以能量表征的平面应变及平面应力Ⅰ型裂纹J 积分解

2023-07-28冯子夜蔡力勋于思淼

航空学报 2023年12期

冯子夜，蔡力勋，于思淼

西南交通大学力学与航空航天学院，成都 610031

J 积分作为一个定义明确、理论严谨的弹塑性断裂力学基础参量，既能表征裂纹尖端应力应变场程度，又能与加载过程中能量相关而可以通过试验进行测定，因此， J 积分理论表征对于含裂纹结构的安全评价有重要意义。

1921 年，Griffith［1］提出了能量平衡理论，奠定了断裂力学基础。1957 年，Irwin［2］提出了应力强度因子概念，并与能量释放率建立联系，使断裂力学进入新阶段。1967 年和1968 年，Cherepanov［3］和Rice［4］独立提出了J 积分概念，不久，Rice［5］和Hutchinson［6］等，提出了描述平面裂纹的裂尖弹塑性应力应变场理论解，即HRR 场奇异解，为弹塑性断裂力学发展奠定了基础。1972 年，Begley 和Landes［7］提出了以J 积分为控制参量的弹塑性断裂准则，将J 积分作为延性材料裂纹试样断裂判据，在材料与结构弹塑性裂纹问题的安全评价中得到应用。1981 年，Kumar等［8-9］基于Shih 和Hutchinson［10-11］所提出的对Ⅰ型裂纹试样J 积分与载荷关系的方程，针对6 种裂纹试样，通过大量有限元计算编制了用于插值求解材料弹塑性J 积分的、含大量离散式有限元分析数据表格的EPRI（Electric Power Research Institute）手册。EPRI 手册数据应用繁琐，并未得到广泛工程应用。20 世纪90 年代，为研究平面约束度对J 积分的影响，O’Dowd、Shih、Chao 和Nikishkov 等陆续提出了的J-Q［12-13］理论、J-A2理论［14-15］、J-A 理论［16-18］，对不同的材料及几何形状进行了一系列详细的有限元分析，计算量很大。

在现有方法中，J 积分的计算可以分为2 大类：一是按照简化模型或者工程估算方法进行计算，如EPRI 法，二是通过有限元分析或试验方法获取J 积分值。Qian 等［19］利用有限元分析对多种试样的J 积分进行了求解，但理论性不足。贺屹等［20］建立了J 积分-载荷半解析公式，仅求解了平面应变条件下的J 积分。在现行的断裂韧度试验方法［21-22］中，主要对裂纹尖端具有符合平面应变条件的高约束度标准紧凑拉伸（Compact Tension，CT）试样、单边裂纹弯曲（Single Edged notched Bending，SEB）试样、圆形紧凑拉伸（Round Compact Tensile，RCT）试样［23］等进行试验以获得材料断裂韧度。此外，中心穿透裂纹（Center Cracked Tension，CCT）板试样［24］、双边裂纹拉伸（Double Edge-notched Tension，DET）试样以及C 型拉伸（C-shaped Inside Edgenotched Tension，CIET）试样［25］等也被应用于断裂韧性试验。

材料Ⅰ型裂纹试样的J 阻力曲线均受到几何尺寸的约束影响。在线弹性条件下，K 因子有大量数值公式与解析公式，不同于K 因子，J 积分较缺乏描述公式，并未形成公式手册。1973 年，Rice 等［26］针对SEB 试样首次提出J 积分塑性分量与2 倍纯塑性应变能成正比的解析方程，同期，陈篪等［27］也独立提出了相同方程。1979 年，Hutchinson 和Paris［28］针对Ⅰ型裂纹提出了纯塑性J 积分与塑性因子ηp的关系方程

式中： B 表示试样厚度；W 为试样宽度；a 为试样裂纹长度；Up表示塑性应变能，可由载荷位移曲线获得；无量纲塑性因子ηp多由有限元分析确定，通过有限元模型计算提取J 积分值，减去弹性部分，根据式（1）逆向求解获得。1980 年，Ernst 和Paris［29］进一步证明了J 积分塑性分量与ηpUp呈正比关系。Donato［30］和Huang［31］等分别在2006 年和2014 年通过有限元分析对SEB 试样的因子进行了综合分析，认为ηp与材料、几何、变形均相关。

目前为止，学者们所提出的获取J 积分的方法公式形式复杂，缺乏更简易的方式获得形式统一的表达式。本文基于能量密度等效［32-34］，考虑有效变形体积效应对含裂纹试样J 积分的影响，提出了以能量表征的、适用于平面Ⅰ型裂纹试样J 积分半解析解。

