STEM教育理念下高中数学深度学习探究

徐华

摘要：在STEM教育理念下，以物理学科知识为背景、数学概念学习的认知过程为参照，结合数学实验活动，应用动态数学软件geogebra，设计并实施了《椭圆的标准方程》这节课，引导学生通过实际操作深入理解椭圆的定义，在讨论辨析中深化椭圆标准方程的推导过程，在课后作业中继续强化理论和实践的能力，让学生的核心素养落地生根.

关键词：STEM教育；核心素养；geogebra

《普通高中数学课程标准（２０１７年版）》指出：高中数学教学的培养目标是六大核心素养，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面.数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.

STEM教育的核心理念强调以概念为主，通过科学、技术、工程和数学之间的合并和融合，培养学生利用数学基础工具科学精准地描述世界.在实际的高中数学教学中，它要求数学教师尽可能营造一种积极的、活跃的教学氛围，设计真实的问题情境，尽可能提出一些有挑战性的问题，来激发学生的兴趣和探究欲，让学生真正主动参与到数学学习中来.同时它也要求数学教师应该改变固有的教学经验，把应试教育下的碎片化教学设计整合更新为STEM教育理念下的综合研究型项目式学习.

下面以“椭圆的标准方程”为例，探索在高中数学教学中如何实施STEM教育，促进学生的深度学习.

1设计思路

本节课的设计主要有以下六个环节：科学背景、工程逞威、技术融合、实操为要、数学建模、STEM再现.

科学背景：从物理学科行星运动轨迹中抽象出数学问题，使学生对椭圆形状有直观的印象；以视频形式展示圆锥曲线数学史，激发学生学习的兴趣.

工程逞威：学生通过小组合作自己动手制作简易画图工具，体验画出椭圆的过程.

技术融合：运用geogebra软件让数学更严谨，突出重难点，帮助学生认识到数学问题的本质.

实操为要：以问题串引导学生思考，以模型实际操作为参照，以小组合作的形式探究并共同拟定橢圆的定义.

数学建模：类比圆的标准方程的推导，将方法迁移运用到椭圆上.

STEM再现：课后作业布置制作简易椭圆规，书面说明原理，小组展示.

2教学过程

问题1：太阳系中行星的运动轨迹是什么图形？生活中还有类似的图形吗？请举出一些例子.

学生：椭圆，实例有：橄榄球，香皂盒，浴盆等

教师：人们最初是如何认识到椭圆的？请观看视频《圆锥曲线的发展历史》，了解椭圆的研究的历史过程，明确有哪些方法可以快速准确的画出椭圆.

设计意图：直观感受椭圆的形状，在生活中寻找大量实例，建立数学和实际的联系，通过视频了解数学发展的历史，引出椭圆的画法.

教师：椭圆有哪些画法，哪一种最简单？

学生：园艺师画法，椭圆规画法，前者更简单.

根据园艺师画法的要求，教师课前将学生分成两人一组，每一组都准备好方形泡沫板，浅色卡纸，双面胶，长度为定值的细绳，钉子，塑料吸管，铅笔.

教师：请按照园艺师画法自己动手画出椭圆.

小组合作：教师指导学生将卡纸贴在泡沫板上，把钉子套上一段小吸管，钉在板上的两点F1、F2（小于绳长）处，将绳子固定在吸管上（学生的小创意，画图时更方便），用笔尖把细绳拉紧，并使笔尖在画板上移动一周，画出一段封闭的曲线.

问题2：画图过程中哪些量在变化，哪些量是不变的？

学生：∠F1MF2在不断变化，MF1和MF2此消彼长，绳子总长度不变.

设计意图：小组合作，让学生自己动手体验，直观感受画图过程中量的变化和最终的形状.

教师利用geogebra软件展示：首先绘制两个定点F1、F2，作为椭圆的两个焦点.其次绘制一条线段AB，固定其长度.在线段AB上取一动点C，作为椭圆动点轨迹的控制点.以F1为圆心，AC长为半径画圆和以F2为圆心，BC长为半径画圆.取两圆的交点为P，Q，选择交点的轨迹即可得到椭圆.选定设置为虚线，然后拖动C点在线段AB上移动，点P跟随点C一起在如图的椭圆上移动.

引导学生结合画图变化中的不变量，师生一起总结得出：

椭圆的定义：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于 F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

设计意图：利用技术手段，精准画出椭圆，肯定小组合作得到的结果，感受和为定值这一特征，抽象概括出椭圆定义.

问题3：在定义中，如果 MF1 + MF2 ≤ F1F2 ，动点的轨迹又是什么？

学生动手实际操作，得出结论：

当 MF1 + MF2 = F1F2 时轨迹为线段F1F2；

当 MF1 + MF2 < F1F2 时轨迹不存在.

设计意图：学生通过分类辨析，深入理解椭圆的定义，体现了数学的严谨性.

问题4：观察椭圆形状，你认为怎样建立椭圆的方程？

学生：观察发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以以两焦点所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.

设M（x，y）为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距2c（c>0），则F1和F2的坐标分别是（-c，0）、（c，0），M与F1和F2的距离的和等于正常数2a（2a>2c），即|MF1|+|MF2|=2a.

代入坐标得： （x+c）2+y2 + （x－c）2+y2 =2a.

