基于T-S模糊模型的下肢关节运动跟踪控制

张巍巍,梁 婷,潘俊涛,高 峰

(1. 北方民族大学电气信息工程学院,宁夏 银川 750021;2. 宁夏医科大学总医院,宁夏 银川 750004)

1 引言

近些年来,在全球范围内,获得性神经损伤患者(如脑卒中、脑外伤和脊髓损伤等)数量越来越大,与之伴随的是对康复的需求也越来越大[1,2]。功能性电刺激(Functional electrical stimulation,FES)是临床应用中主要的肢体智能康复技术之一[3]。其利用低频电流脉冲诱发肌肉收缩,使瘫痪的肢体再学习和重组,完成相应的运动功能。相比其它康复治疗技术,FES还可以促进肌肉再学习,加强血液循环,防止肌肉萎缩,具有很高的研究价值。然而,成熟的FES产品的开发还面临许多问题,例如,电刺激-关节运动之间的动态关系本质为一类具有强干扰和不确定等特征的高阶非线性系统[4],考虑到患者个体差异和运动后肌肉疲劳等干扰因素,FES控制系统可能无法完成预期的关节运动。

为实现高精度的功能性电刺激控制,各国研究学者都展开了深入的研究,先后出现了多种基于不同控制理论的控制算法。最早的FES系统控制算法是Chizeck等提出的手动开关控制[5]。Shimada等人使用加速度传感器检测足下垂患者的步态,用加速度信号触发电刺激仪器产生指定刺激电流来校正足下垂患者的步态[6]。这类开环控制系统中,功能性电刺激输出的刺激参数(刺激幅值、频率、波形)是固定的,依赖于康复指导师的经验设置,采用固定的脉冲序列进行刺激,这样的方式要么产生多余的刺激量导致肌肉疲劳,要么刺激量不足难以使肌肉产生相应的收缩来完成规定的训练运动,难以达到理想的康复效果。

为实现刺激量的精确调节,文献[7-10]使用自适应PID控制器和模糊PID控制器,系统存在干扰时也能取得较好的控制效果,但对电刺激-关节运动的非线性模型进行了简化;吴强等[11]使用了神经网络滑模控制方法,陈盛勤[12]和Freeman[13]基于迭代学习控制了肘关节的运动,以上文献中也均为考虑控制输入的约束问题。文献[14,15]分析了电刺激-关节运动的鲁棒控制,得到了系统稳定的线性矩阵不等式(linear matrix inequality,LMI)条件,但从仿真结果看,系统的过渡时间较长。

因此,面对复杂的非线性生物系统,如何设计非线性控制算法以有效提高运动控制精度和控制器的自适应问题一直是该领域的难题,目前依然缺乏系统化的设计方法和有效的处理手段。

模糊控制凭借其不依赖于控制对象精确数学模型的优势给复杂非线性系统的控制综合研究带来了新的契机,特别是Takagi-Sugeno(T-S)模糊理论的提出为利用成熟的线性系统理论知识研究复杂非线性系统成为可能。T-S模糊模型的主要思想是将输入空间分为若干个模糊子空间,在每个模糊子空间建立关于输入/输出的局部线性模型,然后使用隶属度函数将各个局部模型平滑地连接起来,形成一个全局的非线性模型[16-21]。T-S模糊模型正是凭借其具有的万能逼近性质和线性子系统后件为研究复杂非线性系统的控制问题提供了一套系统有效的解决办法。

本文提出了一种T-S模糊控制方法实现电刺激下膝关节运动的跟踪控制,通过引入虚拟期望轨迹,将跟踪控制问题转换为稳定性问题;基于Lyapunov稳定性理论,分析得到了系统稳定的充分条件,通过仿真验证,设计的二种控制器可以实现膝关节角度的精确跟踪控制。

2 电刺激-膝关节运动跟踪控制

本文以下肢膝关节运动为例,讨论膝关节在电刺激下的运动跟踪控制问题。

2.1 电刺激-膝关节运动模型

假设患者坐在高椅上,上身及大腿固定不动,踝关节与脚保持一定角度,可视作一个整体,则膝关节的运动可以看做是由两个刚性部分组成的运动系统:大腿和胫足复合体,如图1所示,该系统的平衡方程为[14,15](文中与角度θ有关的变量均随时间变化,为书写简洁,均省略后缀(t)的说明)

图1 膝关节电刺激示意图

(1)

刚性力矩Ms为

Ms=λe-Eθ(θ-ω)

(2)

式中,λ和E是指数项的系数,ω是膝关节弹性静止角。

肌肉受到电刺激产生的有效力矩Ma和电刺激的脉冲宽度(P)之间的关系是

(3)

其中G和τ为电刺激仪系统常数。

(4)

(5)

2.2 T-S模糊模型

对于一类仿射非线性系统

(6)

