基于粒子群优化算法的相关向量机边坡稳定性分析模型

张研, 付闵洁, 王鹏鹏, 梁剑明, 郭道静

(1.桂林理工大学,广西岩土力学与工程重点实验室, 桂林 541004; 2.广东省海洋地质调查院, 广州 510080)

边坡稳定性分析是边坡灾害防治的核心内容之一,是判断边坡是否需要加固及加固措施选择的重要依据。目前,极限平衡法和数值模拟法是评估边坡是否稳定的常用分析方法。前者作为经典稳定性分析方法只能假设滑动面,且没有考虑岩体的应力-应变关系,无法精准评判岩体力学真实变化情况。相较极限平衡法,数值模拟法虽可较准确的分析岩体变形、应力分布等,但其仍有安全系数概念模糊等问题[1-5]。边坡作为动态开放系统,影响其稳定性的影响因素较多,多数影响因子随机多变,与边坡稳定性之间存在着复杂的非线性映射关系,故传统分析方法有其相对局限性。为了更好地治理和防护边坡,指导边坡工程的设计和施工,边坡稳定性分析方法的研究成为现场工程师和科研工作者关注的焦点[6-9]。

近年来机器学习快速发展,为边坡稳定性分析提供了新思路。刘春等[10]借助灰色系统理论,并建立数学模型,探讨边坡岩体稳定性对于不同影响因素的敏感度,该理论系统考虑了工程中边坡的实际问题,在边坡稳定性预测问题上取得良好的成效;杨雅萍等[11]采用交叉变异优化的蝙蝠算法预测边坡稳定性,该理论系统通过对所选 110 组影响边坡稳定性的因素作为样本进行模型建立、训练与预测,选用经典边坡算例验证,与其预测结果接近;贺可强等[12]通过收集选取38个边坡数据,明确6处变量,采用反向传播算法的前馈神经网络,建立边坡稳定性预测算法模型,在测试数据中泛化能力较好;胡军等[13]在人工神经网络预测边坡稳定性的基础上,协调粒子群算法优化BP(back propogation)神经网络模型,建立了基于协调粒子群(coordinated particle swarm optimization,CPSO)-BP边坡稳定性的模型,该模型较BP神经网络更好实现对边坡稳定性的预测精度。尽管诸多学者针对边坡稳定性问题进行了较多基于机器学习的探讨与研究,但神经网络存在收敛速度慢,预测精度偏低,需调整参数过多等问题。支持向量机参数较少,其训练时长随训练样本增加而延长,且核函数必须满足 Mercer 的条件。

为有效避免上述问题对预测结果的影响,相关向量机(relevant vector machine, RVM)的机器学习方法[14-15]被提出,该方法在处理非线性数据和预测回归问题上展示了其强大优越性。相关向量机[16-17]是基于支持向量机的理论基础发展而来,有多种数据处理技术的机器学习方法,其更具稀疏性,可概率输出,且核函数选取灵活。单一RVM模型在计算效率和寻找参数方面并非最优,为提高其效率和精确度,利用粒子群优化算法对RVM模型进行优化,更好的帮助RVM模型寻找最优参数,解决手动调节的困难,使整个模型的流程实现自动化。

考虑到边坡为动态开放系统以及其稳定性预测的复杂性,以具体实例数据为依托,筛选出岩体重度、黏聚力、内摩擦角、边坡角、边坡高度、孔隙压力共6个评价指标,通过大量现场实测信息与稳定性安全系数作为机器学习样本。采用相关向量机对实测信息,稳定性安全系数进行学习,建立边坡稳定性安全系数与其各影响因素间的非线性映射关系,并利用粒子群算法进行参数寻优,建立边坡稳定性的粒子群优化算法的相关向量机预测分析模型,为边坡安全系数的获取提供一种新方法。

1 PSO-RVM基本原理

1.1 相关向量机原理

RVM[18-19]是基于贝叶斯原理的一种可学习数据特征的概率模型,在各个权值ω之上定义超参数α影响的独立先验概率。若训练数据集为{xn,tn|n=1,2,…,N},其中xn和tn分别为输入值和输出值,令tn独立分布,得tn的函数关系式为

tn=y(xn;ω)+ξn

(1)

(2)

(3)

式(3)中:yc代表核函数中心;σ代表高斯核宽度。

设tn为相互独立分布,则似然函数为

p(t|ω,σ2)=(2πσ2)-

(4)

