打破认知，让学生“下定义”

林鼎奇

［摘 要］特级教师吴正宪教学“因数与倍数”一课时，先让学生暴露已有经验，初步感知此非彼；再打破学生的认知，引导学生在总结中下定义；最后借助竖线模型，使学生能有序找出因数和倍数，并在辩论交流中总结出因数和倍数的特点：两种数都是整数，结果是整数倍。

［关键词］因数与倍数；认知冲突；教学

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2023）14-0045-03

“因数”的定义是a×b=c，a和b称为乘数，乘数也称为因数。“倍数”的定义是已知两个数a，b（a是整数，b是正整数），要求两个整数q，r，使q，r满足以下条件：a=bq+r（0≤r＜b），a称为被除数，b称为除数，q称为不完全商（简称商），r称为余數；当r=0时，称a被b整除，此时b为a的因数，a为b的倍数。

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》是由两排飞机的数量引出乘法算式2×6=12，说明2和6是12的因数，12是2的倍数，也是6的倍数，再引出3×4=12，说明3和4也是12的因数，12是3和4的倍数，同时还补充说明“在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括0）”。

《义务教育教科书·数学》是通过让学生观察一组除法算式并分类，引导学生把除法算式根据商的结果分成整数和非整数这两类，从而总结出“在整数除法中，如果商是整数且没有余数，就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数”，并以除法算式12÷2=6为例，说明12是2和6的倍数，2和6是12的因数。

因数和倍数的含义体现了两者相互依存的关系。学生根据已有经验认为乘法算式中的乘数叫因数，在除法算式中有谁是谁的几倍，就认为因数和倍数是单独存在的。面对这种认知冲突，教师在教学中如何帮助学生重新建立因数和倍数的概念？笔者在特级教师吴正宪的“因数与倍数”课堂中找到了答案。

一、课堂实录与赏析

1.根据已有经验，初步感知此非彼

师：同学们，这节课我们要学习“因数与倍数”。在过去的学习中，你们在哪里见过因数和倍数？能举个例子吗？

生1：我们学乘法的时候，乘法算式里有因数，比如6×2=12，6和2都是因数。在除法算式里有倍数，比如12÷3=4，12是3的4倍。

师：这是你心目中的因数和倍数。我也来举个例子，比如一本书6元，2本书多少钱？如果一本书2.5元，2本书多少钱？在这两个乘法算式中，因数又是哪个呢？

生2：6×2=12，6和12是因数，2.5×2=5，2.5和2是因数。

师：今天我们对因数和倍数又有什么新的规定呢？这里有12人，我们用12颗磁铁表示，你能将它们分组吗？分的过程，我们一起用算式记录下来。

生3：我把12人平均分成了4组，每组有3人，算式是12÷4=3（人）。我把12人平均分成了3组，每组有4人，算式是12÷3=4（人）。我把12人平均分成了2组，每组有6人，算式是12÷2=6（人）。我把12人平均分成了6组，每组有2人，算式是12÷6=2（人）。我把12人平均分成了12组，每组有1人，算式是12÷12=1（人）。我把12人分成1组，每组有12人，算式是12÷1=12（人）。

师：很好，一口气说出了那么多算式。如果有12人，每组5人，可以分成几组？用你学过的知识表示。

生4：12÷5=2……2，可以分成2组，还多2人。

【赏析】著名教育家苏霍姆林斯基说过：“每一个学生是一个完全脱俗的、独一无二的世界。”学生进入数学课堂时不是一张白纸，而是带着对数学知识独特的感知。因此，教师不能把学生当作知识的容器，往学生头脑中灌输各种知识。吴老师尊重学生的认知规律，她没有回避学生对因数和倍数的已有认识，而是与学生聊天，充分了解学生的理解水平，一方面是为了帮助学生初步感知今天这节课学习的因数和倍数与以前学过的知识不一样，另一方面是让学生写出更多除法算式，为建立因数和倍数的含义做好准备。

2.打破已有认知，在总结中下定义

师：比如12÷4=3，我们可以说12是4的倍数，4是12的因数，也可以说12是3的倍数，3是12的因数。比如2×6=12，我们可以说2是12的因数，12是2的倍数，也可以说6是12的因数，12是6的倍数。接下来有几个问题，什么是倍数，什么是因数？因数和倍数之间有怎样的关系？每个同学先独立思考，想的时候可以借助算式，然后说一说你的想法。

冲突1：辨析乘除法中都有因数和倍数。

生1：我们小组认为只有在除法中才有因数和倍数，比如 25÷5=5，25是5的倍数，5是25的因数。

生2：我不同意，我认为在乘法中也有因数和倍数。比如5×7=35，7是35的因数，35是7的倍数，5是35的因数，35是5的倍数，它们也有因数与倍数。

生3：我觉得这样是不对的，因为5是因数，7也是因数，它们乘起来就是积。

生4：刚才吴老师举的例子，比如2×6=12，可以说2是12的因数，12是2的倍数，也可以说6是12的因数，12是6的倍数。这个算式不就是乘法吗？为什么你认为要在除法里才有因数和倍数？

师：在过去的经验中，你认为乘法里有因数，除法里有倍数。今天我们给倍数和因数新的规定，在乘法和除法里都有因数和倍数。

【赏析】吴老师通过呈现哪些算式里有因数和倍数关系，以及怎样描述因数和倍数等，引导学生在比较中认识因数和倍数的含义。当学生面对因数和倍数的新定义时，他们产生了认知冲突，有的学生还是认为乘法中有因数，除法中有倍数。为了让学生体会到乘除法中都有因数和倍数，吴老师组织学生进行说理辩论，让他们在有理有据地争论中打破旧认知，重建新认识。

