渗透模型思想 提高解题能力

摘 要：一次函数是刻画变量之间关系的有效数学模型，现实生活中的许多问题都可以通过建立一次函数模型得以解决，一次函数的应用题已经渗透到日常生活的各个方面.依据近几年中考试题，列举了一次函数在解决经济问题、购买问题、运输问题、信息收费问题、水产品加工问题等方面的应用，提高学生利用一次函数模型解决实际问题的能力.

关键词：初中数学；模型思想；一次函数；解题能力

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2023）20-0044-03

收稿日期：2023-04-15

作者简介：周清波（1980.10-），男，福建省南安人，本科，一级教师，从事初中数学教学研究.[FQ）]

初中数学的教学目标是引导学生掌握基础知识和基本技能，掌握数学思想方法，积累基本活动经验，培养学生的数学核心素养，促使其更好地适应未来社会的发展需求.一次函数是初中数学教学的重点，在课堂教学中，教师需注重渗透模型思想，体现数学知识的应用意义与价值，让学生学会构建数学模型，能够站在数学的角度对问题进行思考与解决，从而提高学生应用数学知识分析问题和解决问题的能力.

1 模型思想概述

1.1 数学模型

数学模型是针对参照某种事物系统的特征或数量依存关系，采用数学语言，概括或近似地表述出的一种数学结构，这种数学结构是借助数学符号刻划出来的某种系统的纯关系结构.数学模型有着广泛内涵，相关数学概念、公式、算法等都属于数学模型范围.由于初中生自身的认知水平、理解能力相对比较差，因此，在具体教学时，教师需注重数学模型的构建，也就是依据相关数字、字母或数学符号构建相应的关系式、代数式、方程式等数学模型.

1.2 模型思想

从数学产生与发展的角度作出的思考，则是数学思想.在数学知识学习时，呈现的思维特征也属于数学思想.模型思想作为数学思想的重要组成部分，其主要指对实际问题进行描述时，所用到的数学概念及数学公理.在数学课堂教学中，教师

需注重培养学生的模型思想，促使学生深刻理解数学知识和其他事物的联系.

2 在一次函数解题中渗透模型思想的策略

2.1 渗透模型思想，解决经济问题

例1 已知有两种理财产品供投资者选择，第一种：中国银行销售一种五年期国债，其年利率是2.63%；第二种：中国人寿保险公司推出一种分红型保险，投资者要上交10 000元（10份）保费，且保险期是5年，在五年以后，能获得本息为10 486.60元，还能获得红利，但分红金额并不是固定的.

（1）请写出购买国债的金额x和五年以后银行所支付的本息和y1之间的函数关系；

（2）求分红型保险的年利率，并找出支付保费x和五年以后保险公司应支付的本息和y2之间的函数关系；

（3）请分析选择哪种理财产品更合算.

解析 （1）依据题意可知，一年的年利率是2.63%，买国债花费了x元，即y1=（1+5×2.63%）x.

（2）设年利率是a，那么，a=10 486-10 00010 000×5=0.97%，即y2=（1+5×0.97%）x.

（3）两种方法均投资10 000元，第一种：购买了五年的国债，y1=（1+5×2.63%）x＝（1+5×

2.63%）×10 000=11 315元；第二种：购买了五年的保险，y2=（1+5×0.97%）x＝（1+5×0.97%）×10 000=10 486.6元.两者之间的差是y1-y2＝11 315-10 486.6＝828.4元，因此，当保险的分红超过了828.4元的时候，买保险才能更有利.

2.2 渗透模型思想，解决购买问题

例2 某服装厂要生产种领带与西装，且西装的每一套定价是200元，每一条领带的定价是40元，厂家进行促销活动，提供给客户两种方案：

（1）购买一套西装，送一条领带；

（2）西装与领带都按照定价90%进行付款；

某个商店的老板需要到服装厂买20套西装，x（x＞20）条领带，请你帮助老板选择最优惠的购买方案，并说明理由.

解析 设第（1）种方案共付款y1元，第（2）种方案共付款y2元，则

y1=40x+3 200，y2=36x+3 600.

当y1＜y2时，即40x+3 200＜36x+3 600，又x＞20，所以20＜x＜100.即当20＜x＜100时，选择第（1）种方案更加优惠；

当y1=y2时，即40x+3 200=36x+3 600，所以x=100.即当x=100时，第（1）种方案与第（2）种方案的一样省钱；

当y1>y2时，即40x+3 200＞36x+3 600，所以x＞100.即当x＞100时，选择第（2）种方案更加优惠.

若同时选择（1）（2）两种方案，想要获得厂家赠送更多的领带，则能设计出第（3）种方案，即先依据方案（1）买20套西装，获得20条赠送的领带，剩余的（x-20）条领带，再依据第（2）种方案进行购买，其花费为200×20＋（x-20）×40×90%＝（36x＋3 280）元.顯然，第（3）种方案比第（2）种方案更加优惠；第（3）种方案和第（1）种方案相比，当36x＋3 280＜40x＋3 200时，可求解出x＞20，即x＞20时，第（3）种方案比第（1）种方案更加优惠［1］.

2.3 渗透模型思想，解决运输问题

例3 某果蔬公司需将不容易存放的水果由A市销售至B市，现有三个运输公司提供了相应的运输方案，详见表1.

因为W为x的一次函数，k＝180＞0，所以W随着x的增大而逐渐增大.又因为x是整数，所以当x＝111时，其利润最大，W最大＝180×111＋60 000＝79 980元.

综上所述，通过以上实例可以发现，在对应用类问题解决时，其关键就是渗透模型思想，构建相应的一次函数模型，并通过自变量的取值范围，求出相应的最值.这类问题与实际生活相贴近，更注重考查基础知识以及基本技能，通过应用数学知识解决相关实际问题，能够有效提高学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力.

参考文献

：［1］ 张金奎.“一次函数”解题错误类型与解决的对策分析［J］.现代中学生（初中版），2022（06）：45-46.

［2］ 王文玉.初中数学函数教学中渗透模型思想的研究：以“一次函数”为例［J］.中学数学，2022（04）：9-10.

［责任编辑：李 璟］