请学生展示化简过程：

方案一：先移项得

（x+c）2+y2 =2a－ （x－c）2+y2 ，

两边平方得

（x+c）2+y2=4a2－4a （x－c）2+y2 +（x－c）2+y2，

整理得a （x－c）2+y2 =a2－cx，

再平方整理得（a2－c2）x2+a2y2=a2（a2－c2）.

方案二：直接两边平方，整理得

（x2+2cx+c2+y2）（x2－2cx+c2+y2） =2a－x2－y2－c2.

学生1：再平方，计算复杂，还没算出最终结果.

学生2： ［（x2+c2+y2）+2cx］［（x2+c2+y2）－2cx］ =2a－（x2+y2+c2）.

把x2+y2+c2当一个整体，利用平方差公式化简得：

（a2－c2）x2+a2y2=a2（a2－c2），

整理得： x2 a2 + y2 a2－c2 =1.

教师：方案一过程简单，运算量少，方案二本来计算很复杂，但学生2巧用整体法简化了运算过程.后续在处理运算问题时要多观察运算式的形态，学会寻求最优算法.

设计意图：数学运算能力一直是学生的弱项，学生先自己动手计算，再有不同运算思想的碰撞，让学生真正动起来，变被动地接受为主动地获取，培养数学运算和逻辑推理能力.

问题5：你能在图中找出表示a，c， a2－c2 的线段吗？

学生：|PF1|=|PF2|=a，|OF1|=|OF2|=c，|OP|= a2－c2 ，若令|OP|= a2－c2 =b，方程可简化为： x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0），该方程叫做焦点在x轴上的椭圆的标准方程.

设计意图：强化a，b，c三者之间的关系，渗透数形结合的数学思想，感受椭圆方程的简洁美.

问题6：如果椭圆的焦点F1F2在y轴上，且F1和F2的坐标分别是（0，-c）、（0，c），a，b的意义同上，椭圆的方程是什么？

学生1：猜想方程 y2 a2 + x2 b2 =1（a>b>0）

学生2：重复刚才的推导过程，不想算了.

学生3：比较焦点x轴上的椭圆图形，两者关于直线y=x对称，所以只要将方程 x2 a2 + y2 b2 =1中的x，y调换，可得

y2 a2 + x2 b2 =1（a>b>0）.

这个方程叫焦点在y轴上的椭圆的标准方程.

设计意图：利用类比对称，化归的思想让学生深入理解问题的本质所在，图形没有变，只是位置发生了变化，进而通过对称性得出焦点在y轴上的椭圆的标准方程，让学生学会“偷懒”，避免了繁杂的计算.

问题7：椭圆的两种标准方程有什么异同点？如何从椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置？

学生：总结方程特征：

①形式上：平方+平方=1，且c2=a2－b2，a>b>0

②细节上：x和y顺序交换（焦点位置不同）

③哪个变量下的分母大，焦点就在哪个轴上.

3总结反思

3.1以STEM教育理念为基，促进教学方法改革

本節课基于STEM教育理念设计和实施，融入了科学、技术、工程与数学的内容，这就要求教师不仅要有深厚的专业素养，还需要了解STEM教育的相关学习理论、教学理论、课程理论等，改变之前“填鸭式”的教学方式，充分发挥学生的主观能动性.

由于施教对象为普通高中学生，学生能力差异较大，也因为概念生成的重要性，为了尽可能让每一位学生都有发挥的空间，都有自己的收获，本节课完成了椭圆标准方程的推导和简单应用.

3.2通过STEM课程实施，让学生多“动”多“思”，促核心素养落地生根

本节课对于椭圆概念的形成，让学生动眼观察，动手操作，动脑思考，动笔计算，体验从具体到抽象的数学活动过程，深入理解数学概念的形成.通过抽象概括，掌握其中蕴含的数学本质，逐步提高学生的数学抽象能力，养成思考问题的一般习惯，为后续的数学学习打下坚实的基础.

对于椭圆标准方程的推导，让学生独立动脑寻求最佳算法，给予充足的时间动笔运算化简，逐步培养学生独立的逻辑推理和数学运算的能力，让学生感受数学的简洁美和对称美.

3.3以STEM教育应用效果为导向，促教学反馈和评价更及时有效

STEM教育应该注意学生能否高效地学到知识或技能，避免浮于活动表面.在本节课中，为了检验教学成效，我们通过学生个人展示或小组汇报的形式来了解学生知识掌握的情况，并且经常跟学生互动解释相关问题，让学生的学习情况能及时进行反馈.

3.4课后补偿提升，STEM课程延续

为了激发学生的兴趣和探究欲，课后作业选择了一些具有挑战性的问题：椭圆规的制作和原理说明.一方面给课堂内容掌握不足的学生在课下进行补偿，另一方面也给学有余力的学生予以巩固和提升，进一步延续STEM教育课程模式，为椭圆问题的深入学习打下基础.

3.5反思教学过程，让STEM教育和数学学习过程进一步融合

本节课，在引入椭圆概念时，以行星运动为背景，交叉融合了物理知识；在探究椭圆的画法，融入了技术手段，使用了动态数学软件geogebra；在归纳椭圆的定义时，设计了动手操作活动，聚焦于学生对实验过程的观察和理解；在推导标准方程时，放手给学生自主计算，让学生真正体验知识的形成过程.

参考文献：

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基金项目：南京市教研室第十三期教学研究重点课题《STEM教育视野下高中生深度学习型课程的开发与应用研究》（编号：2019NJJK13—Z19）.