冲突2：辨析因数和倍数必须是整数。

生5：我们小组认为，如果除法算式里有余数和小数，就没有因数和倍数，商必须是整数且没有余数的才有因数和倍数。

生6：我有不同意见。如果是小数除以一个整数，比如10.5÷5=2.1，我想说明有小数的除法也可以算出倍数。

生7：刚才吴老师说像2.5×2=5中是没有因数和倍数的，你的算式里有小数，怎么说它有因数和倍数呢？

师：因数和倍数必须是什么样的数？

生8：整数。

【赏析】吴老师在举例时明确告知学生2.5×2=5这样的算式是没有因数和倍数的。不过有学生没有建立因数和倍数的新认知，认为小数除法中是有因数和倍数的。吴老师组织学生展开辩论，最终让学生深刻体会到因数和倍数必须是整数。

冲突3：辨析因數和倍数结果是整数倍。

生9：我来举个例子，5÷2=2.5，5和2虽然都是整数，但是它们没有倍数关系。

师：为什么？

生9：比如2×6=12，12是2的6倍。5÷2=2.5，虽然5和2是整数，但是2.5是小数，所以它们没有倍数关系。

师：不管乘法还是除法里，一个数都要是另一个数的……

生10：整数倍。

师：谁能再来举几个例子？

生11：比如2×8=16，8和16都是整数，16是8的2倍，可以说16是8的倍数，8是16的因数。

师：老师也来举个例子，因为1.2÷0.6=2，所以1.2是0.6的2倍，对吗？

生12：不对，1.2和0.6不是整数。

【赏析】学生的思考是逐步深入的，他们在不断打破原有认知，重建因数和倍数的新定义。此时，学生已经从上一环节关注两个数必须是整数，转移到关注两个数的运算结果。一开始，学生认为除法算式的结果不能有余数，随着吴老师的追问，他们想出了整数倍，即乘法和除法的结果必须是整数，不能是小数。

冲突4：辨析因数和倍数是相互依存的。

师：12是倍数，这样的说法对吗？

生13：不对，要说12是谁的倍数，比如12是6的倍数，12是4的倍数……

师：因数和倍数是成对出现的。

【赏析】数学概念的学习不仅要通过正向的举例，让学生看到成立的因数和倍数的关系，还要通过反向的举例，让学生看到不成立的因数和倍数的关系。在这个教学环节中，吴老师巧妙地通过判断“12是不是倍数”，让学生感受到因数和倍数是成对出现的，它们相互依存，不能单独存在。

3.借助竖线模型，有序找出因数

师：同学们，请找一找36的因数。

（有的学生找了4个，即12、4、3、9；有的学生找了7个，即3、36、1、9、6、4、12；有的学生找到了6、9、12、3、2、18、36、1、4）

师：同学们写得有点乱。这样，我借助一条竖线，竖线左边写1，右边36，接下来该怎么写？

生14：2和18，3和12，4和9，6和6。

师：我们一起找36的倍数，36的1倍是36，2倍是72……它的倍数越来越大，它的倍数找不全，但是因数的个数能找全。这个例子告诉我们什么？

生15：一个数的因数个数是有限的，它的倍数个数却是无限的。一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。

师：我们学习数学要学会有序思考。

【赏析】在这个教学环节中，学生尝试找一个数的因数，刚开始他们都在无序地找，出现了找不全的局面。这时，吴老师借助竖线，不仅带领学生体会了有序思考的魅力，还让学生自己发现了因数和倍数的奥秘。

二、对数学概念教学的启示

皮亚杰的认知发展理论中的观点是，个体的认知发展是在认知不平衡时通过同化或顺应来达到认知平衡，认知不平衡有助于学生构建自己的知识体系。吴老师在教学“因数与倍数”一课中利用当前知识与学生已有认知之间的矛盾，让学生经历了“认知冲突—打破已有认知—建立新的认知”的过程，建立了因数和倍数的含义，并运用概念探究找一个数的因数和找一个数的倍数的方法。

其实，许多数学概念的教学都可以像吴老师那样充分利用课堂中学生的认知冲突。比如，学生在学习“万以内数的认识”一课时，他们发现数到9999就不能再数了，这时教师要在认知冲突中引导学生利用十进制创造新的计数单位。又如，在学习“轴对称图形”一课时，有的学生在“平行四边形是否是轴对称图形”这一问题上产生了分歧，此时教师要把全班学生分成“赞同派”和“反对派”，让学生在举例说理中深刻理解轴对称图形的本质，并判断一个平面图形是否是轴对称图形。又如，在学习“加法交换律”后，有的学生猜想在减法、乘法和除法中是否有交换律，也有的学生联想到三个加数、四个加数，甚至更多个加数相加是否都能用加法交换律计算，此时，教师就要让学生在认知冲突中展开验证活动。

总之，教师在开展教学活动时充分利用教育学和心理学中的原理，结合数学教材和学生学情，才能让学生在思考和理解中学习数学概念，让学生把数学想明白、做出来，从而掌握数学思维方法。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 叶柳君.善问于学，让数学思维真实发生：“因数和倍数”教学实践与思考[J].数学教学通讯，2022（28）：38-40.

[2] 宋煜阳.开启单元知识探究，指向推理意识进阶：“因数与倍数”（第一课时）教学思考与实践[J].教育视界，2022（29）：39-42.

[3] 顾美华.寓教于乐  寓思于玩：“因数与倍数”教学片段及赏析[J].小学教学（数学版），2021（4）：58.

（责编 黄 露）