“结构化”认知呈现，“后建构”课堂提升——“锐角三角函数”复习课教学设计及反思

■刘 玉 周同全

一、教学目标

复习三角函数知识点，建构知识网络；利用三角函数解决实际问题。

二、教学重点

判断一个三角形是否可解。

三、教学片段

1.情境再创设，促进认知结构化

师：同学们每天到教室都要爬楼梯，我们前面学过，可以用数学中的什么量来表示楼梯的陡峭程度？

生1：可以用斜坡与水平面的夹角来表示。角度越大，楼梯越陡。

师：最近我们还学过哪个量可以用来表示坡的陡峭程度？

生2：三角函数。

师：具体是哪一个三角函数？

生3：正切。正切值越大，角度就越大，坡也就越陡。

师：说得非常正确。今天，我们一起来回顾三角函数的相关内容。

设计意图：让学生感悟数学与实际生活的紧密联系，培养学生用数学的眼光看世界。

2.概念再梳理，促进知识结构化

问题1：沿着一条上山直道行走，每前进100m，上升的高度为50m。（1）这条直道的坡度为；（2）求坡角的正弦、余弦；（3）坡角度数为。

师：解决这个问题，我们首先要做什么准备工作？

生4：画图，求出另一条直角边的长度。

师：请同学们画好图，并由第一小组同学来回答。

图1

生8：坡角是指斜坡与水平面的夹角，因为坡角的正弦为

师：很好，我们来看第二题。

问题2：如图2，在△ABC中，∠ACB=，过点C作CD⊥AB于点D。

图2

师：BC的长度怎么求呢？

生9：直接利用三角函数来求。因为在Rt△ABC中，所以BC=12。

师：借助直角三角形，我们可以用三角函数求线段长。tan∠ACD该如何求呢？

生10：借助Rt△ACD，求出AD、CD即可。

师：AD、CD分别如何求？

生11：可以利用勾股定理先求出AC，然后用等积法求出CD，再用勾股定理求出AD即可。

师：有没有同学有其他想法？

生12：因为∠B和∠ACD相等，所以可以求∠B的正切，这样只要求出AC就可以了。

师：两位同学给出了两种不同的方法，也就是说我们求一个角的三角函数值，可以直接求，也可以找一个与其角度相等的角替换。比如本题，我们用的是同角的余角相等。那么，两种方法分别在什么时候用呢？

生13：我觉得当一个角的三角函数不易求时，可以将其转化成相等的角来求。

师：那你能想到的转化方式有哪些？

生14：同角的补角相等；由平行线得角相等；同弧所对的圆周角相等。

师：还有补充的吗？

生15：全等、相似中，对应角相等。

师：同学们考虑得非常全面，这都得益于你们平时的积累和反思。现在，我们再来看第三个问题。

问题3：如图3，为测量建筑物AB的高，现在地平面上取一点C，测得A点的仰角为45°，再向前走20m，取一点D，D在BC延长线上，测得A的仰角为30°，已知测量仪高1.5m，求AB的高。

图3

师：哪个角是45°？哪个角是30°？

生16：∠AEG=45°，∠AFG=30°。

师：能直接求出AB吗？

生17：不能，要分成两段，即AG和BG。

师：AG能直接求出吗？

生18：不能。我们可以设AG为x，通过三角函数表示出EG和FG，进而表示出EF，这样就能构建关于x的方程，从而求出AG。

设计意图：从简单问题入手，让学生体会解决三角函数问题必须借助直角三角形；利用不同方法求解，提高学生的解题技巧，发展学生的逻辑推理和直观想象力；回顾一些基本图形、解决策略，利用观察、画图、计算等，使核心素养的培养真正在课堂中发生。

3.方法再运用，促进技能结构化

师：以上问题我们都是借助现成的直角三角形来解决的。如果在非直角三角形中，我们又该如何解决呢？请大家看题。

问题4：如图4，在△ABC中，∠C=150°，，求BC。

图4

师：BC不在直角三角形中，如何求呢？

生19：可以构造直角三角形。

师：如何构造？

生20：过点C作AB的垂线CH，把BC放在直角三角形BCH中求。

师：能求吗？我们讲过，解直角三角形要知道除直角外的两个元素，而且至少要有一条是边，条件告诉了我们，那BH或CH能求吗？

生21：不能。可以过点A作AH⊥BC。

师：能说说你的理由吗？

生21：这样可以把∠B放在Rt△ABH中，∠C的补角是30°，在Rt△ACH中，我们可以先求AH、CH，再求出BH，从而求出BC。

师：那请同学们顺着他的思路求BC。通过分析、求解这题，你对于求非直角三角形中的线段，得到了哪些经验？

生22：要把非直角三角形转化成直角三角形。

师：怎么转化？

生23：过顶点作对边的高。

师：任何顶点都可以吗？

生24：不能破坏题中的特殊角。

师：怎么才能做到不破坏？

生25：过非特殊角的顶点作高。

师：你认为哪些角是特殊角？

生26：30°、45°、60°。

师：还有吗？

生27：还有已知三角函数的角和一些钝角，如120°、135°、150°。

师：这些角怎么用呢？

生28：我们可以用它们的补角。

师：刚才同学们分析得非常到位。对于非直角三角形，我们有了处理的策略，那在四边形中又该如何求线段的长度呢？

生29：转化成三角形……

设计意图：教师通过提出问题串，提升学生的解题技能，让学生明确解斜三角形需要知道三角形的三个元素（至少有一条是边），培养学生的模型思想和转化思想。

四、教学反思

课堂是师生共同完成的一项劳动，而这项劳动成功与否，师生关系是关键。体验式学习是以“后建构主义”理论为指导的，其成效尤其显著。但是，在实践中，教师常常不能很好地把握课堂教学时间，不能让学生自由地表达意见。因此，教师需要运用各种教学手段构建一个高效的数学课堂，充分发挥学生的主观能动性，激发学生的学习热情，从而提高课堂效率。此外，在课堂上，教师应积极引导学生进行思维分析，剖析典型问题，使学生积累经验，以解决问题。教师在选择“材料”，创设体验场景时，要注重学生思维的深度生长。

教育是一个长期奋斗、不断优化的认知过程。因此，在今后的教学发展中，教师要不断地寻求有效的教学策略，主动建构学生的主体意识，促进学生核心素养的发展。