巧妙设计，以作业助推数学课堂教学

吴 君

布置作业是课堂教学的重要环节，而在传统的课堂教学中，教师通常依托当天所学的数学知识布置作业，用数量追求质量。这种情况下，作业多而杂，目的性不强，并且教师不能对题目进行一一评讲，学生的疑惑得不到及时的回应。长此以往，学生会把作业当成一种负担，敷衍了事，作业效果大打折扣。

如何在减轻学生课业负担的前提下，提升课堂效率，完善作业效果，实现“提质减负”学数学，是值得一线教学工作者思考的问题。笔者认为，作业不仅是课堂的延伸和补充，它还可以用来检验和巩固课堂教学效果。通过巧妙的设计实现作业和课堂教学的双向互动，能够让作业成为课堂教学的重要资源，将原本枯燥的课后作业转变为学生探究、创造的载体，让学生带着疑问听课、带着兴趣做作业，最终促进课堂效率的提高。

一、课堂导入从作业中来

精彩的课堂教学离不开出色的课堂导入。数学知识之间密切相关，环环相扣，上节课的知识为下节课打基础，今天的作业同样可以为明天的课堂教学服务。因此，教师可以巧妙设计作业，为第二天的课堂创设问题情境，以调动学生学习的积极性，提高课堂效率。

案例1：学习完苏科版数学九年级下册“利用三边、两边及夹角判定两个三角形相似”后，教师可以这样设计作业。

1.根据下列条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由。

（1）∠A=40°、AB=8cm、AC=15cm，∠A′=40°、A′B′=16cm、A′C′=30cm；

（2）AB=10cm、BC=8cm、AC=16cm，A′B′ =16cm、B′C′=12.8cm、A′C′=25.6cm。

2.图1和图2中的两个三角形是否相似？

（图1）

（图2）

3.（试一试）如图3，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，求证：△ACP∽△DBP。

（图3）

以上前两题来于教材，目的是让学生复习巩固三边、两边及夹角两种判定三角形相似的方法。学生在尝试做第3 题时，发现这两种方法都没办法解决问题，必引起思考：判定三角形相似必然有第三种方法。这样，学生对第三种方法的期待助推了下节课教师的成功引入。

上述案例中，用旧知识没办法解决新问题，激发了学生的求知欲，带着这种求知欲学生更容易接受新知识。在课堂引入中利用学生对新知识充满期待的这种心理，教师即可“引爆”潜伏在作业中的疑问，顺理成章地带着学生进入新课学习。

二、课堂示范从作业中来

课堂示范教学环节是课堂重点知识、主要思想方法的展示窗口，是提高学生分析问题和解决问题能力的重要环节。好的示范离不开好的例题，卓有成效的例题教学，不仅能使学生熟悉数学基本知识在解决问题中的应用，反过来也会加深其对基本知识的领会和理解，更好地掌握解题技能。因此，如何进行例题教学是一个值得教师思考的课题。按照建构主义理论，所有知识要经“同化”和“顺应”，反复出现会让学生印象更加深刻，学生构建起来的知识体系更加牢固、深化。基于这一理论，教师选取的课堂例题完全可以来源于前一天的作业。

案例2：学习完苏科版数学七年级下册“平行线的判定”后，教师可设计以下作业。

1.如图4，CE分别交AB、CD于点A、C，且∠BAE=∠DCE，AF、CG分别平分∠BAE、∠DCE，求证：AF//CG。

2.如图5，EF分别交AB、CD于点E、F，且∠AEF=∠EFD，EG、FH分别平分∠AEF、∠EFD，求证：EG//FH。

3.如图6，EF分别交AB、CD于点E、F，EG、FG分别平分∠BEF、∠EFD，且EG⊥FG，求证：AB//CD。

（图4）

（图5）

（图6）

这三道作业题分别用同位角、内错角和同旁内角证明平行线，这样设计既可以让学生复习平行线的三种判定方法，又可以为学习平行线的性质做好铺垫，只要将题目稍改动即可成为三道平行线性质的典型例题，改动如下。

题1：如图4，CE分别交AB、CD于点A、C，AF、CG分别平分∠BAE、∠DCE，且AF//CG，求证：AB//CD。

题2：如图5，EF分别交AB、CD于点E、F，EG、FH分别平分∠AEF、∠EFD，且EG//FH，求证：AB//CD。

题3：如图6，AB//CD，EG、FG分别平分∠BEF、∠EFD，求证：EG⊥FG。

这三道例题源于作业，从平行线的三种判定方法到平行线的三种对应性质，过渡自然，图形熟悉，学生兴致高，既能熟练掌握平行线的三种性质，又能体会平行线的判定和性质之间的联系和区别，这种课与课之间、新旧知识之间相关联的学习比孤立学习更能取得长期的效果。

教育心理学认为，学习的过程就是知识迁移的过程，而迁移又是课堂深度学习发生的重要表现形式。课堂例题从作业中来，让学生掌握新知识的同时，又能体会新旧知识间的联系，同时对旧知识的掌握也具有促进作用，使“顺向迁移”和“逆向迁移”都是正迁移。

