不同教材中“因数与倍数”的例题比较

方芳

［摘 要］以人教版、苏教版和北师大版教材为例，从例题编排的结构、例题的引导语类别和例题的呈现方式等三个方面比较不同版本教材中“因数与倍数”的内容，分析这一内容的例题在不同版本教材中的差异，便于教师在备课时选择合适的教学素材，促进学生结构化学习。

［关键词］因数与倍数；教材；例题

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2023）14-0036-03

“因数与倍数”是“数与代数”板块中的内容。《义务教育数学课程标准（2022年版）》中对“因数与倍数”一课的“内容要求”是认识倍数和因数的含义，“学业要求”是掌握求一个数的倍数的方法、求一个数的因数的方法。虽然各版本教材都按照《义务教育数学课程标准（2022年版）》中的要求进行编写，但是具体的教学内容各有特色。

一、三个版本教材例题编排的结构比较

1.编排顺序略有不同

人教版教材的“因数与倍数”一课编排在五年级下册第二单元，苏教版教材的“因数与倍数”一课编排在五年级下册第三单元，北师大版教材的“倍数与因数”一课编排在五年级上册第三单元。

通过比较发现，人教版教材先是从对9个除法算式进行分类中引出因数和倍数的概念，再找出一个数的所有因数和找出一个数的所有倍数。这样的编排体现了由具体到抽象，再由抽象到具体的理念，帮助学生掌握概念。

苏教版教材是先从“每排摆几个，摆了几排”的问题中引出因数和倍数的意义，再给出求一个数的因数的方法和求一个数的倍数的方法，帮助学生积累数学活动经验。

北师大版教材从生活情境中引出乘法算式，帮助学生初步建立倍数和因数的概念，让学生探索求一个数的倍数的方法。

三个版本教材都是让学生在乘法或除法算式中认识倍数和因数，理解倍数和因数是一组相互依存的概念。

2.单元编排主线各异

“因数与倍数”属于数论的内容。人教版教材的单元标题是“因数与倍数”，这个单元包括因数与倍数的概念，找出一个数的因数，找出一个数的倍数，2和5的倍数的特征，认识偶数与奇数，3的倍数的特征，质数和合数的概念，制作100以内的质数表，解决问题（探索和的奇偶性）。

苏教版教材的单元标题是“因数与倍数”，这个单元包括因数和倍数的含义，找一个数的因数，找一个数的倍数，2、5和3的倍数的特征，质数和合数的含义，质因数的含义，分解质因数，认识公因数，认识公倍数，求两个数的最大公倍数，求两个数的最小公倍数。

北师大版教材的单元标题是“倍数与因数”，这个单元包括倍数与因数的含义，探究2、5和3的倍数的特征，找因数，认识质数、合数。

由此可以看到各版本教材的单元编排主要有两个不同：第一是单元教学内容不同，人教版教材和北师大版教材把公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数的内容移到“分数的意义和性质”单元中，为学习约分和通分等知识服务；第二是知识侧重点不同，人教版教材和苏教版教材的单元标题都是“因数与倍数”，而北师大版教材的单元标题是“倍数与因数”。笔者从前测中发现学生了解有关倍数的知识较多，对因数的知识了解甚少，因此，北师大版教材的单元标题更符合学生的认知。

二、三个版本教材例题的引导语类别比较

例题是指教材中用来帮助学生探究并认识数学知识的题目。例题中的引导语不仅能激发学生的好奇心和探究欲，还能给学生提示，帮助他们找到正确的解题方向。

知识引导是通过卡通人物对话或气泡图等方式，告诉学生相关的数学知识。如北师大版教材出示运动会上两个班同学的队形后，出示“9×4=36（人）”和“5×7=35（人）”，要求分别计算出两个班的人数。

方法引导是借助卡通人物对话或气泡图等方式，给学生提示。如苏教版教材在“找出36的所有因数”这道题目中出示了“想一想，怎样找可以做到不重复、不遗漏”的提示语。

问题引导是通过提问的方式，引导学生思考问题。如苏教版教材中“你能在右图中表示出3的倍数吗”。

反思引导是在学生完成某道例题后，通过卡通人物对话或气泡图等方式，引导学生反思解题过程。如苏教版教材中“回顾解决问题的过程，你有什么体会”。

为了清楚地看到三个版本教材中“因数和倍数”一课的引导语，并分析引导语的作用，笔者对三个版本教材中不同课时内容的引导语进行了梳理。

三个版本教材中“认识因数和倍数”内容的引导语类别见表1，“求一个数的因数的方法”内容的引导语类别见表2，“求一個数的倍数的方法”内容的引导语类别见表3。

笔者分别统计了不同版本中各种例题引导语的使用频率（见表4）和不同内容中各种例题引导语的使用频率（见表5），以便能直观地看到各种引导语的使用频率。

从不同版本角度看，人教版教材和苏教版教材中的引导语都涉及知识引导、方法引导、问题引导和反思引导，但北师大版教材中没有使用反思引导。三个版本教材中使用频率最高的是问题引导，其次是方法引导和知识引导。从不同内容角度看，“求一个数的因数的方法”课时使用引导语次数最多，其次是“求一个数的倍数的方法”。

三、三个版本教材例题的呈现方式比较

三个版本教材的例题呈现方式各有不同，具体表现在知识的导入和插图的设计两个方面。

1.三个版本教材例题导入都采用了“具体—抽象—具体”的思路

人教版教材先让学生观察除法算式并分类，概括出“是否有余数”的分类标准，再聚焦没有余数的除法算式，说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。学生先经历从具体到抽象的推理过程，再具体学习求一个数的因数和求一个数的倍数。

苏教版教材让学生先用12个同样大的正方形拼成一个长方形，根据不同拼法写出乘法算式，再结合算式说明因数和倍数的含义，感受因数和倍数的内在联系，最后，找出36的所有因数，用列举的方法找出3的倍数。在这个学习过程中，学生是从具体的算式抽象出因数和倍数的概念，运用概念创设了找因数和找倍数的具体活动。

北师大版教材先让学生计算两个班同学的人数，根据乘法算式提炼出倍数和因数的概念，再让学生运用概念判断因数和倍数，最后探索找7的倍数的方法。在这个学习过程中，学生经历了“具体—抽象—具体”的过程，不仅能掌握数学概念，还能发展推理能力。

2.三个版本教材例题中的插图设计

三个版本教材的例题插图都颜色鲜艳，富有童趣，能激发学生的学习兴趣。根据插图功能的不同，笔者将插图分为装饰型插图、表征型插图、组织型插图和解释型插图。

装饰型插图是为了美化素材，提高学生的注意力和审美能力，但对数学学习没有实质性作用。

表征型插图能提供数学信息，帮助学生解决数学问题，如数学信息图和数据图表等。

组织型插图能让学生清楚地看到操作过程，如探究题中的实验步骤。

解释型插图是用来说明解题过程的。

四种插图的数量在三个版本教材例题中的分布情况见表6。

三个版本教材中“因数与倍数”一课的插图数量相差不大，大多采用表征型插图和解释型插图。

综上所述，三个版本教材在例题编排上大同小异，在例题引导语上各有千秋，教师要多使用表征型插图和解释型插图，用生动活泼的图片吸引学生的眼球，促进学生在提示中找到解题方向，更好地运用数学知识解决问题。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 肖婷.指向深度学习的小学数学单元主题教学设计研究[D].陕西：陕西师范大学，2021.

[2] 郑淑敏.在尝试探索中感悟内涵、领会方法：“因数与倍数”教学实践与思考[J].小学数学教育，2021（20）：70-71.

（责编 黄 露）