CPFS结构理论下“直线与平面垂直的判定”的教学设计

陈玉莲 谢徽 令狐泓

摘 要：CPFS结构理论是数学学科特有的理论，能有效地帮助学生构建完整的数学知识体系.研究以“直线与平面垂直的判定”为例，将此结构理论应用于教学中，以帮助学生更清晰地理解线面垂直的判定定理.

关键词：CPFS结构理论；直线与平面垂直；教学设计

《普通高中数学课程标准（2017年版）》的颁布，使得新教材的排版顺序发生了很大的变化.“直线与平面垂直的判定”在原人教版中位于必修二第二章的第三节，而在新教材中位于人教A版第八章第六节，同时，新教材还增加了“直线与直线垂直”的内容.“直线与直线垂直”虽然简单，但线线垂直是线面垂直的基础，增加的这部分内容能起到很好的过渡作用，是后续学习的基石.而这部分是高考的必考内容，且会以一个大题的形式出现，所以学好这一部分能够明显提高学生的得分率.由于这部分内容属于空间几何，有一定的难度，需要学生具备良好的空间想象能力、抽象能力、逻辑推理能力等，只有具备这些能力才能更好地梳理命题所需的条件，因此，教师在教学时要注意帮助学生理解概念、命题的本质含义，帮助学生构建良好的数学知识脉络.

1 CPFS结构理论概述

南师大的喻平教授在他的博士论文《数学问题解决认知模式及教学理论研究》中提出的CPFS结构理论，是数学学习特有的结构理论.理论由四部分组成，分别是：概念域（concept field）、概念系（concept system）、命题域（proposition field）、命题系（proposition system）［1-2］.概念A的所有等价概念，组成了概念A的概念域，如椭圆的三种定义：平面内与两定点F1，F2的距离之和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点的轨迹叫做椭圆［3］平面内到定点F（c，0）的距离和到定直线l：x=a2c（F不在l上）的距离之比为常数ca的点的轨迹是椭圆在坐标轴内，到两定点（a，0），（-a，0）的斜率乘积等于常数m（-1＜m＜0）的点的轨迹是椭圆（去掉了四个顶点的椭圆），这一组等价定义就是椭圆的概念域.而椭圆也可以看作是圆往一定方向压缩或拉伸一定比例得到的图形，即椭圆和圆的概念之间具有一定的关系，椭圆和圆的概念就可以组成一个概念系.同样的，所有的等价命题构成的图式就叫做命题域，而有着相关关系的命题域可以构成一个命题系.概念和命题是数学知识体系的基本构成元素，而每个学生脑内的概念和命题都不是单一存在的，它们之间有着概念、命题体系，共同组成了CPFS结构，每个学生的CPFS结构都异于别人，促进学生CPFS结构的形成，有助于提高学生的思辨能力与空间想象能力.

2 CPFS结构理论下“直线与平面垂直的判定”的教学设计

2.1 教材分析

“直线与平面垂直的判定”是高中数学人教A版必修第二册第八章第六节第二课时的内容，是空间中直线与平面的另一特殊位置关系，也是后续面面垂直、建立空间坐标等知识的基础，在教学中有着承上启下的作用.在课程标准中，对本节课的要求是学生能用具体的数学语言表达垂直的性质以及判定，并能对某些结论进行论证，建立空间观念［4］.在实际教学时，教师不需要证明这个定理，但要启发引导学生通过探究活动得出定理的具体内容.

2.2 学情分析

学生在初中阶段就已经学习过线线垂直了，知道线线垂直的判定定理，同时因为生活经驗，对线面垂直有直观的感受.但学生的抽象能力与空间想象能力较弱，因此在教学时要引导学生通过生活中的例子抽象出线面垂直的图形表示.另外，由于本章属于空间立体几何部分，所以教师要善于利用信息技术展示线面垂直的空间模型.

2.3 教学目标

知识与技能：通过生活中的经验以及学习过的线面平行能够抽象出线面垂直的几何模型.再通过旗杆影子的例子得出线面垂直的定义，最后由折纸活动归纳出线面垂直的判定定理，并能简单地应用定理.

过程与方法：运用启发、引导的教学方式，使得学生在探索线面垂直的过程中，抽象能力与空间想象能力得到进一步的提升.

情感态度与价值观：通过观察旗杆与影子的位置关系和折纸活动能有效提高学生的观察能力、动手能力，同时，激发出学生的好奇心，提高他们对数学的学习兴趣.

2.4 教学重难点

重点：理解线面垂直的判定定理，并能简单地应用此定理.

难点：探究、归纳出直线与平面垂直的判定定理［5］，体会定理中所蕴含的数学思想.