1 Ⅰ型裂纹试样应变能

弹塑性力学中物理关系，即等效应力应变关系可采用Ramberg-Osgood 律（R-O 律）来表征

式中：σeq、εeq、εe-eq和εp-eq分别为等效应力、等效应变、等效弹性应变和等效塑性应变；E、K、N 分别为弹性模量、应变强化系数和应力强化指数。

对于单向受载、各向同性、材料本构关系为幂律或线性的任一构元，根据积分中值定理，在其有效变形域内存在一个能量密度中值点M［35-36］，使得构元的总应变能U 与点M 代表性体积单元（Representative Volume Element，RVE）的应变能密度之间有如下关系

式中：μM为点M 材料RVE 的应变能密度；Veff为构元的有效变形域体积。进一步地，复杂应力状态下点M 材料RVE 的应变能密度可等效转换为单轴应力状态下RVE 的能量密度［37］，即

式中：σij和εij分别为复杂应力状态下的应力张量和应变张量；σeq和εeq分别为简单应力状态下的等效应力和等效应变。

由式（3）和式（4），受载试样在有效变形域内的应变能可表示为

在弹塑性条件下，根据文献［8］，单向受载的Ⅰ型裂纹构元试样的总应变能U 可以表为纯弹性应变能Ue与纯塑性应变能Up的工程叠加，即

式中：h、he和hp分别为载荷P 作用下加载线总位移、弹性位移和塑性位移。

结合式（4）、式（5）和式（6），Ⅰ型裂纹试样的无量纲应变能可表示为

式中：m 为有效体积折减指数。在纯塑性条件下，假设

式中：k1和k2分别为塑性位移系数和塑性位移指数。考虑试样点MRVE 的等效应变与等效应力与加载线位移有关，即

式中：k3和k4分别为应变系数和应变指数。则由式（7），塑性应变能Up可表为

式中：mp为纯塑性变形指数；ξp为纯塑性能量-位移曲线的曲度。

在纯线弹性条件下，N=1，由式（7），应变能Ue关于位移的表达式可设为

式中：k0为弹性体积系数。

在弹塑性条件下

2 Ⅰ型裂纹试样J 积分解

在弹塑性条件下，单向受载试样的Ⅰ型裂纹试样在变形过程中，总位移可由按工程叠加得到［9］

由功能原理即

考虑式（11）、（12），以he和hp分别对式（15）分别求导，并结合式（14）可得到表述Ⅰ型裂纹试样弹塑性载荷-位移关系的半解析解

由J 积分的Rice 能量定义

式（11）对裂纹长度a 求导后，结合式（16）和式（17）得到载荷-J 积分方程，无量纲化后可得Ⅰ型裂纹试样的纯塑性J 积分

式中：J*为特征J 积分。结合式（11）、式（16）和式（18）可得Ⅰ型裂纹试样纯塑性能量-J 积分解

同理，可得到I型裂纹试样纯弹性能量-J积分解结合式（19）和式（20）可得到Ⅰ型裂纹试样能量-J 积分解

无量纲简化后可表示为

式中：U*为特征能量，式（22）或式（21）称为基于能量的平面Ⅰ型裂纹J 积分半解析解。

3 模型参数的确定方法

本文模型参数均可由有限元计算确定，标定方法由图1 框图流程所示，固定材料参数E、N 和K，计算不同a/W 的载荷-位移曲线获得参数m；计算不同弹性模量E 确定参数k0；计算不同N 的载荷-位移曲线确定参数k1～k4，文中有限元模型均采用PLANE182 单元，弹性模量E=210 GPa，泊松比v=0.3。表1 给出了不同试样的有限元（FEA）模型及模型适用尺寸。

表1 试样FEA 模型及尺寸Table 1 FEA model and dimension of specimens

图1 参数标定Fig. 1 Parameter calibration

考虑到有限元模型关键部位网格密度会对计算精度产生较大影响，为提高计算精度，通过网格加密法选取合理的网格密度。定义裂纹尖端0.02 mm 半径内，单元数量为8 时为一倍网格密度，图2 给出了CT 试样裂尖网格划分方式，图3 给出了不同网格密度下计算得到的载荷-位移曲线对比。在保证计算精度的前提下，为提高计算效率，本文选取较疏网格密度模型进行计算。表2 和表3 分别给出了不同试样在平面应变及平面应力条件下的参数标定结果。