式(4)中:t=(t1,t2,…,tN)T;ω=[ω0,ω1,…,ωN]T;Φ为N×(N+1)阶矩阵。

假设ωn服从均值为0、方差为αn-1的高斯条件概率分布,即

(5)

式(5)中:α为权值ω的先验超参数,假定超参数α和噪声参数σ2服从Gamma先验概率分布,即

(6)

P(σ2)=Gamma(c,d)

(7)

Gamma(a,b)=Γ(a)-1baαa-1e-ba

(8)

(9)

为获取更均匀的超参数,一般规定常参数a=b=c=d=0。

则ω概率分布为

1.2 仪器和试剂 迈瑞Mindray公司的五分类细胞分析仪；Dympus BX50型显微镜；广州万孚公司的恶性疟原虫抗原检测试剂；染色液为RR8姬姆萨染液。

=(2π)-(N+1)/2|Σ|-1/2·

(10)

式(10)中: Σ=(σ-2ΦTΦ+A)-1,表示方差;μ=σ-2ΣΦTt,表示均值;A=diag(α0,α1,…,αN),为对角矩阵。

假设待测样本为y*,则预测值t*分布为

(11)

(12)

1.2 粒子群算法原理

粒子群优化算法(particle swarm optimization,PSO)[20-21]是一种基于群体智能方法的进化计算技术,是基于可行解范围中的一群初始化随机粒子,每个粒子都将会成为待解决问题的一个最优解,对一群随机粒子的初始位置和初始速度不断进行迭代计算以找出最优解。

PSO里面粒子代表待解决问题的答案,每个粒子的坐标xi=(xi,1,xi,2,…,xi,d,…,xi,D),飞行速度vi=(vi1,vi2,…,vid,…,viD);第i个粒子的历史最优坐标Pi=(Pi1,Pi2,…,Pid,…,PiD);每个粒子经历的最优坐标Pg=(Pg1,Pg2,…,Pgd,…,PgD),粒子群在飞行过程中不断更新,表达式为

(13)

(14)

(15)

式(15)中:itermax为最大迭代次数;ωmax和ωmin为权重的初值和终值,一般情况下,ωmax取0.9,ωmin取0.4。

因此,权重ω的变化方式为

ω=aωd+bωk

(16)

随之,粒子的位置将不断地被更新进而不断接近全局最优解。

2 PSO-RVM预测模型

2.1 确定数据样本

本文中引用文献[13]中的34组影响边坡稳定性的数据,其具体数据如表1所示,将前30个样本作为训练学习数据集,后4个样本为预测数据集,并与文献[13]中运用CPSO-BP神经网络模型和BP神经网络模型得到的预测结果进行对比,来验证和检测该PSO-RVM模型的可靠性和准确性。

表1 边坡稳定性数据样本集

2.2 方法实现步骤

(1) 数据预处理。为了消除各个数据的数量级对RVM模型预测效果的影响,需将数据进行标准化处理,标准化处理公式为

(17)

(2)确定建模因子。利用文献[13]中的边坡稳定性相关数据(岩石重度 、黏聚力 、内摩擦角 、边坡角 、边坡高度、孔隙压力比),并对数据进行了整理、分析、归纳,样本数据中6个主要影响因素作为输入值,输出值为边坡稳定性安全系数。

(3)模型初步建立。以标准化处理后的数据为基础,选取前30组数据作为学习样本,用于模型的映射训练,找出输入值和输出值的非线性映射关系;剩余4组数据作为预测样本,用于检验模型的预测效果。启动PSO程序来生成粒子,这些粒子通过寻优可以找到最优核函数宽度,该宽度传送到RVM程序中对预测样本进行计算。此外,通过更新粒子群算法中的粒子来自动减少预测结果与实测结果之间的适应度和均方差,直到粒子群寻优出来的核函数宽度满足RVM计算的精度要求。基于PSO-RVM的边坡稳定性安全分析模型如图1所示。

图1 基于PSO-RVM的边坡稳定性分析模型Fig.1 Slope stability analysis model based on PSO-RVM

(4)模型结果分析。基于最优参数建立满足要求的预测模型,采用该模型对预测样本进行预测。将4组预测样本预测值与相应实测值进行对比分析(相对误差、平均相对误差和均方差),验证模型的精确度和可靠性,计算简图如图2所示。