2.5 教学过程

2.5.1 复习引入

问题1：前面学习了直线与直线平行，接着学习了直线与平面平行的判定，然后又学习了直线与直线垂直，那大家思考一下接下来应该学习什么呢？

问题2：大家能不能根据自身的生活经验，举出一些直线与平面垂直的例子呢？

生：人直立于地面，旗杆垂直于地面，桥墩与水面垂直……

【设计意图】学生能类比线面平行的学习顺序，推出今天的学习内容为线面垂直的判定.而线面垂直的例子在生活中随处可见，让学生自己举例，既锻炼了学生用数学的眼光观察世界的能力，又让学生直观感受了生活中的直线与平面垂直的模型，激发了学生的学习兴趣.

2.5.2 数学抽象

问题3：你能根据前面举的例子，在草稿纸上画出直线与平面垂直的模型图吗？

【设计意图】根据线面平行的模型图，学生能够很容易画出线面垂直的模型图.这一步是为了将生活中的例子用数学符号表示出来，既锻炼了学生的数学抽象能力，又为学生形成CPFS结构奠定基础.

2.5.3 探索新知

探究活动一：定义辨析

师：如图，在阳光下，已知旗杆AB直立于地面，且能看到其影子BC.影子BC随着时间的变化而不断发生改变，那么，旗杆所在的直线AB与影子BC处于何种位置关系？

生：无论什么时候，旗杆AB都会和它的影子BC垂直.

师：这也就是说，旗杆AB会和平面内所有过B点的直线垂直.那平面内不过B点的直线呢？旗杆AB会和它们垂直吗？

生：会，因为平面内所有不过B点的直线都可以移动到过B点.

师：所以旗杆AB与平面内的所有直线是怎样的位置关系呢？

生：AB和平面内的直线都垂直.

师：根据我们的探究，当一条直线与某一平面内的所有直线都垂直时，称这条直线与该平面垂直［6］，这就是直线与平面垂直的定义.

【设计意图】通过对旗杆与影子位置关系的探索，可以很容易地得出直线与平面垂直的定义.

问题4：直线垂直于平面内的所有直线，“所有”一词的意思等同于“任意”“全部”“每一条”“无数”吗？

师：在这个定义中，“所有”一词是什么意思呢？这个词能换成“任意”“全部”“每一条”“无数”这些词吗？

生：“所有”指的是全部、每一条，应该可以换的吧？

师：没错，直线垂直于平面内的所有直线就是指直线与平面内的全部、每一条直线都垂直，也就是说，平面内的随便一条直线都与该直线垂直.

生：“所有”一词还可以换成“任意”一词.

师：对！现在还剩“无数”一词，它又是什么意思？

生：无穷多的意思.

师：直线与平面内的无穷多直线都垂直，能不能保证是与平面内的所有直线垂直？

生：不能，“所有”不能换成“无数”.

【设计意图】学生能理解直线垂直于平面内的所有直线，再让学生辨析“所有”一词与“任意”“全部”“每一条”“无数”这几个词的区别与联系，知道“所有”不等同于“无数”，进而让学生发现矛盾的地方——无法找到平面内的所有直线，使得它们与已知直线垂直，为接下来的探索做好准备.

问题5：那应该怎样判断一条直线与平面垂直呢？你能从线面平行中得到什么启发？

【设计意图】因为无法直观判断直线是否与平面内的所有直线都垂直，所以需要探索直线最少和平面内的几条直线垂直时能推出线面垂直，而学生能从线面平行的条件中得到启发，猜测直线与平面中的一条直线垂直，就可得出线面垂直.

探究活动二：定理推断

师：当直线只和平面内的一条直线垂直时，能否证明该直线与这个平面垂直？如果不能，你能举一个反例吗？

学生能用自己的笔和桌面摆一个简单的模型，很容易发现这并不能推出线面垂直.

师：既然只垂直于平面内的一条直线不能推出线面垂直，那垂直于平面内的两条直线可以推出来吗？平面内的两条直线是任意位置关系都可以吗？

平面内的直线有平行和相交两种位置关系，根据前面的探索，直线只有与平面中的两条相交直线垂直时，才有可能和平面垂直.

师：如图，在三角形纸片△ABC中，先将纸片△ABC过顶点A进行翻折，得到折痕AD，让翻折的纸片直立于桌面上（其中BD、CD与桌面接触）.（1） 折痕AD与桌面处于何种位置关系？（2） 怎样翻折得到的折痕AD才能与桌面呈垂直关系？为什么［5］？

【设计意图】通过这个折纸活动，学生会发现只有当折痕AD与BD、DC都垂直，即AD为BC边上的高时，AD才会垂直于桌面.即直线垂直于平面内的两条相交直线时，直线与平面垂直.学生自己探索出结论，既锻炼了学生的操作能力，又能让学生体會到得出结论的喜悦.

问题6：为什么直线只需要垂直于平面内的两条相交直线就可以得出线面垂直？

生：因为平面内的任意一条直线都可以由这两条相交的直线表示.