三、课堂变式从作业中来

变式教学就是对教学中的定理、方法进行不同角度、不同情形、不同背景的变式，以暴露问题的本质，揭示知识之间的内在联系，使学生能触类旁通、举一反三。变式教学使一题多解或一解多题，这样的教学常常让学生茅塞顿开，给学生以新鲜感，激发学生积极思考的动力，收到较好的教学效果。变式教学已成为提高数学教学质量的一种重要手段，但变式练习的来源是值得教师深思熟虑的问题。其实，学生的作业就是课堂变式教学的重要来源，笔者认为，比起其他课堂练习而言，作业是学生经过较长时间思考的，在作业的基础上进行变式，学生更感兴趣，也更容易掌握。

案例3：学习完苏科版数学七年级上册“一元一次方程的应用——增长率问题”之后，教师可设计以下作业，巩固当天学习内容的同时，也为下节课学习“一元一次方程的应用——面积问题”埋下伏笔，具体内容如下。

1.青山村种的水稻2021 年平均每公顷产7200kg，2023 年平均每公顷产8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率。

2.一个长方形的长和宽相差3cm，面积是4cm2，求这个长方形的长和宽。

3.用长40m 的篱笆围成一个矩形的养鸡场，如图7 所示，如何围才能使养鸡场的面积为75m2？

课堂上学习“一元一次方程的应用——面积问题”时，教师可进行以下变式。

变式1：用长40m 的篱笆靠墙（墙长20m）围成一个矩形的养鸡场，如图8，如何围才能使养鸡场的面积为150m2？

（图7）

（图8）

变式2：用长40m 的篱笆靠墙（墙长20m）围成一个“日”字形的养鸡场，如图9，如何围才能使养鸡场的面积为100m2？

变式3：用长40m 的篱笆靠墙（墙长20m）围成一个“日”字形的养鸡场，其中边BC上有两扇宽分别为1m 的门（门不用篱笆做），如图10，如何围才能使养鸡场的面积为135m2？

（图9）

（图10）

案例3 的变式题组是通过养鸡场形状的变化带出一系列题目，通过图形的变化将一类题串在一起，寻找规律，训练同类方法，从而激活课堂教学，拓展学生的解题思路，培养学生思维的灵活性和深刻性，让学生体会边长表示方法的相应变化。图形变化的层次性及巧妙性挑起了学生的求知欲和兴趣，学生产生“穷追不舍”的心理，有这种心理的支撑，必然能取得较好的教学效果。巧妙地设计作业，并以作业题为中心，恰当合理地进行变式作为课堂练习，便可以做到以一道题带出一类题，扩大练习的辐射面。

四、作业从课堂小结中来

在日常听课中，笔者常常会见到这样的情况：教师的导入扣人心弦，合作学习热烈有序，问题探究深入浅出，而最后却因为时间的关系草草收场，或是来不及进行课堂小结，或是由教师的几句话一带而过，或是让学生说一说“这节课你学会了什么？有什么新的收获？还有什么问题？”等套话。这样的课堂小结千篇一律，流于形式，学生真正掌握了多少是一个疑问，没有真正起到课堂小结的作用。其实，在课堂小结中，让学生设计作业就是一种行之有效的方法。

案例4：在学习苏科版数学八年级上册“一次函数的图象和性质”这节课时，学生对一次函数的图象和性质已有一定的认识。在课堂结束前，教师如果简单机械地把一次函数的性质重复一遍，则丝毫看不出学生的掌握程度，这些知识点往往就板书在黑板上，学生照搬照读即可，这种方式呆板乏味，调动不起学生的积极性。其实不妨还课堂小结给学生，让学生利用刚学的知识设计作业，并给出答案，教师选择质量高的作为当天的作业，学生一定会兴趣高涨。在设计作业的过程中，学生必然会把课堂知识、方法快速复习一遍，这样课堂小结的目的就达到了。以下是学生设计的作业部分摘录。

（1）直线y=-5x向上平移2 个单位得到直线______。

（2）一次函数y=2x-1 不经过第______象限，函数值y随x的增大而______。

（3）已知点（x1，y1）和（x2，y2）是直线上的两点，且x1＞x2，则y1与y2的大小关系是______。

（4）画出一次函数y=2x-4 的图象，并求它与两坐标轴所围成的三角形的面积。

（5）已知点（a，b）在第三象限，则一次函数y=ax+b的图象不经过第______象限。

（6）已知一次函数y=（6-2m）x+m-1，

①若此一次函数的图象经过原点，求m的值；

②若y随x的增大而增大，求m的取值范围；

③若此一次函数的图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围。

学生设计出作业（1）说明已掌握了一次函数截距的内涵；设计出作业（3）说明理解了一次函数的性质，已经能利用性质解决抽象问题；设计出作业（2）（5）可看出学生对一次函数“y=kx+b”中“k”“b”的性质已掌握牢固，能通过画示意图快速解决象限、增减性等问题；设计出作业（6）并给出答案就不用担心学生这节课没学好了。

课堂小结是数学课堂教学的一个重要的组成部分。通过设计作业进行课堂小结能充分调动学生的积极性，实现“我的作业我做主”，让自己设计的作业成为全班的作业就成为学生一节课学习的目的，围绕这一个目的，学生课堂上必定全神贯注，这样又能促进课堂其他环节的学习，真正做到“我的课堂我做主”。

随着新课标的颁布与深入实施，课堂的教学观念、教学方式都有了质的变化，教师在重视课堂教学有效性的同时，更应当思考如何打通课堂与作业之间的联系，让作业真正服务于学生成长，在实现作业“减量增质”的同时促进课堂效果的提升，更好地落实“双减”政策。