问题

坡度、坡角问题，涉及的知识点有：①坡角，如图7，坡角指坡面与水平面的夹角，记作 α.②坡度，坡面的铅垂高度 h 与水平长度 l 的比，是坡面的坡度，记作 i ，即 i = h l ，一般情况下坡度要写成 1：n 的形式，如 1：2.③坡度与坡角的关系为：坡度是坡角的正切值，即 i = h l = tan α . 坡度和坡角是两个相关概念.坡角越大，坡度也越大，坡面就越陡，因此常被用来衡量地势的陡峭程度、山坡的高度以及河流的坡度.

例3

解：

点评：掌握坡度的概念和锐角三角函数的定义，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．