巧用错误资源，提升数学思辨能力

［摘  要］ 犯错误是学生在学习过程中必然出现的一种现象，它是学生在概念理解、公式运用和方法应用时出现的偏差. 学生只有正确认识错误，才能纠正偏差. 教师要通过学生错误的展示，引导学生分析错误、纠正错误，使学生认识数学本质，提升思辨能力.

［关键词］ 错误资源；思辨能力；数学本质

数学学习过程中常常出現的错误分为两类，一类是因为粗心、审题不仔细所犯的低级错误，另一类是由于没有理解概念的本质，未能正确掌握数学的思想和方法造成的高级错误. 总之，在数学学习过程中所产生的与事实不相符的理解以及解题中出现的问题都称为数学错误. 本文主要论述如何利用学生在学习过程中产生的高级错误，抽丝剥茧，寻找错因，从而提升学生的思辨能力. 高级错误在学习过程中并不一定是显性的，它可能隐藏在学生的思维方法中，如果不细心发现很难察觉. 这些错误还具有典型性和共享性，是同一认知阶段的学生容易共同存在的错误. 因此这些错误资源是课堂教学中的重要资源，善加利用可以很好地提升学生的思辨能力. 数学思辨能力是指对于具体问题具备思考、分析、推理和判断的能力以及能够对同类事物的属性进行类比的能力. 数学思辨能力是学生学习数学需要具备的基本品质和关键能力，体现了数学的核心素养，是形成数学思想方法的基础. 然而大部分学生的思辨能力并不乐观，表现出做过听过的不一定会，没有听过做过的一定不会，说明他们普遍缺少独立思考和解决问题的能力，更不用说运用知识去解决实际生活中的问题. 为了提升学生的思辨能力，教师可以充分且巧妙地运用错误资源. 在教学中，教师可以引导学生主动探究，展现思维冲突，让学生自主发现和判断错误，在分析、思考和判断中获得成果，从而产生更加深刻的认识，理解数学的本质. 本文以一道三角函数题的求解教学为例，论述错误资源对提升学生数学思辨能力的作用.

展示错误，增强思辨意识

数学概念、定理、公式等是从具体事物中提取的有关数量关系和空间关系的本质属性，具有抽象性和生成性的特点，运用这些数学知识解决问题时必然经历曲折的过程，难免发生一些错误，这就需要学生运用思辨意识，不断审视发生在自己身上的错误，突破固定思维，实现认识深化. 大脑对表象的觉察称为意识，意识具有辨识真伪的重要功能. 在教学中，教师要着重发展学生的思辨意识，以提升学生的思维能力. 因此，教师应正确认识学生的错误，鼓励学生勇于表现自己，让学生将自己的思维过程展示出来；教师应尽量给予学生充分的思考空间和时间，让学生主动暴露问题并正确分析这些问题，以此刺激学生头脑中的思辨意识，引导学生深入思考和深度探究，激发新的生成.

错误生成，提高数学思维

数学思维是数学学习的必然要求和必备特征，它的主要表现是学生具备批判性思维——既具有批判能力，也具有批判精神. 学生拥有批判性思维后能够主动判断依据是否正确，可以概括中心思想，可以独立自主地进行思考、质疑. 批判性思维不仅对学生的学习具有重要作用，对学生的长期发展也具有深远意义，有利于培养学生的创新意识和创新思维. 因此，教师在教学中要有计划地培养学生的数学思维，使学生能够从多个角度理性地思考问题，从思维层面去认识错误，提高思维品质.

在上述教学过程中，学生已经找到了错误，但是课堂讨论不止于此，而是引导学生继续探究，使学生超越错误，发展创新意识.

师：很好！这道题还能进行其他的变式练习吗？

生9：我编造了这样的变式题：已知tanα=-，计算的值.

师：这道题你是怎么想到的呢？它与原题有没有关系？

生9：是这样的，因为tanα=-<0，所以α是第二象限或第四象限的角. 对此，我进行分类讨论，发现两种情况的结果都是，所以我认为这道题和原题是有关系的，不知道对不对.

师：原来你是这样想的，生9给我们又提出了一道新题，大家讨论一下，说说自己的意见.

生10：tanα=-决定了sinα和cosα的取值，而且限定了α的取值范围. 角的取值范围也就确定了我们需要的符号. 因为α为第二象限或第四象限的角，所以sinα·cosα的两倍的值是不变的. 当此题作为填空题或选择题时，只要按照α的取值范围进行计算就可以了，但如果此题是解答题，那么还是要进行分类讨论.

师：非常好，生10分析得很严谨而且有条理，他能够敏锐地抓住主要矛盾，提出了不同的解决方案.

生11：我也想到了这样一道题. 已知tanα=-2，求的值. 这两道题有相似的结构，只要将生9给出的变式题简化为，进一步得到，就不需要求sinα和cosα的值，也不需要分类讨论了.

师：太精彩了！生11的思维更具创新性，不被固有的思维所束缚，打破了惯性，从更高层次看待了问题，在不同的角度展开了批判性思考，最终成功地解决了问题.

审视错误、纠正错误并不是运用错误资源的根本目的，根本目的是深化学生对数学的认识，让学生理解数学本质，发展学生的数学思维. 在这一原则的指导下，教师应充分利用审视错误时生成的新资源，逐步引导学生进行问题变式. 面对学生提出的变式题，教师通过追问激发学生的探究欲，引发学生的思维碰撞，不断强化学生的思辨意识. 对同一问题进行不同角度的探讨，可培养学生的批判思维，提升学生的核心素养.

问题是学习的载体，只要学生能正视错误、分析错误、纠正错误、探寻错误本质，就能不断接近数学本质，在探究错误的过程中学会用数学的眼光看待世界，实现长远发展.

作者简介：张丽娟（1983—），本科学历，中小学一级教师，从事高中数学教学与研究工作.