图2 基于PSO-RVM的计算流程图Fig.2 Calculation flow chart based on PSO-RVM

3 实例分析与预测结果

3.1 选取数据与建立模型

选取上述数据样本,将数据进行标准化处理,前30组学习样本用于拟合训练,后4组待预测样本用于预测,建立了基于PSO-RVM边坡稳定性分析预测模型,程序初始化,利用PSO对RVM模型进行参数寻优,可以得出加速度参数c1=2、c2=2,种群数量N=20,终止代数M=1 000, 粒子寻优过程中利用预测集的均方差作为终止条件,如图3所示,边坡稳定性安全系数预测结果与实验值对比如表2所示,为了更加清楚地对各个模型预测出的结果进行对比,如图4所示。

图3 PSO-RVM模型迭代图Fig.3 Iteration diagram of the PSO-RVM model

图4 各个模型之间与实际值之间的预测结果比较Fig.4 Comparison of predicted results between models and actual values

表2 不同预测方法预测结果及实测值的比较

从图4中可直观看出:基于粒子群优化算法的相关向量机边坡稳定性分析模型,其预测值与试验值高度一致,吻合度较好。另外, PSO-RVM模型得到的相对误差仅为2.058%、-5.830%、-1.183%

和-0.990%,且其最小的相对误差仅为0.99%,从各个模型之间的整体性对比来看,PSO-RVM模型得到的边坡稳定性安全系数得到的预测结果均优于利用BP神经网络模型和CPSO-BP神经网络模型得到的预测结果,证明了本文中所建立的基于粒子群优化算法的相关向量机模型对边坡稳定性的分析预测是非常可观的。

3.2 预测精度分析

现通过平均相对误差(average relative error,ARE)和均方差(mean square error,MSE)这两个指标来更好地对比这两种模型整体预测精度和离散情况,计算公式为

(18)

(19)

式中:y′i为实测值;yi是预测值;n为样本个数。

计算结果如表3所示,可知: PSO-RVM模型对边坡稳定性安全系数的预测结果的平均相对误差只有2.515%,均方差为0.064;而利用BP神经网络模型,其平均相对误差为8.11%,均方差为0.103,虽然该文建立了PSO-RVM模型没有利用 CPSO-BP 神经网络得到的均方差接近,但通过整体的预测数据和对比来看本文所建立的模型优于BP神经网络模型和CPSO-BP神经网络模型。图5、图6更加清晰地对比了RVM模型和BP神经网络模型的平均相对误差ARE和均方差MSE。

图5 各个模型之间的平均相对误差Fig.5 Average relative errors between models

图6 各个模型之间的均方差Fig.6 Mean square deviation of each model

表3 各个模型边坡稳定性安全系数的平均相对误差及均方差

由此看出,从平均相对误差ARE,还是均方差MSE,PSO-RVM模型更优于BP神经网络模型,虽然CPSO-BP神经网络得到的均方差MSE较PSO-RVM模型较好,但整体上分析PSO-RVM 模型获得的预测结果,其精度更好、更高。因此根据对比结果可得:本文提出的基于PSO-RVM的边坡稳定性分析模型,相比于BP神经网络模型和CPSO-BP神经网络模型,整体预测精度更高,得到的样本预测值稳定性更小,具有更高的可信度。

4 结论

本文提出的基于粒子群优化算法的相关向量机边坡稳定性分析模型以34组学习数据作为训练集,4组预测数据作为验证集,经程序运行后其结果表明,该PSO-RVM模型的预测精度高,稳定性好,并得出以下结论。

(1)边坡稳定性安全系数受多种非线性关系因素影响,利用PSO-RVM模型得到的平均相对误差和均方差仅为2.515%和0.064,在预测方面有较高稳定性,说明PSO-RVM预测模型能够高效准确地对其边坡稳定性安全系数进行预测,为边坡稳定性分析找到了一种新方法、新途径。

(2)利用PSO-RVM模型得到的边坡稳定性分析模型能够精确地实现对边坡安全系数的预测。结果表明,PSO-RVM模型能够准确地预测结果,且其误差均在合理的范围内,预测效果明显优于BP神经网络模型和CPSO-BP神经网络模型,在处理多维复杂非线性问题时具有优越性。

(3)利用粒子群优化的相关向量机模型对边坡稳定性安全系数进行预测,体现了该算法在边坡工程领域中的实用性。对于边坡稳定性安全系数预测而言,PSO-RVM模型比常见的神经网络模型更为优越,无论从预测值对比还是从均方根误差、平均相对误差的对比,PSO-RVM模型都表现良好。