【设计意图】这一问题复习了向量的知识点，任一向量都能由同一平面内的两个不共线的向量表示.通过这个问题解决了线面垂直的定义所带来的矛盾，即不能找完平面内的所有直线，使得它们与已知直线垂直.

问题7：你能试着将直线与平面垂直的判定定理用正确的数学符号语言表达出来吗？

生：线面垂直的判定定理为：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直［7］.符号表示为：

∵a⊥m，a⊥n，mα，nα，m∩n=A，∴a⊥α.

【设计意图】学生通过探究活动能说出线面垂直的判定定理，又因为他们已经学习过了线面平行的符号语言，所以参考线面平行的符号表示，解读线面垂直的判定定理，能够得出线面垂直判定定理的符号表示.

2.5.4 简单应用

（1） 证明：已知a∥b，如果直线a垂直于平面α，那么直线b也垂直于平面α.你能画出图形并用两种或以上的方法证明吗？

（2） 如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，且SD⊥平面ABCD，证明：AC⊥平面SDB.

（3） 如图，在直四棱柱A′B′C′D′-ABCD中，当底面四边形ABCD满足什么条件时，A′C⊥B′D′？

【设计意图】这三个例题难度递增，第一题考查学生将文字语言转换为图形语言的能力；第二题是线面垂直的简单应用；第三题难度较大，考查了线面垂直的逆应用.这三道题目不仅考查了学生对线面垂直判定定理的应用，也考查了学生的抽象能力、发散思维，还强化了以往知识与线面垂直之间的联系，有利于构建学生的CPFS结构.

3 总结

3.1 厘清CPFS结构的四个要素，帮助学生形成完善的CPFS结构

数学理论体系结构完整，知识板块之间都有着或强或弱的相关关系，而讲授新的知识会用到以往学过的知识，教师就要首先找到概念与概念、命题与命题之间的联系，将知识串联起来，以一个体系的方式教授给学生.学生接收到的知识是完整且有联系的，这样才能更好地形成完善的CPFS结构.比如在线面垂直的判定定理教学中，教师关联了线面平行、线线垂直、向量等相关知识，把新知识与旧知识联系起来，学生不仅更容易接受新知识，而且更能在自己的头脑中将所有的知识都理成一条线，清晰地构建数学理论体系.

3.2 教学要抽丝剥茧，引导学生自己得出结论

教学不是将知识灌输给学生，让学生记住结论就行，而是应该让他们知其然，更知其所以然.因此在教学时，教师要根据学生的具体情况，运用启发诱导的方式，灵活地创设合适的情境，引导学生自己得出结论.在本节课中，教师首先调动学生自身的经验，让学生自己举出生活中的例子，再让学生仿照线面平行抽象出线面垂直的模型图.学生经过旗杆影子的探究活动，自己总结出线面垂直的定义，进而发现无法找到平面内的所有直线使得它们与已知直线垂直，所以需要寻找其它的办法，再由教师引导着学生探索最少需要几条直线与已知直线垂直，最后通过探究活动二由学生自己总结出定理.在整个过程中，教师始终发挥引导的作用，利用一个个巧妙的问题指引学生自己得出结论.

3.3 尊重学生主体地位，促进学生核心素养的形成

学生在课堂上占主体地位，教学要以学生为中心.教师不能忽视学生的现实情况自讲自听，而是要根据学生的认知水平和实时反应及时调整自己的教学策略.若发现大多数学生在哪一块知识上接受度较低，就着重细化这一块知识.教学该有的过程必须要有，比如在本节课中，让学生抽象出线面垂直的模型就能很好地锻炼学生的数学抽象、数学建模、直观想象等素养.学生的数学核心素养不是一朝一夕就能养成的，只有尊重了学生的主体地位，才能在日积月累的培养中，促进学生数学核心素养的形成.

参考文献：

［1］ 喻平.数学问题解决认知模式及教学理论研究［D］.南京师范大学，2002.

［2］ 曹瑞彬.基于CPFS结构理论的高三数学复习教学［J］.上海教育科研，2016（10）：82-85.

［3］ 廖丽丹.从生成到深入——谈“椭圆及其标准方程”教学［J］.读书文摘，2019（9）：97.

［4］ 中华人民共和國教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2018.

［5］ 李珍，马文俊.创设问题情境，关注生成过程，提升核心素养——“直线与平面垂直的判定”教学实践与思考［J］.中学数学研究，2022（4）：6-9.

［6］ 李生，王克亮.让直观演示也散发出理性的光芒——“直线与平面垂直（1）”的听课反思［J］.数学通讯，2013（16）：19-21.

［7］ 韦爱群.基于信息化条件下数学教学探究——以《直线和平面垂直的判定定理及应用》为例［J］.广西教育，2019（6）：56-58.