其中x∈Rn为状态变量,y∈Rm为系统输出,u∈Rm为输入变量,f(x)和g(x)都为光滑非线性函数。采用扇区非线性方法,系统(6)可以精确表示为T-S模糊模型的形式,该模型主要是通过“IF-THEN”模糊规则描述非线性系统,每个模糊规则表示一个模糊子系统,整个模糊系统是每个模糊子系统的线性组合。其中第i个规则的表达形式为:

模糊规则i

(7)

经过单点模糊化、乘积模糊推理和加权反模糊化,得到系统的全局状态方程为

(8)

式中z(t)=[z1(t),…,zp(t)],记

(9)

则系统的状态方程可写为

(10)

对任意时间t,有

(11)

(12)

(13)

模糊子系统为

(14)

(15)

(16)

2.3 基于T-S模糊模型的跟踪控制器设计

在上节建立的电刺激-膝关节运动模型的基础上,本节设计基于该模型的跟踪控制器,使得膝关节的角度能跟踪给定的运动轨迹。假设期望的运动轨迹为r(t),控制的目标是使得当t→∞时,y(t)-r(t)→0。本文引入虚拟变量,将跟踪问题转化为稳定性问题,定义虚拟期望轨迹xd(t),可以跟踪系统状态,跟踪误差为xe(t)=x(t)-xd(t),由式(10),其微分为

(17)

令

(18)

μ(t)为待设计的新的控制量。则:

(19)

对于跟踪系统(18),如果能设计控制量μ(t)使其是稳定的,即xe(t)→0 (t→∞),x(t)跟踪了xd(t)。基于PDC方法,控制量μ(t)设计为

μ(t)=-Fhxe(t)

(20)

将式(19)带入式(18),得到闭环系统为

(21)

为了得到原系统(10)的控制率,将式(18)重写为:

(22)

其中,0n-m∈R(n-m)×m表示零矩阵,B(x)m∈Rm×m是非奇异矩阵。同理,将Ah和xd(t)也进行相应的划分

式(21)可以写为下面的形式

(23)

由式(20)和式(23),可以得到虚拟期望轨迹和控制率为

(24)

(25)

对于系统式(19),求得反馈控制率式(20)后,可由式(25)求得原系统的跟踪控制率。下面的定理给出了系统式(19)渐进稳定的条件。

定理1:对于闭环系统(19),如果存在对称正定矩阵P=PT>0,矩阵Mi,使得以下线性矩阵不等式(linear ineqution matrix,LMI)成立

(26)

(27)

i=1,2,…,r,j=2,3,…,r,且i

则系统(19)是渐进稳定的。

若以上LMIs有可行解,则反馈增益矩阵

Fi=MiP-1

(28)

证明:考虑形如V(x(t))=xT(t)P-1x(t)的公共Lyapunoy函数,采用类似文献[16]中定理2和文献[17]中定理2的证明方法,可证得该定理,这里略去。

定理2:对于闭环系统(19),假设系统初始状态x(0)已知,如果存在对称正定矩阵P=PT>0,矩阵Mi,α>0,使得以下LMIs成立

(29)

(30)

(31)

(32)

证明:考虑形如V(x(t))=xT(t)P-1x(t)的公共Lyapunoy函数,假设x(0)P-1x(0)≤1,详细证明过程可以参考文献[18]中定理1和文献[20]中第三章定理11的证明过程,这里不再展开。

定理1和定理2中LMIs有可行解时,系统(19)是渐进稳定的,即原系统可以跟踪给定的运动轨迹。

3 膝关节跟踪控制仿真验证

为了验证上节定理1和定理2所提控制器的有效性,在Matlab/Simulink平台下进行仿真。胫足复合体的相关参数如表1所示。

表1 胫足复合体参数表

(33)

(34)

(35)

根据定理1,使用YAMIP工具[21]求解LMIs得到未考虑输入约束和衰减率的控制器增益为

F1=[2.5832 0.6648 0.1013]×10-3

(36)

F2=[5.0453 1.1262 0.2032]×10-3

(37)

F1=[4.5180 1.0544 0.3441]×10-3

(38)

F2=[2.7421 0.9971 0.3279]×10-3

(39)

图2 膝关节角度跟踪曲线(定理1)

图3 膝关节运动角速度跟踪曲线(定理1)

图4 电刺激力矩曲线(定理1)

图5 电刺激脉冲宽度曲线(定理1)

图6 膝关节角度跟踪曲线(定理2)

图7 膝关节运动角速度跟踪曲线(定理2)

图8 电刺激力矩曲线(定理2)

图9 电刺激脉冲宽度曲线(定理2)

4 结论

本文基于T-S模糊模型,研究了功能性电刺激下膝关节的跟踪控制,引入虚拟期望轨迹,将跟踪控制问题转化为稳定问题,分别得到了未考虑和考虑衰减率和输入约束的跟踪控制器存在的充分条件,以LMIs的形式给出。仿真结果验证了该方法的有效性。但本文尚未考虑患者差异带来的模型不确定性和肌肉疲劳引起的干扰,未来的工作会针对此问题进一步分析。